# C7주차 — 반례·귀류·존재 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 반례는 $\forall$ 명제를 무너뜨리는 증인 하나이고(부정 전개 + 구성), 귀류는 결론의 부정을 가정 목록에 올리는 거래이며, 존재 증명은 증인을 내놓거나 있음만 보장하는 것이다 — 세 기술이 모두 "무엇이 있고 무엇이 없는가"를 다룬다. **이 주의 위치**: 2학기 20주 과정의 C7주차. C5$\cdot$C6주차에서 직접$\cdot$대우로 밀어붙이던 자리가 막히는 두 지점 — 명제가 애초에 거짓일 때, 결론이 부정형일 때 — 을 상대하는 기술을 세운다. 다음 주 C8주차의 최소 반례법이 이번 주 귀류 위에 세워진다. 1권 21주차(귀류)$\cdot$26주차(존재와 유일)$\cdot$29주차(반증)와 S5주차(구성법)$\cdot$S10주차(부정 전개)$\cdot$S11주차(귀류)$\cdot$S13주차(유일성)$\cdot$S15주차(경우법)가 여기서 한 장으로 모인다. **원서 대응**: Chartrand 5장 (Existence and Proof by Contradiction). 1일차에 이 장을 통독한 상태로 이 교안에 온다. ::: ## 이번 주 목표 1. **반례**로 거짓 $\forall$ 명제를 반증한다 — 부정 전개(S10주차)와 구성법(S5주차)의 합성으로 두 검증까지 갖춘 답안을 쓴다. 1. **귀류법**을 네 무대(무리수$\cdot$부재$\cdot$무한$\cdot$부등식)에서 운용한다 — S11주차의 4단 서식과 모순의 3대 산지를 다른 소재에서 재조직한다. 1. **존재 증명**을 구성적(증인 제시)과 비구성적(존재만 보장)으로 구분해 각각 쓴다. 1. 존재와 **유일**을 결합해 "정확히 하나"를 완성한다 (S13주차의 두 얼굴). 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. :::{admonition} 표기 — § 와 난이도 표시 :class: quotebox §는 "절"이라고 읽는다. §1.3은 이 주차의 1.3 절을, §6은 6절 전체를 가리킨다. 다른 주차를 가리킬 때는 "S11주차 §1.4"처럼 주차를 앞에 적는다. 연습문제는 기본 1~6번, 표준 7~14번, 도전 15~20번이고, 빈칸 사다리는 훈련 1에서 3으로 갈수록 지지대가 줄어든다. ::: ## 준비 운동 (C6주차 복습) 지난주까지의 도구를 손에 올려 둔다. 셋 다 이번 주 답안에서 그대로 쓴다. 1. 합동의 대수 보존 — 덧셈$\cdot$곱셈$\cdot$거듭제곱 — 을 진술하시오 (C6주차). 1. S5주차의 구성법 절차(증인 제시 $\to$ 자격 검증 $\cdot$ 사건 검증)와 증인의 세 공급로를 재현하시오. 1. S11주차의 귀류 4단 서식과 모순의 3대 산지를 쓰시오. 이어서 진단 문제 하나를 풀어 보자. 풀지 못해도 된다 — 이번 주가 무엇을 메우는지 가늠하기 위한 기록이다. 1. (진단) 명제 "정수 $a, b$에 대해, $a \mid b^2$이면 $a \mid b$이다"가 참인지 거짓인지 판정하고, 그 판정의 근거를 적어 보자. 답을 노트에 적어 둔다. §5의 백지 재현 뒤에 이 기록을 다시 본다. ### 자주 나오는 세 가지 답 방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 자연스러운 출발점이고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 사례 확인 후 "참".** $a = 2, b = 4$에서 $2 \mid 16$이고 $2 \mid 4$, $a = 3, b = 6$에서 $3 \mid 36$이고 $3 \mid 6$ — 몇 개를 확인하고 참이라고 적는다. 확인한 사례에 대해서는 계산이 옳다. 문제는 명제가 **모든** 정수쌍에 대한 주장이고, 확인한 쌍은 유한 개라는 것이다. 이 명제는 실제로 거짓이며, 반례는 확인 범위 바로 밖에 있다(§1.2에서 찾는다). - **유형 2 — "거짓 같다"까지 갔으나 검증이 한쪽뿐.** 방향은 옳다. 그런데 답안이 "$a = 3, b = 2$이면 $3 \nmid 2$이므로 거짓"에서 끝나는 경우가 많다. 결론이 위반됨은 확인했지만 **가정이 성립하는지**를 확인하지 않았다. $3 \nmid 4$이므로 이 쌍은 애초에 가정을 만족하지 않는다 — 반례가 아니다. 조건문 $\forall$의 반례에 검증이 두 개 필요한 이유가 §1.4다. - **유형 3 — 백지.** 참인지 거짓인지 모르므로 무엇부터 해야 할지 정하지 못했다. 참$\cdot$거짓을 모르는 상태에서 손을 대는 순서 자체가 규칙으로 정해져 있고, §1.1이 그 순서를 제시한다. ## 개념 — 반례와 귀류와 존재 ### 1 직접·대우만으로 밀어붙이면 어디서 막히는가 새 기술을 꺼내기 전에, 지난 두 주의 도구(C5주차의 직접$\cdot$대우, C6주차의 다섯 무대)만으로 두 명제를 실제로 밀어붙여 본다. :::{admonition} 시도 1 — 준비 운동 4번을 직접 증명으로 :class: quotebox 명제: 정수 $a, b$에 대해, $a \mid b^2$이면 $a \mid b$이다. "$a \mid b^2$이라 하자. 정의에 의해 $b^2 = ak$인 정수 $k$가 존재한다. 목표는 $b = am$인 정수 $m$을 만드는 것이다. $b^2 = ak$에서 $b$를 꺼내려면 양변의 제곱근을 취해야 하는데, $\sqrt{ak}$는 정수라는 보장이 없다. 따라서 … " ::: :::{admonition} 시도 2 — "$\sqrt2$는 무리수이다"를 직접 증명으로 :class: quotebox "결론은 '$\sqrt2$는 유리수가 아니다'이다. 직접 증명은 결론의 정의 꼴을 만들어 제시하는 것인데, '유리수가 아니다'라는 결론에는 만들어 낼 등식이 없다. 무엇을 만들어야 하는지가 정해지지 않으므로 첫 줄이 나오지 않는다." ::: 두 시도가 막힌 이유는 서로 다르다. :::{container} quotebox **확인 1.** 시도 1과 시도 2가 막힌 이유는 각각 무엇인가. 한쪽은 "도구가 없어서"이고 다른 한쪽은 그것이 아니다. 어느 쪽이 어느 쪽인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 시도 2는 **도구의 문제**다. 결론이 부정형("~가 아니다")이라 만들 목표 꼴이 없다. 부정형 결론을 등식으로 바꿔 주는 도구가 §1.5의 귀류법이다. 시도 1은 도구의 문제가 아니다. **명제가 거짓**이다. 아무리 좋은 도구를 가져와도 거짓 명제의 증명은 나오지 않는다. 증명 시도가 오래 막히면 도구를 더 찾기 전에 "이 명제가 참이기는 한가"를 먼저 묻는다 — 그 물음에 답하는 기술이 §1.2의 반례다. ::: :::{admonition} 이 주 전체의 기준 :class: quotebox 증명이 막히면 두 갈래를 함께 검토한다. ① 명제가 거짓일 수 있다 $\to$ 반례를 찾는다. ② 명제는 참인데 결론이 부정형이라 목표 꼴이 없다 $\to$ 결론을 부정해 가정 자리에 올린다. ::: ### 2 거짓 ∀ 명제를 무너뜨리는 것 — 사례부터 모아 보기 거짓임이 이미 알려진 $\forall$ 명제 몇 개를 놓고, 각각을 무너뜨린 것이 무엇이었는지 적어 보자. | **거짓 명제** | **무너뜨린 대상** | **그 대상에서 확인한 것** | |---|---|---| | 모든 소수는 홀수이다 | $x_0 = 2$ | 2는 소수이고, 2는 홀수가 아니다 | | 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 > x$ | $x_0 = \tfrac12$ | $\tfrac12$은 실수이고, $\left(\tfrac12\right)^2 = \tfrac14 \not> \tfrac12$ | | $a \mid b^2$이면 $a \mid b$ (정수 $a, b$) | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 2.** 표의 (1)(2)를 채워 보자. 그리고 세 행이 공통으로 한 동작을 한 문장으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $a = 4$, $b = 2$. (2) $4 \mid 2^2 = 4$이므로 가정이 성립하고, $4 \nmid 2$이므로 결론이 위반된다. 공통 동작: **대상 하나를 내놓고, 그 대상에서 명제가 실제로 깨짐을 확인했다.** 세 행 모두 "하나"만 내놓았다는 점이 핵심이다 — 무한히 많은 사례를 다 볼 필요가 없다. ::: 이 동작에 정식 이름과 형식을 붙인다. 동작 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일을 문장으로 굳혔을 뿐이다. ### 정의 7.1 — 반례 (counterexample) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 명제 "$\forall x \in S,\ P(x)$"에 대한 **반례**란, $x_0 \in S$이면서 $P(x_0)$이 거짓인 대상 $x_0$를 말한다. 반례가 하나라도 있으면 그 명제는 거짓이다. ::: **왜 하나로 충분한가.** "$\forall x \in S,\ P(x)$"의 부정은 S10주차 N5에 의해 "$\exists x \in S,\ \neg P(x)$"이다. 곧 반증한다는 것은 이 **존재 명제를 증명하는 것**이고, 존재 명제의 증명은 S5주차의 구성법 — 증인을 하나 제시하고 검증하는 것 — 이다. **1권에서 감각으로 하던 것이 여기서 이름을 얻는 자리.** 1권 29주차에서 "증인 하나면 충분하다"로 손에 익힌 반증이, 여기서 **부정 전개(S10주차) + 구성법(S5주차)의 합성**이라는 이름을 얻는다. 두 검증이 어디서 오는지도 이 합성에서 확정된다(§1.4). :::{admonition} 표기 — $\nmid$ :class: quotebox "$a \nmid b$"는 "$a$는 $b$를 나누지 않는다"로 읽는다. 정의를 풀면 "$b = ak$인 정수 $k$가 존재하지 않는다"이다. 부정형이므로, 이 문장을 결론으로 하는 증명은 §1.5의 귀류가 자주 필요하다. ::: ### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일 정의 7.1의 한 문장은 세 조각으로 되어 있다. | **조각** | **하는 일** | **판정에서의 역할** | |---|---|---| | "$x_0 \in S$이면서" | 증인의 **자격** 요구 | 무대 안의 대상만 반례가 된다. 무대 밖의 대상은 명제가 애초에 주장하지 않은 것이라 아무것도 무너뜨리지 못한다 | | "$P(x_0)$이 거짓인" | 증인의 **사건** 요구 | 명제가 주장한 성질이 실제로 깨짐을 보인다 | | "하나라도 있으면 거짓" | 요구량의 명시 | 하나면 끝이다 — 여러 개를 모아도 점수가 늘지 않고, 하나도 없으면 반증이 성립하지 않는다 | **조각 삭제 실험 — 첫째 조각을 지우면.** "무대 안"이라는 요구를 지워 보자. 그러면 다음 답안이 합법이 된다. :::{admonition} 삭제 실험 — 무대를 벗어난 증인 :class: quotebox 명제: 모든 소수 $p$에 대해 $p \ge 2$이다. "반례: $x_0 = 1$. $1 < 2$이므로 명제가 깨진다." ::: $1$은 소수가 아니므로 이 명제가 애초에 아무 말도 하지 않은 대상이다. 무대 조각을 지우는 순간, 참인 명제도 전부 반증할 수 있게 되어 "반례"라는 말이 아무것도 구별하지 못한다. :::{container} quotebox **확인 3.** 조건문 $\forall$ 명제 "$\forall x,\ P(x) \Rightarrow Q(x)$"에서, 위 표의 "자격"과 "사건"은 각각 무엇이 되는가. S10주차의 어느 규칙이 그 답을 주는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown N4($\neg(P \Rightarrow Q) \leadsto P \wedge \neg Q$)가 답을 준다. 부정은 "$\exists x,\ P(x) \wedge \neg Q(x)$"이므로 — 자격은 **가정 $P(x_0)$이 참**, 사건은 **결론 $Q(x_0)$이 거짓**이다. 둘 다 확인해야 존재 명제의 증명이 완결된다. §0 유형 2의 답안이 빠뜨린 것이 정확히 자격 쪽이다. ::: ### 4 반례 답안의 서식 — 절차 해부 정의를 답안의 문장으로 옮기면 네 걸음이 된다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **반례 답안의 4단 서식** ① **부정 전개** — "명제가 거짓임을 보인다. 곧 $\exists x_0$: (가정 성립) $\land$ (결론 위반)을 증명한다." 전개는 S10주차의 N5$\cdot$N4로 하고 규칙 번호를 단다. ② **증인 제시** — "$x_0 = \cdots$로 두자." 값을 실제로 내놓는다. ③ **자격 검증** — 그 증인이 무대에 있고 가정을 만족함을 계산으로 보인다. ④ **사건 검증** — 그 증인에서 결론이 위반됨을 계산으로 보인다. ::: | **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | ① 부정 전개 | 무엇을 증명할지 확정한다 | 아래 두 검증이 무엇을 향한 것인지 독자가 복원할 수 없다. 조건문에서 N4를 빠뜨리면 "가정도 결론도 거짓인" 쌍을 반례로 제출하게 된다 | | ② 증인 제시 | 검증할 대상을 무대에 올린다 | 검증이 가리킬 것이 없다. "그런 것이 있다"로 메우면 곧바로 순환이 된다 | | ③ 자격 검증 | 증인이 명제의 사정권 안에 있음을 보인다 | 무대 밖 대상이 통과한다 (§1.3의 삭제 실험) | | ④ 사건 검증 | 명제가 실제로 깨짐을 보인다 | 자격만 갖춘 평범한 사례를 반례라 부르게 된다 | **걸음 삭제 실험 — ③을 빼면.** 자격 검증 의무를 지우면 다음 답안이 합법이 된다. :::{admonition} 삭제 실험 — 사건만 검증한 답안 :class: quotebox 명제: 정수 $a, b$에 대해, $a \mid b^2$이면 $a \mid b$이다. "반례: $a = 3$, $b = 2$. $3 \nmid 2$이므로 결론이 위반된다. 따라서 명제는 거짓이다." ::: :::{container} quotebox **확인 4.** 위 답안의 채점표를 만들어 보자. 자격 "$3 \mid 2^2$" 과 사건 "$3 \nmid 2$" 각각에 대해 검증 여부를 적고, 비어 있는 칸을 지목해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 사건은 검증됨 — $3k = 2$인 정수 $k$가 없으므로 $3 \nmid 2$이다. 자격은 비어 있고, 채울 수도 없다 — $2^2 = 4$이고 $3 \nmid 4$이므로 이 쌍은 가정을 만족하지 않는다. 가정이 거짓인 쌍에서는 조건문 자체가 참이므로(C5주차의 공허한 증명), 이 쌍은 명제를 조금도 흔들지 못한다. 채점표에 빈칸이 하나라도 있으면 그 답안은 반례가 아니다. ::: ### 5 귀류법 — 부정형 결론이 등식을 얻는 자리 시도 2가 막힌 이유는 결론 "$\sqrt2$는 유리수가 아니다"에 만들 등식이 없다는 것이었다. 귀류법은 그 결론을 부정해 **가정 목록에 올리는 거래**다. 부정하면 "$\sqrt2$는 유리수이다"가 되고, 이것은 등식 $\sqrt2 = a/b$를 준다 — 없던 자리에 전개할 재료가 생긴다. 대가는 도착점의 상실이며, 그 대신 도착점이 "아무 모순"으로 넓어진다. 서식과 산지는 S11주차에서 이미 이름을 얻었으므로 여기서는 그대로 가져다 쓴다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **귀류 답안의 4단 서식** ① **개시 선언** — "결론을 부정하여, ~라 가정하자." 물결 자리에는 결론의 부정을 S10주차의 규칙으로 전개한 결과를 쓴다. ② **전진** — 가정, 결론의 부정, 정의, 이미 증명된 명제로 새 사실을 만든다. ③ **모순 명시** — "그런데 ~이므로 …와 모순이다." 충돌한 두 문장을 **둘 다** 지목한다. ④ **결론 선언** — "따라서 ~이다." 원래 결론의 문장으로 돌아온다. ::: 모순의 3대 산지도 그대로다. | **산지** | **충돌하는 두 당사자** | **이번 주에서의 예** | |---|---|---| | ① 유도한 것 $\leftrightarrow$ 원래 가정 | 개시 이후 얻은 결과가 문제의 가정을 뒤집는다 | 가정이 "$t$는 무리수"인데 유도 결과가 "$t$는 유리수" (§3 훈련 2) | | ② 유도한 것 $\leftrightarrow$ 개시 가정의 다른 조각 | 개시 가정이 스스로를 뒤집는다 | 기약분수로 잡았는데 분자$\cdot$분모가 공약수를 가진다 (예제 2.2) | | ③ 유도한 것 $\leftrightarrow$ 이미 아는 참 | 정의$\cdot$기지의 정리와 부딪힌다 | 유도 결과 "$\sqrt3$은 유리수"가 기지의 "$\sqrt3$은 무리수"와 충돌 (§3 훈련 1) | Chartrand 5장이 귀류를 집중적으로 훈련하는 무대는 넷이고, 넷 모두 결론이 부정형이라 직접 증명이 막히는 자리다. | **무대** | **결론의 꼴** | **부정하면 손에 들어오는 것** | |---|---|---| | 무리수 | "$t$는 유리수가 아니다" | 등식 $t = a/b$ ($a, b$ 정수, $b \neq 0$, 기약으로 잡을 수 있다) | | 부재 | "그런 $x$는 존재하지 않는다" | "그런 $x$가 있다" — 이름을 붙여 받아 전개한다 | | 무한 | "소수는 무한히 많다" | 전체 목록 $p_1, \ldots, p_k$ — 유한 목록은 곱할 수 있다 | | 부등식 | "$a \le 0$" | "$a > 0$" — 양수 하나가 확보되어 $\varepsilon$ 자리에 넣을 수 있다 | :::{container} quotebox **확인 5.** 명제 "$x^2 = 2y^2$인 양의 정수 $x, y$는 존재하지 않는다"의 귀류 개시문을 적어 보자. 위 표의 어느 무대인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 무대는 **부재**다. 개시문: "결론을 부정하여, $x^2 = 2y^2$인 양의 정수 $x, y$가 존재한다고 가정하고, 그런 쌍 하나를 $(x, y)$로 잡자." 부재 명제의 부정이 존재 명제이므로, 개시문에서 그 대상에 **이름을 붙여 받는** 것이 전진의 출발점이다. 이름을 붙이지 않으면 다음 줄에서 쓸 문자가 없다. 이 명제가 문제 17이다. ::: :::{container} quotebox **확인 6.** 예제 2.2에서 보게 될 다음 충돌의 산지 번호는 몇 번인가. "$\sqrt p = a/b$를 기약분수로 잡았는데, 전개 끝에 $p$가 $a$와 $b$의 공약수임이 나왔다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown **산지 ②**. 충돌한 두 문장은 개시 가정의 한 조각인 "$\gcd(a, b) = 1$"과 유도 결과인 "$p$는 $a$와 $b$의 공약수"이다. 둘 다 개시 이후에 생긴 것이고, 문제의 가정("$p$는 소수")이나 외부의 기지 사실과 부딪힌 것이 아니다. 기약이라는 조각을 개시문에 미리 얹어 두지 않으면 이 산지를 쓸 수 없다는 점을 함께 기억한다. ::: ### 6 존재 증명 — 증인을 내놓는가, 있음만 보장하는가 "$\exists x \in S,\ P(x)$"를 증명하는 방식은 두 갈래다. ### 정의 7.2 — 구성적 증명 (constructive proof) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox "$\exists x \in S,\ P(x)$"의 **구성적 증명**이란, 증인 $x_0$를 명시적으로 **제시**하고 자격($x_0 \in S$)과 사건($P(x_0)$)을 검증하는 증명이다. ::: ### 정의 7.3 — 비구성적 증명 (non-constructive proof) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox "$\exists x \in S,\ P(x)$"의 **비구성적 증명**이란, 증인을 제시하지 않고 증인이 **있다는 사실만** 확립하는 증명이다. 어느 것이 증인인지는 증명이 끝나도 알지 못할 수 있다. ::: 두 갈래를 나란히 놓으면 차이가 분명해진다. | **항목** | **구성적** | **비구성적** | |---|---|---| | 답안에 "$x_0 = \cdots$" 줄이 있는가 | 있다 | 없어도 된다 | | 무엇으로 마무리하는가 | 자격 검증 + 사건 검증 | 존재를 보장하는 논증(기성 정리$\cdot$경우법$\cdot$귀류) | | 끝난 뒤 증인을 아는가 | 안다 | 모를 수 있다 | | 전형적 공급원 | 역산, 재료 조립 (S5주차 공급로 ①②) | 중간값 정리, 비둘기집 원리, 최소원리, 경우법 (S5주차 공급로 ③) | :::{container} quotebox **확인 7.** 다음 셋은 각각 구성적인가 비구성적인가. (가) "$3x - 7 = 0$인 유리수가 존재한다" — $x = \tfrac73$로 두고 검증한다 (나) "$x^5 + x - 1 = 0$인 실수가 존재한다" — 중간값 정리를 인용한다 (다) "연속한 100개의 합성수가 존재한다" — $101! + 2, \ldots, 101! + 101$을 제시한다 ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 구성적 — 증인의 값이 답안에 적혀 있다. (나) 비구성적 — 해가 $0$과 $1$ 사이에 있다는 것만 알고 값은 모른다. (다) 구성적 — 증인이 천문학적으로 크지만 식으로 명시되어 있다. **크기와 구성성은 무관하다.** 구성적이냐 아니냐는 "값을 적었는가"의 문제이지 "값이 작은가"의 문제가 아니다. ::: ### 7 "정확히 하나" — 존재와 유일의 두 책임 "정확히 하나 존재한다"는 두 개의 독립된 책임이다: **존재**(적어도 하나)와 **유일**(많아야 하나). S13주차의 두 얼굴이 유일 쪽을 담당한다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **유일성의 두 얼굴** **얼굴 1 (직접 유일성).** "$P(x_1)$이고 $P(x_2)$라 하자"로 시작해 $x_1 = x_2$를 유도한다. 서로 다르다고 가정하지 않는다. **얼굴 2 (간접 유일성).** "$P(x_1)$, $P(x_2)$, 그리고 $x_1 \neq x_2$라 가정하자"로 시작해 모순을 낸다 — 귀류가 유일성 안에서 하는 일이다. ::: :::{admonition} 표기 — $\exists!$ :class: quotebox "$\exists!\, x \in S,\ P(x)$"는 "$P$를 만족하는 $x$가 $S$ 안에 정확히 하나 존재한다"로 읽는다. 느낌표 모양의 기호이지만 강조가 아니라 "유일"의 약호다. 답안은 언제나 존재 절과 유일 절의 두 문단으로 쓴다. ::: :::{container} quotebox **확인 8.** "정확히 하나"의 두 책임 중 하나만 증명하면 무엇이 남는가. 각각의 경우에 어떤 명제가 아직 열려 있는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 존재만 증명하면 "여러 개일 가능성"이 남는다 — 예를 들어 "$x^2 = 4$인 실수가 존재한다"는 참이지만 유일하지 않다($2$와 $-2$). 유일만 증명하면 "하나도 없을 가능성"이 남는다 — "$x^2 = -1$인 실수는 많아야 하나"는 공허하게 참이지만 그런 실수는 없다. 두 책임은 서로를 함의하지 않는다 (1권 26주차 문제 20이 같은 대조를 다룬다). ::: ### 8 이번 주에 쓸 수 있는 근거 — 목록 갱신 허용 목록은 1권 이래 네 줄이다: ① 정의 ② 닫힘성 ③ 등식의 성질 ④ 이미 증명한 명제. 이번 주에 ④로 새로 등록되는 항목은 다음과 같다. 답안에서 인용할 때는 이름을 밝히고 그 가정이 충족되었음을 확인한 뒤 결론을 가져온다. | **이번 주에 인용하는 기성 정리** | **진술** | **출처와 취급** | |---|---|---| | 유클리드 보조정리 | $p$가 소수이고 $p \mid ab$이면 $p \mid a$ 또는 $p \mid b$ | S15주차 문제 10에서 증명. 1권에서는 33주차 문제 16이 인정하고 쓴 사실이다 | | $\sqrt2$$\cdot$$\sqrt3$의 무리성 | $\sqrt2 \notin \mathbb{Q}$, $\sqrt3 \notin \mathbb{Q}$ | 1권 21주차 예제 2.2와 문제 7 | | $\sqrt6$의 무리성 | $\sqrt6 \notin \mathbb{Q}$ | 1권 21주차 문제 15. $6$은 소수가 아니므로 예제 2.2로 덮이지 않는다 — 별도 인용이 필요하다 | | 유리수의 사칙 닫힘성 | 유리수끼리 더$\cdot$빼$\cdot$곱하면 유리수, $0$이 아닌 유리수로 나누어도 유리수 | 근거 ②의 유리수판. 귀류에서 "유리수가 되어 버렸다"를 만드는 통로다 | | 중간값 정리 | 닫힌 구간에서 연속인 $f$가 부호를 바꾸면 그 사이에 근이 있다 | 이 과정에서는 증명 없이 기성품으로 인정하고 쓴다 (S5주차 문제 18과 같은 취급) | | 비둘기집 원리 | 물건 수가 상자 수보다 크면 둘 이상 든 상자가 있다 | 1권 26주차 문제 19가 양말 문제로 다루었다. 지금은 인정하고 쓴다 | | 최소원리(정렬성) | 공집합이 아닌 양의 정수 집합에는 최소원소가 있다 | 1권 33주차. 다음 주 C8주차의 최소 반례법이 이 위에 세워진다 | :::{container} quotebox **확인 9.** 다음 두 인용은 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거이고, 무엇을 함께 밝혀야 하는가. (가) "$4 \mid 2^2$이나 $4 \nmid 2$이므로 유클리드 보조정리는 합성수에서 성립하지 않는다" (나) "$\sqrt2^{\sqrt2}$는 무리수임이 알려져 있으므로" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 허용 — 근거 ④의 정확한 사용이다. 정리의 가정("$p$는 소수")이 $4$에서 충족되지 않음을 지적한 것이고, 그 지적의 증거로 예제 2.1의 반례를 든 것이다. (나) 불허 — 목록에 없다. $\sqrt2^{\sqrt2}$의 무리성은 겔폰트-슈나이더 정리가 주는 사실이지만 이 과정에서 증명하지 않았고, 예제 2.3은 그 사실 **없이** 성립하도록 설계되어 있다. 목록 밖의 사실을 끌어오면 증명의 요점이 사라진다. :::