# C5주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 판별과 평가를 함께 만들기 완성된 답안을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 만들고, 2.2는 설계만 함께 하며, 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 산문으로 읽는다. ### 예제 2.1 — 자명·공허 증명 판별 **과제.** 각 Result가 자명한 증명 $\cdot$ 공허한 증명 $\cdot$ 보통의 증명 중 무엇으로 처리되는지 판정하고 증명한다 (무대 $\mathbb{R}$). - $A$: $x > 1$이면 $x^2 + 1 > 0$이다. - $B$: $x^2 + 1 < 0$이면 $x = 5$이다. - $C$: $x > 1$이면 $x^2 > 1$이다. **설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 먼저 정한다. 이번 주에는 도착점이 명제마다 달라지므로, 그 결정이 곧 유형 판별 절차다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 가정 (주어진 것) | 무대는 실수 전체, 명제는 세 개 | 각각을 $P(x)$와 $Q(x)$로 분리해 적는다 (걸음 1) | | 목표 (만들 것) | 유형 판정 + 그 유형에 맞는 증명문 | $\underline{\quad(?)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 8.** 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. 유형이 자명일 때$\cdot$공허일 때$\cdot$보통일 때 각각 무엇을 만들어야 하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 자명이면 "$Q(x)$가 모든 $x$에서 참"의 논증, 공허면 "$P(x)$가 모든 $x$에서 거짓"의 논증, 보통이면 $P(x)$에서 $Q(x)$로 가는 논증이다. 세 경우가 만드는 것이 서로 다르다는 점이 이번 주의 번역표가 앞 주차와 갈리는 자리다 — 도착점이 명제마다 달라지므로, 도착점을 정하는 일 자체가 유형 판별 절차다. ::: :::{container} quotebox **확인 9.** $A$를 자명으로 판정했다고 하자. 그 다음에 실제로 증명해야 하는 문장은 무엇인가. "$x > 1$이라 하자"로 시작하는가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 증명해야 하는 문장은 "$x^2 + 1 > 0$이 모든 실수 $x$에서 참이다"이다. "$x > 1$이라 하자"로 시작하지 **않는다** — 가정을 쓰지 않는 것이 자명한 증명의 정의이고, 가정을 선언해 놓으면 무대가 $x > 1$인 실수로 좁아져 걸음 2가 요구하는 "무대 전체"를 다루지 못한다. 오프닝은 "$x$를 임의의 실수라 하자"다. ::: **1단계 — $A$에 걸음 2를 적용한다.** :::{container} quotebox **확인 10.** $A$의 결론 $x^2 + 1 > 0$은 모든 실수에서 참인가. 근거까지 한 줄로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 참이다. 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 \ge 0$이므로 $x^2 + 1 \ge 1 > 0$이다. 따라서 $A$는 걸음 2에서 걸리고, 유형은 **자명**이다. 걸음 3은 수행하지 않는다. ::: **2단계 — $B$에 걸음 2와 걸음 3을 차례로 적용한다.** :::{container} quotebox **확인 11.** $B$의 결론 "$x = 5$"는 모든 실수에서 참인가. 참이 아니라면 걸음 3으로 넘어가 가정 "$x^2 + 1 < 0$"을 검사해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 결론은 참이 아니다 — $x = 0$이면 거짓이다. 그러므로 걸음 2는 통과하지 못하고 걸음 3으로 간다. 가정 $x^2 + 1 < 0$은 어떤 실수에서도 거짓이다. $x^2 \ge 0$이므로 $x^2 + 1 \ge 1 > 0$이고, 따라서 $x^2 + 1 < 0$인 실수는 존재하지 않는다. 유형은 **공허**다. ::: **3단계 — $C$에 절차를 적용한다.** :::{container} quotebox **확인 12.** $C$는 걸음 2와 걸음 3에서 각각 어떻게 되는가. 그리고 걸음 4로 갔다면 무엇을 고르는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 걸음 2: 결론 $x^2 > 1$은 $x = 0$에서 거짓이므로 통과하지 못한다. 걸음 3: 가정 $x > 1$은 $x = 2$에서 참이므로 통과하지 못한다. 따라서 걸음 4 — 보통의 증명이다. 가정이 등식이 아니라 부등식이고 결론도 부등식이므로, 부정을 취해 얻을 것이 없다. **직접 증명**을 고른다(S12주차의 판정 기준: 가정과 결론이 모두 긍정형이면 직접이 먼저다). ::: **4단계 — $C$의 몸통을 만든다.** :::{container} quotebox **확인 13.** $x > 1$에서 $x^2 > 1$로 가는 한 줄을 만들어 보자. 부등식의 양변에 무엇을 곱하는가. 곱하기 전에 확인할 것은 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 양변에 $x$를 곱한다. 곱하기 전에 확인할 것은 **$x$가 양수**라는 것이다 — 음수를 곱하면 부등호 방향이 뒤집히므로 근거 ③이 성립하지 않는다. 가정 $x > 1$에서 $x > 1 > 0$이므로 $x$는 양수이고, 따라서 $x \cdot x > 1 \cdot x$, 곧 $x^2 > x$다. 여기에 다시 가정 $x > 1$을 이어 붙이면 $x^2 > x > 1$이다. ::: **완성본.** 세 증명을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | **$A$의 증명.** $x$를 임의의 실수라 하자. | 무대의 대표를 문자로 올린다. 가정을 선언하지 않는다 — 선언하면 무대가 좁아진다. | | 모든 실수에서 $x^2 \ge 0$이므로 $x^2 + 1 \ge 1 > 0$이다. | 결론이 무대 전체에서 참임을 보이는 논증. 걸음 2가 요구하는 전부다. | | 결론이 가정 $x > 1$과 무관하게 참이므로, $A$는 자명하게 참이다. $\blacksquare$ | 유형을 명시하며 회수한다(걸음 5). 이 줄이 없으면 가정 미사용 답안으로 읽힌다. | | **$B$의 증명.** $x$를 임의의 실수라 하자. | 같은 오프닝. 무대 전체가 판정 범위이기 때문이다. | | $x^2 \ge 0$이므로 $x^2 + 1 \ge 1 > 0$이고, 따라서 $x^2 + 1 < 0$인 실수는 존재하지 않는다. | 가정이 무대 전체에서 거짓임을 보이는 논증(걸음 3). 결론 "$x = 5$"는 한 번도 검사하지 않는다. | | 가정이 어떤 실수에서도 성립하지 않으므로 $B$는 공허하게 참이다. $\blacksquare$ | 근거 ④(진리표의 F 행)로 회수하며 유형을 명시한다. | | **$C$의 증명.** $x$를 실수라 하고 $x > 1$이라 하자. | 보통의 증명이므로 오프닝이 다르다 — 가정을 참이라 선언하고 그 세계로 들어간다(1권 15주차 서식). | | $x > 1 > 0$이므로 $x$는 양수이고, 부등식 $x > 1$의 양변에 $x$를 곱하면 $x^2 > x$이다. | 근거 ③. 곱하는 수가 양수임을 먼저 확인해야 부등호 방향이 보존된다. | | $x > 1$이므로 $x^2 > x > 1$, 곧 $x^2 > 1$이다. $\blacksquare$ | 가정을 두 번째로 소비해 도착점에 닿는다. 가정이 실제로 소비된 것이 $A$$\cdot$$B$와의 차이다. | **세 증명이 갈린 지점.** $A$와 $B$는 겉보기에 증명이 필요해 보이지만, 진리 상태 검사 한 번으로 유형이 결정되었다. 대수 변형은 한 줄도 하지 않았다. 반면 $C$는 가정을 두 번 소비했다. 유형 판별 절차의 실익이 여기서 보인다 — 걸음 2와 3을 건너뛰면 $A$에서는 쓸 필요 없는 가정을 붙들고, $B$에서는 존재하지 않는 대상을 붙들게 된다. ### 예제 2.2 — 보조정리를 활용한 증명 **Result.** 정수 $x$에 대해, $9x + 5$가 홀수이면 $13x - 6$이 짝수이다. 이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성본으로 본다. :::{container} quotebox **확인 14.** 번역표를 채워 보자. 가정: $9x + 5$가 홀수 $\to$ $9x + 5 = \underline{\quad}$인 정수 $m$이 존재. 목표: $13x - 6$이 짝수 $\to$ $13x - 6 = \underline{\quad}$ 꼴을 만든다. 그리고 §1.5에서 정한 중간 대상은 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 가정: $9x + 5 = 2m + 1$. 목표: $13x - 6 = 2 \times (\text{정수})$ 꼴. 중간 대상은 **$x$의 홀짝**이고, 세울 보조정리는 "$9x + 5$가 홀수이면 $x$가 짝수이다"이다. 보조정리 자체는 가정이 "홀수"이고 결론이 "짝수"라 두 정의를 모두 풀어야 하는데, 결론 쪽을 부정하면 $x$가 홀수가 되어 대입할 등식이 생긴다 — 그러므로 보조정리는 **대우로** 증명한다(1권 19주차 서식). ::: | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | **보조정리.** 정수 $x$에 대해, $9x + 5$가 홀수이면 $x$가 짝수이다. | 본증명에 앞서 중간 다리를 명제로 선언한다. | | **증명.** 대우로 증명한다. 대우는 "$x$가 홀수이면 $9x + 5$가 짝수이다"이다. | 기법 선언과 제작물 명시. 만든 것이 대우인지 이인지 검사할 자리를 남긴다. | | $x$를 홀수라 하자. 정의에 의해 $x = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재한다. | 대우의 가정을 선언하고 정의를 풀어 등식을 얻는다(근거 ①). | | 그러면 $9x + 5 = 9(2k + 1) + 5 = 18k + 9 + 5 = 18k + 14 = 2(9k + 7)$이다. | 목표 꼴 $2 \times (\text{정수})$로 변형한다(근거 ③). | | $9k + 7$은 정수이므로 $9x + 5$는 짝수이고, 곧 홀수가 아니다. 대우가 증명되었으므로 보조정리도 성립한다. $\blacksquare$ | 괄호 안 정수 확인(근거 ②) 후 대우의 결론을 선언하고 원명제를 회수한다. | | **Result의 증명.** $9x + 5$가 홀수라 하자. | 본증명의 오프닝. 원명제의 가정을 선언한다. | | 보조정리에 의해 $x$는 짝수이므로, $x = 2k$인 정수 $k$가 존재한다. | 근거 ④ — 방금 증명한 보조정리를 인용해 $x$ 자체의 등식을 얻는다. 시도 C가 막힌 자리가 여기서 뚫린다. | | 그러면 $13x - 6 = 13(2k) - 6 = 26k - 6 = 2(13k - 3)$이다. | 결론 쪽 식에 대입해 목표 꼴로 변형한다. | | $13k - 3$은 정수이므로 $13x - 6$은 짝수이다. $\blacksquare$ | 괄호 안 정수 확인 후 정의로 마무리한다. | **보조정리 없는 직접 증명 (비교).** $9x + 5$가 홀수라 하자. 정의에 의해 $9x + 5 = 2m + 1$인 정수 $m$이 존재한다. 그러면 $$ 13x - 6 = (9x + 5) + (4x - 11) = (2m + 1) + 4x - 11 = 2m + 4x - 10 = 2(m + 2x - 5) $$ 이고, $m + 2x - 5$는 정수이므로 $13x - 6$은 짝수이다. $\blacksquare$ 두 증명 모두 옳다. 보조정리판은 "$x$가 짝수"라는 중간 사실을 명시해 구조가 드러나고, 직접판은 $13x - 6$을 가정의 식과 나머지로 쪼개는 한 수로 짧게 끝난다. 어느 쪽을 제출해도 된다. 다만 직접판의 그 한 수 — $13x - 6$을 $(9x + 5)$와 $(4x - 11)$의 합으로 보는 것 — 는 미리 알고 있어야 나오는 수이고, 보조정리판은 막힌 자리에서 중간 대상을 찾는 절차만으로 도달할 수 있다. ### 예제 2.3 — 증명 평가 **과제.** 다음 제시된 증명들을 평가한다 (옳음 $\cdot$ 틀림 $\cdot$ 불완전 + 이유). **제시 1.** :::{container} quotebox **Result.** 정수 $n$에 대해, $n$이 짝수이면 $n^2$이 짝수이다. **제시된 증명.** $n^2$이 짝수라 하자. 그러면 $n$도 짝수여야 한다. 따라서 성립한다. ::: **제시 2.** :::{container} quotebox **Result.** 정수 $n$에 대해, $3n + 1$이 짝수이면 $n$이 홀수이다. **제시된 증명.** $n = 1$이면 $3(1) + 1 = 4$는 짝수이고 $n = 1$은 홀수이다. $n = 3$이면 $10$은 짝수이고 $3$은 홀수이다. 따라서 성립한다. ::: **제시 3.** :::{container} quotebox **Result.** 정수 $n$에 대해, $n$이 홀수이면 $n^2 + n$이 짝수이다. **제시된 증명.** $n$이 홀수라 하자. $n = 2k + 1$이면 $n^2 + n = n(n + 1) = (2k+1)(2k+2) = 2(2k+1)(k+1)$이므로 짝수이다. 따라서 성립한다. ::: 이번에는 설계부터 스스로 해 보자. :::{container} quotebox **확인 15.** 세 답안을 채점하기 전에 공통으로 먼저 할 일이 하나 있다. 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 걸음 ①, 곧 **세 Result 자체의 진위 판정**이다. 명제가 거짓이면 그 아래 어떤 증명이 붙어 있든 판정은 "틀림"으로 끝나므로, 답안을 읽기 전에 명제부터 본다. 세 명제는 모두 참이다 — 첫째는 1권 1주차 문제 9, 둘째는 1권 19주차 문제 5와 같은 꼴, 셋째는 아래에서 확인한다. 따라서 걸림돌은 ②~⑤에 있다. ::: **제시 1의 평가.** **틀림.** 걸음 ③에서 걸린다. 원명제의 가정은 "$n$이 짝수"인데 답안의 첫 문장은 "$n^2$이 짝수라 하자"로 시작한다 — 결론을 가정 자리에 놓았다. 그 결과 답안이 다룬 것은 원명제가 아니라 그 역이고, 역은 원명제와 다른 명제다(1권 9주차). 둘째 문장 "그러면 $n$도 짝수여야 한다"는 걸음 ②에서도 걸린다 — 근거 없는 선언이고, 그 선언은 지금 증명하려는 것과 같은 급의 명제다. 올바른 직접 증명은 다음과 같다. $n$을 짝수라 하자. 정의에 의해 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$이고 $2k^2$은 정수이므로 $n^2$은 짝수이다. $\blacksquare$ **제시 2의 평가.** **불완전.** 걸음 ④에서 걸린다. $n = 1$과 $n = 3$ 두 사례를 확인했을 뿐이고, Result는 무대 $\mathbb{Z}$ 전체에 대한 전칭 명제다. 전칭 명제의 참에 필요한 것은 일반 논증이고 사례는 반례로만 쓰인다(C4주차 비대칭 표). 게다가 확인한 두 사례는 가정이 성립하는 $n$을 골라 온 것이라 결론이 성립하지 않는 $n$을 찾으려는 시도조차 아니다. 올바른 증명은 대우로 얻는다. 대우는 "$n$이 짝수이면 $3n + 1$이 홀수이다"이다. $n$을 짝수라 하자. $n = 2k$인 정수 $k$가 존재하므로 $3n + 1 = 6k + 1 = 2(3k) + 1$이고 $3k$는 정수이므로 $3n + 1$은 홀수, 곧 짝수가 아니다. 대우가 증명되었으므로 원명제도 성립한다. $\blacksquare$ **제시 3의 평가.** **옳음.** 걸음 ①부터 ⑤까지 전부 통과한다. 가정을 선언해 $n = 2k + 1$로 소비했고(③), 인수분해 $n^2 + n = n(n+1)$과 대입은 각 줄이 앞 줄에서 따라오며(②), 임의의 홀수 $n$을 문자로 다루었고(④), 문자 $k$가 소개되어 있다(⑤). 다만 $k$가 정수임을 명시하면 더 좋고, 마지막에 $(2k+1)(k+1)$이 정수임을 한 마디 붙이면 근거 ②까지 갖춘다. 덧붙여 이 Result는 실은 $n$의 홀짝과 무관하게 참이다 — $n^2 + n = n(n+1)$은 연속한 두 정수의 곱이므로 언제나 짝수다(1권 1주차 문제 16). 따라서 이 명제는 자명한 증명으로도 처리할 수 있다. 그러나 제시된 증명이 옳은지를 묻는 문제에서 이 관찰은 판정을 바꾸지 않는다 — 더 짧은 증명이 있다는 것은 제출된 증명의 결함이 아니다. ### 관찰 — 세 예제의 같은 뼈대 예제 2.1(판별), 2.2(보조정리), 2.3(평가)은 다루는 대상이 다를 뿐 걸음의 짜임이 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자. | **걸음** | **예제 2.1** | **예제 2.2** | **예제 2.3** | |---|---|---|---| | 첫째 | 무대$\cdot$가정$\cdot$결론을 분리해 적기 | 가정의 식과 결론의 식을 분리해 적기 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | 둘째 | 진리 상태 검사(걸음 2$\cdot$3) | 두 식을 잇는 중간 대상 찾기 | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | 셋째 | 판정에 맞는 증명문 제출 | 보조정리 증명 후 본증명 | $\underline{\quad(3)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 16.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채워 보자. 예제 2.3에서 실제로 한 일을 순서대로 떠올리면 된다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) 제시된 답안에서 Result와 각 줄을 분리해 적기. (2) 다섯 걸음 ①~⑤로 순서대로 검사하기. (3) 판정(옳음 / 틀림 / 불완전)을 근거와 함께 적고, 틀렸다면 올바른 증명을 처음부터 제출하기. ::: 방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **이번 주 세 작업의 공통 뼈대** ① 대상을 분리해 적는다 $\to$ ② 정해진 검사 목록을 순서대로 훑는다 $\to$ ③ 검사 결과에 맞는 문장을 제출한다. ::: 새로 배우는 계산은 하나도 없다. 달라진 것은 증명을 쓰기 전에 검사가 하나 붙었다는 것, 그리고 그 검사를 남의 답안에도 돌릴 수 있다는 것이다. ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다. ### 훈련 1 ●○○ — 판정 낱말과 부등호 빈칸 **과제.** 다음 제시된 증명을 평가하시오. :::{container} quotebox **Result.** 실수 $x$에 대해, $x^2 - 2x + 1 < 0$이면 $x = 100$이다. **제시된 증명.** $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \ge 0$이므로 가정이 성립하는 $x$는 없다. 따라서 명제는 성립한다. ::: - 이 증명이 주장하는 유형은 **$\underline{\quad(1)\quad}$한 증명**이다 (가정이 무대 전체에서 거짓). - 근거: 모든 실수 $x$에 대해 $(x - 1)^2 \underline{\quad(2)\quad} 0$이므로, $x^2 - 2x + 1 < 0$인 실수는 $\underline{\quad(3)\quad}$. - 다섯 걸음 판정: $\underline{\quad(4)\quad}$ — 가정이 무대 전체에서 거짓임을 정확히 밝혔다. - 정리: 결론 "$x = 100$"이 이상해 보여도, 가정이 무대 전체에서 거짓이면 명제는 $\underline{\quad(5)\quad}$하게 참이다 (1권 8주차 진리표의 F 행). ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 이번에는 구조 낱말과 근거 문장, 그리고 절차의 걸음 번호까지 빈칸이다. **명제.** 정수 $n$에 대해, $n$이 소수이면 $n^2 + n + 2$가 짝수이다. **증명.** $n$을 임의의 정수라 하자. $n^2 + n = \underline{\quad(1)\quad}$는 연속한 두 정수의 곱이므로 짝수이다 ($\underline{\quad(2)\quad}$ — 1권 1주차 문제 16). 따라서 $n^2 + n = 2t$인 정수 $t$가 존재하고, $$ n^2 + n + 2 = 2t + 2 = 2(\underline{\quad(3)\quad}) $$ 이다. $\underline{\quad(4)\quad}$이므로 $t + 1$은 정수이고, 따라서 $n^2 + n + 2$는 짝수이다. 결론이 가정 "$n$이 소수"와 무관하게 무대 전체에서 참이므로, 이 명제는 $\underline{\quad(5)\quad}$한 증명으로 처리된다. 유형 판별 절차의 걸음 $\underline{\quad(6)\quad}$이 이 판정을 내린 자리다. $\blacksquare$ ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 **과제.** 다음 제시된 증명을 평가하고, 결함이 있다면 올바른 증명을 처음부터 끝까지 적으시오. :::{container} quotebox **Result.** 정수 $n$에 대해, $n^2 + 1$이 짝수이면 $n$이 홀수이다. **제시된 증명.** $n = 3$이면 $n^2 + 1 = 10$은 짝수이고 $3$은 홀수이다. $n = 5$이면 $26$은 짝수이고 $5$는 홀수이다. 따라서 성립한다. ::: **뼈대.** 각 칸을 통째로 채운다. - ① 걸음 ①(명제 진위) 판정과 그 근거: $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② 다섯 걸음 중 걸리는 걸음과 그 이유: $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ 판정 낱말: $\underline{\quad(3)\quad}$ - ④ 올바른 증명 (기법 선언부터 마무리까지): $\underline{\quad(4)\quad}$ (이 훈련이 문제 15의 예행연습이다.) ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 **근거**가 점수다. 유형 판정 문제에서 "공허"라는 낱말만 적으면 0점이고, "가정 $P(x)$가 무대 전체에서 거짓이다"의 논증을 붙여야 만점이다. 증명 평가 문제에서 "틀림"이라는 낱말만 적으면 0점이고, **어느 줄이 왜** 틀렸는지 지목해야 만점이다. "불완전"이면 무엇이 빠졌는지 적는다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** [백지] 자명$\cdot$공허 증명의 정의(결론 항상 참 / 가정 항상 거짓), 증명 평가 5단계, 보조정리의 역할을 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 정의 1.1$\cdot$1.2, §1.6의 다섯 걸음, §1.5의 상자 — 세 곳을 덮으면 된다. 정의를 적을 때 "무대"와 "모든/어떤"을 빠뜨리지 않는지 §1.3 해부 표로 대조한다. ::: **2.** 각 Result의 유형(자명/공허/보통)을 판정하시오 (무대 $\mathbb{R}$, 증명은 짧게). (a) $x^2 \ge 0$이면 $x^2 + 1 \ge 1$이다. (b) $x^4 < 0$이면 $x = 7$이다. (c) $x > 2$이면 $x^2 > 4$이다. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 유형 판별 절차를 걸음 2 $\to$ 걸음 3 순으로 기계적으로 적용한다. (a)는 가정도 항상 참이라 헷갈리기 쉽다 — 걸음 2가 먼저라는 것만 기억하면 된다. ::: **3.** 예제 2.3의 세 제시를 백지 재현하고 각 평가(틀림/불완전/옳음)를 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 세 제시의 결함이 각각 다르다는 것을 먼저 떠올린다 — 하나는 가정 자리에 결론을 놓았고, 하나는 사례만 확인했으며, 하나는 정상이다. 각각이 다섯 걸음 중 어디에서 걸리는지를 함께 적으면 재현이 훨씬 쉬워진다. ::: **4.** 빈칸 사다리 훈련 1~3을 백지에서 완성하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 훈련 3부터 먼저 한다. 가장 큰 빈칸을 채우고 나면 앞의 두 훈련은 그 부분 작업이 된다. 훈련 3의 (4)에서 빠뜨리기 쉬운 것은 기법 선언("대우로 증명한다")과 대우 명시("대우는 …이다") 두 줄이다. ::: **5.** 예제 2.2의 보조정리판과 직접판을 백지 재현하고, 어느 것이 더 읽기 좋은지 자기 판단을 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 직접판은 $13x - 6$을 $(9x + 5) + (4x - 11)$로 쪼개는 한 수에 걸려 있다. 그 수가 떠오르지 않으면 보조정리판부터 재현하고, 그 다음에 "$13x - 6$에서 $9x + 5$를 빼면 무엇이 남는가"를 계산한다. ::: **6.** "정수 $n$에 대해, $n^2$이 홀수이면 $n$이 홀수"를 대우로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 이 명제는 1권 19주차 문제 4에서 이미 다룬 것이다. 대우는 "$n$이 짝수이면 $n^2$이 짝수"이고, 대우의 가정 쪽에 등식이 생기는 것이 대우로 가는 이유다. 서식의 다섯 줄(선언 $\to$ 대우 명시 $\to$ 가정 $\to$ 몸통 $\to$ 회수)을 빠뜨리지 않는다. ::: ### 표준 ●●○ :::{admonition} 문제 7 앞의 도입 — 결론이 "그리고"인 명제의 대우 :class: quotebox 결론이 "$a$와 $b$가 모두 홀수"처럼 두 조건의 **그리고**일 때, 그 부정은 드모르간에 의해 "$a$가 짝수 **또는** $b$가 짝수"가 된다(C3주차 동치 법칙). 대우의 가정이 "또는"이 되면 그대로는 등식이 하나로 정해지지 않으므로, 두 경우로 나누어 각각을 처리한다(1권 17주차 경우 나누기). 채점 기준은 둘이다 — ① 경우들이 전체를 빠짐없이 덮는가 ② 각 경우가 각각 완결되는가. ::: **7.** 다음 제시된 증명을 평가하시오. :::{container} quotebox **Result.** 정수 $a, b$에 대해, $ab$가 홀수이면 $a$와 $b$가 모두 홀수이다. **제시된 증명.** $a = 3$, $b = 5$이면 $ab = 15$는 홀수이고 $a, b$는 모두 홀수이다. 따라서 성립한다. ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 걸음 ④가 먼저 걸린다. 그 다음, 올바른 증명을 직접 증명으로 시도하면 $ab = 2m + 1$에서 $a$와 $b$를 각각 꺼낼 길이 없어 막힌다 — 위 도입 상자의 대우로 간다. 이 명제는 1권 19주차 문제 10과 같다. ::: **8.** "정수 $x$에 대해, $7x - 3$이 짝수이면 $3x + 8$이 홀수이다"를 (a) 보조정리("$7x - 3$ 짝수 $\Rightarrow$ $x$ 홀수") 활용 (b) 직접 대수 조작, 두 방법으로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a) 보조정리는 대우로 증명한다 — "$x$가 짝수이면 $7x - 3$이 홀수". (b) $3x + 8$을 $(7x - 3)$과 나머지의 합으로 쪼갠다: $3x + 8 = (7x - 3) + (\underline{\quad})$. 남는 항에 $4x$가 들어 있어도 괜찮다 — $4x$는 짝수이므로 홀짝 판정을 방해하지 않는다. ::: **9.** 다음 제시된 증명을 평가하시오. :::{container} quotebox **Result.** 실수 $x$에 대해, $x > 0$이면 $\frac1x > 0$이다. **제시된 증명.** $\frac1x > 0$은 $x > 0$일 때 분자 1이 양수이고 분모 $x$가 양수이므로 양수이다. 따라서 성립한다. ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 수학이 옳다고 해서 판정이 자동으로 "옳음"이 되지는 않는다. 걸음 ⑤를 유심히 본다 — 답안이 **결론 문장으로 시작**하고 있다. 그 서술 순서가 읽는 쪽에 무엇처럼 보이는지 적고, 순서를 바로잡은 답안을 함께 제시한다. ::: **10.** "정수 $n$에 대해, $n^3$이 짝수이면 $n$이 짝수"를 대우로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 1권 19주차 문제 8과 같은 명제다. 대우는 "$n$이 홀수이면 $n^3$이 홀수"이고, $(2k+1)^3$을 전개해도 되지만 전개가 부담스러우면 "홀수의 곱은 홀수"를 두 번 쓰는 길도 있다(근거 ④). ::: **11.** 자명$\cdot$공허의 함정: 다음이 자명$\cdot$공허인지, 아니면 실제 증명이 필요한지 판정하시오. (a) "정수 $n$에 대해, $n^2 \ge 0$이면 $n^2 + 1 > 0$." (b) "실수 $x$에 대해, $|x| < 0$이면 $x^2 = -1$." (c) "정수 $n$에 대해, $n > n$이면 $n = 5$." (d) "실수 $x$에 대해, $x = x$이면 $x^2 \ge 0$." :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 네 문항 모두 걸음 2를 먼저 적용한다. 가정이 항상 참인지 항상 거짓인지는 걸음 2가 통과하지 못한 뒤에야 묻는다. (a)와 (d)는 가정이 항상 참이라 공허해 보일 여지가 없고, (b)와 (c)는 가정이 성립하는 대상이 있는지부터 본다. ::: **12.** 증명 평가 종합: 다음을 평가하시오. :::{container} quotebox **Result.** 정수 $n$에 대해, $n$이 3의 배수이면 $n^2$이 3의 배수이다. **제시된 증명.** $n = 3k$라 하자. 그러면 $n^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$이고 $3k^2$이 정수이므로 $n^2$은 3의 배수이다. ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 다섯 걸음을 하나씩 적용하면 ①~④는 문제가 없다. 남는 것은 ⑤ 하나다 — 첫 문장이 "$n$을 3의 배수라 하자"가 아니라 "$n = 3k$라 하자"로 시작한 것이 무엇을 생략한 것인지 짚는다. 판정 낱말과 보완안을 함께 적는다. ::: **13.** 보조정리 설계: "정수 $x$에 대해, $x^2 + x$가 홀수이면 $x^3 + x$가 짝수이다"를 증명하려 한다. (a) 보조정리 후보를 하나 만드시오("$x^2 + x$ 홀수 $\Rightarrow$ ?"). (b) 실은 $x^2 + x = x(x+1)$이 항상 짝수라 가정이 항상 거짓임을 발견하고, 이 Result가 **공허**함을 밝히시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (b)를 마친 뒤 걸음 2를 이 명제에 적용해 보면 한 가지가 더 보인다 — $x^3 + x = x(x^2 + 1)$의 홀짝을 $x$가 짝수일 때와 홀수일 때로 나눠 확인한다. 확인 4에서 다룬 상황이 여기서 실제로 나타난다. ::: **14.** 세 형태 재진술: Result "정수 $x$에 대해, $x$가 홀수이면 $x^2$이 홀수"를 (a) 대우 (b) 특성화("$x$ 홀수 $\iff$ $x^2$ 홀수"의 한 방향) (c) $\forall$ 명제로 각각 재진술하고, 셋이 같은 내용임을 확인하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 셋이 "같은 내용"인 방식이 서로 다르다. (a)는 논리적 동치라서 같고, (b)는 양방향 중 한 방향이라서 부분이며, (c)는 무대를 겉으로 드러냈을 뿐이다. 이 차이를 한 줄씩 적는 것까지가 답이다(C4주차의 특성화 기준). ::: ### 도전 ●●● :::{admonition} 문제 15 앞의 도입 — 결론이 "또는"인 명제 :class: quotebox 결론이 "$x < 2$ 또는 $x > 3$"처럼 두 조건의 **또는**일 때, 어느 쪽이 성립하는지 미리 지목할 수 없는 것이 보통이다. 이때는 **한쪽을 부정해 가정에 얹고 다른 쪽을 유도한다** — 결론 $R \vee T$를 얻으려면 $\neg R$을 가정해 $T$를 이끌면 충분하다. 이 절차를 **소거법**이라 한다(S15주차 정의 15.2). 근거는 조건문 분해 $\neg R \Rightarrow T \equiv R \vee T$이고, 이 동치는 C3주차의 목록에 있다. ::: **15.** (증명 평가 대작) 다음을 평가하고, 결함이 있다면 올바른 증명을 처음부터 적으시오. :::{container} quotebox **Result.** 모든 실수 $x$에 대해, $x^2 - 5x + 6 > 0$이면 $x < 2$ 또는 $x > 3$이다. **제시된 증명.** $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) > 0$이라 하자. $x = 1$이면 $(-1)(-2) = 2 > 0$이고 $1 < 2$이다. $x = 4$이면 $2 > 0$이고 $4 > 3$이다. 따라서 성립한다. ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 평가 쪽은 걸음 ④다. 재작성 쪽은 위 도입 상자의 소거법으로 간다 — $x < 2$를 부정해 $x \ge 2$를 가정에 얹고 $x > 3$을 유도한다. 도중에 $x = 2$인 경우를 따로 처리해야 하는 자리가 한 곳 있다. 곱이 양수인데 한 인수가 0이 되면 무슨 일이 일어나는지 확인한다. ::: **16.** (보조정리 사슬) "정수 $x$에 대해, $x^2 - 3$이 짝수이면 $x^2 + 4x + 3$이 짝수이다"를 보조정리("$x^2 - 3$ 짝수 $\Rightarrow$ $x$ 홀수")로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 보조정리는 대우로 증명한다 — "$x$가 짝수이면 $x^2 - 3$이 홀수". 본증명에서는 $x^2 + 4x + 3$을 전개해 두지 말고 $(x+1)(x+3)$으로 인수분해한 뒤 $x = 2k+1$을 대입한다. 두 인수가 각각 무엇이 되는지 보면 끝난다. ::: :::{admonition} 문제 17 앞의 도입 — 근거 ④로 인용해 쓰는 사실 :class: quotebox 문제 17은 "$x^2 = 2$인 유리수가 없다", 곧 $\sqrt{2}$가 무리수라는 사실을 쓴다. 이 사실은 1권 21주차에서 귀류법으로 증명한 것이므로 근거 ④로 인용해 쓴다. 인용할 때는 "$\sqrt{2}$가 무리수이므로 $x^2 = 2$인 유리수는 존재하지 않는다"까지 한 줄로 적어, 인용한 정리와 지금 필요한 문장 사이의 연결을 남긴다. ::: **17.** (자명$\cdot$공허의 경계) 다음 Result가 무대에 따라 자명$\cdot$공허$\cdot$보통으로 바뀜을 보이시오: "$x^2 = 2$이면 $x^2 + x > 0$이다." (a) 무대 $\mathbb{Q}$ (b) 무대 $\mathbb{R}$. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 걸음 3에서 끝난다. (b)는 걸음 2와 3을 모두 통과하지 못하므로 보통의 증명이 필요하다 — 가정 $x^2 = 2$에서 $x$의 값이 둘로 좁혀지므로 경우 나누기가 자연스럽다. $x = -\sqrt{2}$ 쪽에서 $2 - \sqrt{2} > 0$을 보이려면 $\sqrt{2}$와 $2$의 대소를 비교해야 한다. ::: **18.** (진단 종합) 다음 제시된 증명의 결함을 모두 찾으시오. :::{container} quotebox **Result.** 정수 $n$에 대해, $n$이 홀수이면 $n^2 - 1$이 4의 배수이다. **제시된 증명.** $n = 2k + 1$. $n^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k+1)$. $4 \mid n^2-1$. done. ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 계산은 한 줄도 틀리지 않았다. 그러므로 걸음 ①~④가 아니라 ⑤를 본다 — 완결된 문장인가, $k$는 소개되었는가, 마지막 낱말은 수학 문장인가. 그리고 계산을 한 걸음 더 밀어 보면 이 명제보다 강한 사실이 드러난다. $k(k+1)$이 연속한 두 정수의 곱임을 이용한다(1권 1주차 문제 16). ::: **19.** (설계) Result "정수 $n$에 대해, $n^2 + 3n + 2$가 홀수이면 $n$이 짝수이다"를 다루시오. (a) $n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)$가 항상 짝수임을 보여 가정이 항상 거짓임을, 곧 이 Result가 **공허 증명**으로 처리됨을 밝히시오. (b) 이런 "숨은 공허" 명제를 미리 알아채는 법(가정 식의 진위 점검)을 한 문장으로 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a) 인수분해가 이미 문제에 주어져 있다. 남은 일은 "연속한 두 정수의 곱은 짝수"를 인용하고, 그것이 무대 **전체**에서 성립함을 밝히는 것이다. (b) 걸음 3이 하는 일을 한 문장으로 옮겨 적으면 된다. ::: **20.** (서술) (a) 자명$\cdot$공허 증명이 조건문 진리표(F$\Rightarrow$Q = T, P$\Rightarrow$T = T)의 실천임을 예제 2.1로 뒷받침하고, "증명 전 가정$\cdot$결론의 진리 상태 점검"의 실익을 세 문장 이내로 쓰시오. (b) 증명 평가가 1학기 내내 한 "진단"의 정식화임을 예제 2.3으로 설명하고, 남의 증명을 채점하는 능력과 자기 증명을 검증하는 능력이 같은 것인 이유를 두 문장 이내로 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 예제 2.1의 $A$와 $B$가 각각 진리표의 어느 행을 쓴 것인지 지목하는 데서 출발한다. 실익은 두 방향으로 적을 수 있다 — 하지 않아도 될 계산을 하지 않게 되는 쪽과, 검사를 건너뛰었을 때 실제로 무엇이 무너지는 쪽. (b)는 세 제시가 각각 어느 걸음에서 걸렸는지 먼저 적고, 그 걸음들이 자기 답안에서도 같은 목록으로 작동한다는 점을 이어 붙인다. 분량 제한도 채점 대상이다. ::: ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 **권장 일정.** 제2권 과정의 주간 루틴을 따른다. | **요일** | **할 일** | |---|---| | 1일차 | 원서 Chartrand 3장 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과) | | 2일차 | 이 문서의 §0~§2 — 개념과 예제 | | 3일차 | 원서 3장 재독 — 1일차 표시 문장 해결 + 원서 3장 연습문제 몇 개 시도 | | 4일차 | 이 문서의 §3~§4 — 빈칸 사다리와 연습문제 20문항, 그리고 1차 재현 | | 5일차 | 2차 재현(완전 백지) + 체크리스트 | 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다. **1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** 유형 판별 절차 다섯 걸음과 증명 평가 다섯 걸음, 근거 목록(§1.7)만 펴 놓고, 예제 2.1의 세 증명을 처음부터 끝까지 적는다. 정의 1.1$\cdot$1.2와 본문은 보지 않는다. **2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다. - [ ] 자명한 증명과 공허한 증명의 정의를 무대와 양화사(모든 / 어떤)를 포함해 정확히 썼다. - [ ] 유형 판별 절차 다섯 걸음을 순서대로 썼고, 걸음 2와 3의 순서를 바꿔도 되는 이유를 말할 수 있다. - [ ] 증명 평가 다섯 걸음을 썼고, 판정 낱말 세 가지(옳음 / 틀림 / 불완전)와 각각에 붙여야 할 근거를 말할 수 있다. - [ ] 예제 2.1의 $A$$\cdot$$B$$\cdot$$C$ 세 증명을 백지에 처음부터 끝까지 재현했다. - [ ] 예제 2.2의 보조정리판을 재현했고, 보조정리를 왜 대우로 증명하는지 한 문장으로 답했다. - [ ] 예제 2.3의 세 제시가 각각 어느 걸음에서 걸리는지 지목했다. - [ ] 원서 3장을 두 번 읽었다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | 자명과 공허가 자꾸 뒤바뀐다 | 정의 1.1$\cdot$1.2 — 검사 대상이 결론인지 가정인지만 붙든다. §1.2의 표로 재구성한다 | | 자명한 증명의 첫 문장이 나오지 않는다 | 확인 9 — 가정을 선언하지 않는 이유가 무대에 있다 | | 유형은 맞혔는데 논증을 못 적는다 | §1.3 해부 표의 넷째 조각 — "보이고"가 요구하는 것이 논증이다 | | 보조정리를 무엇으로 세울지 모르겠다 | 확인 5 — 두 식이 공통으로 딛고 있는 대상을 먼저 찾는다 | | 평가는 했는데 판정 문구가 빈약하다 | §1.6 끝 문단 — 틀림이면 어느 줄이 왜, 불완전이면 무엇이 빠졌는지 | | 다섯 걸음 중 어디에서 걸리는지 모르겠다 | 확인 6과 예제 2.3 — 세 제시가 각각 ③$\cdot$④$\cdot$통과의 표본이다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) 공허 (2) $\ge$ (3) 없다 (4) 옳음 (5) 공허 ※ (2)에서 $>$가 아니라 $\ge$인 것이 중요하다. $x = 1$에서 $(x-1)^2 = 0$이므로 $>$는 거짓이다. 그리고 필요한 것은 $(x-1)^2 \ge 0$뿐이다 — 여기서 곧바로 $x^2 - 2x + 1 < 0$인 실수가 없다는 결론이 나온다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) $n(n+1)$ (2) 근거 ④ (이미 증명한 명제) (3) $t + 1$ (4) 정수의 합은 정수이므로 (근거 ②) (5) 자명 (6) 2 ※ 이 명제에서 가정 "$n$이 소수"는 한 번도 쓰이지 않는다. 그것이 결함이 아니라 자명한 증명의 정의라는 것을 마지막 두 문장이 밝힌다. 걸음 5(유형 명시)가 빠지면 이 답안은 가정 미사용 답안으로 오독된다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) 참이다. $n$이 짝수이면 $n = 2k$이므로 $n^2 + 1 = 4k^2 + 1 = 2(2k^2) + 1$은 홀수다. 곧 $n^2 + 1$이 짝수인 $n$은 짝수가 아니고, 따라서 홀수다. (2) 걸음 ④(양화사와 자격). $n = 3$과 $n = 5$ 두 사례를 확인했을 뿐이고, Result는 무대 $\mathbb{Z}$ 전체에 대한 전칭 명제다. 사례는 전칭의 반례로만 쓰이고 참의 근거가 되지 못한다(C4주차 비대칭 표). (3) 불완전. (틀린 계산은 하나도 없으나 증명이 되지 못했다.) (4) 대우로 증명한다. 대우는 "$n$이 짝수이면 $n^2 + 1$이 홀수이다"이다. $n$을 짝수라 하자. 정의에 의해 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $n^2 + 1 = (2k)^2 + 1 = 4k^2 + 1 = 2(2k^2) + 1$이고, $2k^2$은 정수이므로 $n^2 + 1$은 홀수이다. 곧 $n^2 + 1$은 짝수가 아니다. 대우가 증명되었으므로 원명제도 성립한다. $\blacksquare$ ### 문제 1 **접근.** 세 덩어리를 서로 다른 곳에서 가져와야 한다 — 정의 1.1$\cdot$1.2, §1.6의 다섯 걸음, §1.5의 보조정리 상자. 정의를 적을 때 가장 자주 빠지는 조각은 "무대"와 "모든 / 어떤"이다. §1.3의 해부 표가 그 조각들이 왜 필요한지를 보여 주므로, 통째로 외운 문장이 흔들릴 때 조각의 이유에서 복구할 수 있다. **풀이.** (모범 답안) 자명한 증명: 무대 $S$의 명제 "$P(x)$이면 $Q(x)$이다"에 대해, 결론 $Q(x)$가 $S$의 **모든** $x$에서 참임을 보이고 그것으로 명제의 증명을 삼는 것. 근거는 조건문 진리표의 $P \Rightarrow T = T$다. 공허한 증명: 같은 명제에 대해, 가정 $P(x)$가 $S$의 **어떤** $x$에서도 거짓임을 보이고 그것으로 증명을 삼는 것. 근거는 $F \Rightarrow Q = T$다. 증명 평가 5단계: ① 명제 자체가 참인가 ② 각 줄이 앞 줄$\cdot$정의$\cdot$이미 증명한 명제에서 따라오는가 ③ 가정을 실제로 소비했는가 ④ 양화사와 자격이 정확한가 ⑤ 전달이 명확한가. 판정은 옳음 / 틀림(어느 줄이 왜) / 불완전(무엇이 빠졌는가). 보조정리의 역할: 가정의 식과 결론의 식이 서로 다른 대상에 관한 것일 때, 둘이 공통으로 딛고 있는 중간 대상에 대한 명제를 따로 세워 증명해 두고, 본증명에서 근거 ④로 인용해 긴 다리를 두 칸으로 나누는 것. **복기.** 세 항목이 하나의 흐름이다 — 쓰기 전 검사(자명$\cdot$공허 판별), 쓰는 도중의 분할(보조정리), 쓴 뒤의 검사(증명 평가). 이 흐름으로 묶어 두면 백지에서 세 항목을 서로의 단서로 쓸 수 있다. ### 문제 2 **접근.** 세 문항 모두 유형 판별 절차를 기계적으로 적용한다. 순서가 중요하다 — 걸음 2(결론이 무대 전체에서 참인가)를 먼저 묻고, 통과하지 못한 뒤에야 걸음 3(가정이 무대 전체에서 거짓인가)을 묻는다. (a)는 가정도 항상 참이라 "가정이 항상 참이면 무슨 유형인가"라는 질문이 떠오르기 쉬운데, 절차에는 그런 갈래가 없다 — 걸음 2에서 이미 끝난다. **풀이.** (a) **자명.** 결론 $x^2 + 1 \ge 1$은 모든 실수에서 참이다. $x^2 \ge 0$이므로 양변에 1을 더하면 $x^2 + 1 \ge 1$이기 때문이다(근거 ③). 걸음 2에서 판정이 끝나므로 가정 $x^2 \ge 0$은 사용하지 않는다. 증명: $x$를 임의의 실수라 하자. $x^2 \ge 0$이므로 $x^2 + 1 \ge 1$이다. 결론이 가정과 무관하게 참이므로 이 Result는 자명하게 참이다. $\blacksquare$ (b) **공허.** 걸음 2: 결론 $x = 7$은 $x = 0$에서 거짓이므로 통과하지 못한다. 걸음 3: 모든 실수에서 $x^4 = (x^2)^2 \ge 0$이므로 $x^4 < 0$인 실수는 존재하지 않는다. 증명: $x$를 임의의 실수라 하자. $x^4 = (x^2)^2 \ge 0$이므로 $x^4 < 0$인 실수는 없다. 가정이 어떤 실수에서도 성립하지 않으므로 이 Result는 공허하게 참이다. $\blacksquare$ (c) **보통.** 걸음 2: 결론 $x^2 > 4$는 $x = 0$에서 거짓이다. 걸음 3: 가정 $x > 2$는 $x = 3$에서 참이다. 따라서 걸음 4로 가고, 가정과 결론이 모두 긍정형 부등식이므로 직접 증명을 고른다. 증명: $x$를 실수라 하고 $x > 2$라 하자. $x > 2 > 0$이므로 $x$는 양수이고, 양변에 $x$를 곱하면 $x^2 > 2x$이다. 또 $x > 2$이므로 $2x > 4$이다. 따라서 $x^2 > 2x > 4$, 곧 $x^2 > 4$이다. $\blacksquare$ **검산.** (c)에서 $x = 3$을 넣으면 $x^2 = 9 > 4$ ✓, $x = 2.5$를 넣으면 $6.25 > 4$ ✓. 검산은 증명이 아니지만 변형이 어긋났는지 잡아내는 데는 쓸 만하다. ### 문제 3 **접근.** 재현의 열쇠는 세 제시의 결함이 각각 다르다는 것이다. 결함의 이름을 먼저 떠올리면 답안 본문이 따라 나온다 — 하나는 가정 자리에 결론을 놓았고, 하나는 사례 두 개만 확인했으며, 하나는 정상이다. 다섯 걸음 중 어디에서 걸리는지까지 함께 적어 두면 백지 재현이 훨씬 안정된다. **풀이.** 제시 1 — Result: "정수 $n$에 대해, $n$이 짝수이면 $n^2$이 짝수이다." 제시된 증명은 "$n^2$이 짝수라 하자. 그러면 $n$도 짝수여야 한다. 따라서 성립한다." 평가: **틀림**. 걸음 ③ — 가정 자리에 결론을 놓아 원명제가 아니라 그 역을 다루었고, 역은 원명제와 다른 명제다(1권 9주차). 둘째 문장은 걸음 ②에서도 걸린다 — 근거 없이 선언되었고, 그 선언은 지금 증명하려는 것과 같은 급의 명제다. 올바른 증명: $n$을 짝수라 하자. 정의에 의해 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$이고 $2k^2$은 정수이므로 $n^2$은 짝수이다. $\blacksquare$ 제시 2 — Result: "정수 $n$에 대해, $3n + 1$이 짝수이면 $n$이 홀수이다." 제시된 증명은 $n = 1$과 $n = 3$의 확인뿐이다. 평가: **불완전**. 걸음 ④ — 사례 두 개는 전칭 명제의 증명이 아니다. 올바른 증명(대우): 대우는 "$n$이 짝수이면 $3n + 1$이 홀수이다"이다. $n = 2k$라 하면 $3n + 1 = 6k + 1 = 2(3k) + 1$이고 $3k$는 정수이므로 $3n + 1$은 홀수, 곧 짝수가 아니다. 대우가 증명되었으므로 원명제도 성립한다. $\blacksquare$ 제시 3 — Result: "정수 $n$에 대해, $n$이 홀수이면 $n^2 + n$이 짝수이다." 평가: **옳음**. 가정을 소비했고(③), 인수분해와 대입이 각 줄에서 따라오며(②), 임의의 홀수를 문자로 다루었고(④), 문자가 소개되어 있다(⑤). **복기.** 세 결함의 이름을 "결론 가정 / 사례 확인 / 정상"으로 붙여 두면, 새로운 답안을 채점할 때 후보가 세 개로 좁혀진다. 결함 목록을 갖는 것이 채점 속도를 결정한다. ### 문제 4 **접근.** 훈련 1은 판정 낱말만 채우면 되고, 훈련 2는 근거 번호까지 요구하며, 훈련 3은 답안 전체를 새로 쓴다. 백지에서는 훈련 3부터 하는 것이 낫다 — 가장 어려운 것을 먼저 하면 앞의 둘은 그 부분 작업이 된다. **풀이.** 위의 "빈칸 사다리 — 훈련 1/2/3" 항목과 대조한다. 자가 채점에서 확인할 것은 세 가지다. ① 훈련 1의 (2)에 $>$가 아니라 $\ge$를 적었는가. ② 훈련 2에서 근거 번호 ④와 ②를 각각 정확한 자리에 넣었는가. ③ 훈련 3의 (4)에서 기법 선언("대우로 증명한다")과 대우 명시("대우는 …이다")를 둘 다 적었는가. 이 셋을 놓친 것이 이번 주 사다리에서 가장 자주 어긋나는 자리다. **복기.** 세 훈련은 지지대를 하나씩 뺀다. 훈련 1은 **판정 낱말과 부등호**만 비워 두어 논증의 뼈대를 그대로 보여 주고, 훈련 2는 거기에 더해 **수식$\cdot$근거 번호$\cdot$걸음 번호**를 비워 두어 각 줄이 어느 근거로 서 있는지를 스스로 채우게 하며, 훈련 3은 **답안 전체**를 비워 둔다. 그러므로 백지에서는 3 $\to$ 2 $\to$ 1의 역순으로 한다. 훈련 3을 끝내면 그 답안 안에 이미 훈련 2가 요구하는 근거 번호가 들어 있고, 훈련 1이 요구하는 판정 낱말도 들어 있어서 앞의 둘이 그 부분 작업이 되기 때문이다. 반대 순서로 하면 세 번을 각각 처음부터 시작하게 된다. ### 문제 5 **접근.** 두 판이 같은 결론에 이르는 서로 다른 길이라는 점을 먼저 붙든다. 보조정리판은 "$x$가 짝수"라는 중간 사실을 명시적으로 세우고, 직접판은 $13x - 6$을 가정의 식 $(9x + 5)$와 나머지로 쪼갠다. 재현에서 막히는 자리는 대개 직접판의 쪼개기다 — 그때는 "$13x - 6$에서 $9x + 5$를 빼면 무엇이 남는가"를 계산한다. **풀이.** 보조정리판. **보조정리.** 정수 $x$에 대해, $9x + 5$가 홀수이면 $x$가 짝수이다. 증명: 대우로 증명한다. 대우는 "$x$가 홀수이면 $9x + 5$가 짝수이다"이다. $x$를 홀수라 하자. $x = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $9x + 5 = 18k + 9 + 5 = 18k + 14 = 2(9k + 7)$이고 $9k + 7$은 정수이므로 $9x + 5$는 짝수, 곧 홀수가 아니다. 대우가 증명되었으므로 보조정리도 성립한다. $\blacksquare$ **본증명.** $9x + 5$가 홀수라 하자. 보조정리에 의해 $x$는 짝수이므로 $x = 2k$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $13x - 6 = 26k - 6 = 2(13k - 3)$이고 $13k - 3$은 정수이므로 $13x - 6$은 짝수이다. $\blacksquare$ 직접판. $9x + 5$가 홀수라 하자. $9x + 5 = 2m + 1$인 정수 $m$이 존재한다. $13x - 6 - (9x + 5) = 4x - 11$이므로 $$ 13x - 6 = (9x + 5) + (4x - 11) = (2m + 1) + 4x - 11 = 2(m + 2x - 5) $$ 이고 $m + 2x - 5$는 정수이므로 $13x - 6$은 짝수이다. $\blacksquare$ 판단(예시 답안): 보조정리판이 읽기 좋다. 직접판의 쪼개기는 결과를 알고 나면 짧지만, 그 한 수가 어디서 왔는지 답안에 남지 않는다. 보조정리판은 "$x$의 홀짝을 먼저 정한다"는 판단이 명제로 적혀 있어, 읽는 쪽이 같은 상황에서 같은 판단을 재현할 수 있다. **복기.** 두 증명 중 무엇을 제출하든 옳다. 다만 **어느 쪽이 재현 가능한가**는 다른 질문이다. 답안의 좋고 나쁨을 길이가 아니라 재현 가능성으로 재는 관점이 C1주차의 글쓰기 기준과 이어진다. ### 문제 6 **접근.** 직접으로 밀면 $n^2 = 2a + 1$에서 $n$을 꺼낼 길이 없어 막힌다 — 제곱 안에 갇힌 $n$을 꺼내는 연산이 근거 목록에 없기 때문이다. 결론을 부정하면 "$n$이 짝수"가 되어 곧바로 등식 $n = 2k$가 생긴다. 가정 쪽에 등식이 생기는 것이 대우로 갈아타는 신호다(S12주차 판정 기준). **풀이.** 대우로 증명한다. 대우는 "$n$이 짝수이면 $n^2$이 짝수이다"이다. $n$을 짝수라 하자. 정의에 의해 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $$ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) $$ 이고, $2k^2$은 정수이므로(근거 ②) $n^2$은 짝수이다. 곧 $n^2$은 홀수가 아니다. 대우가 증명되었으므로 원명제도 성립한다. $\blacksquare$ **검산.** $n = 4$이면 $n^2 = 16$은 짝수이므로 대우가 성립한다 ✓. 원명제 쪽으로도 확인하면 $n^2 = 9$가 홀수일 때 $n = 3$은 홀수다 ✓. ### 문제 7 **접근.** 걸음 ④에서 곧바로 걸린다 — $a = 3$, $b = 5$ 한 쌍의 확인은 전칭 명제의 증명이 아니다. 올바른 증명을 직접으로 시도하면 $ab = 2m + 1$에서 $a$와 $b$를 각각 꺼낼 길이 없어 막히므로 대우로 간다. 결론 "$a$와 $b$가 모두 홀수"의 부정은 드모르간에 의해 "$a$가 짝수 또는 $b$가 짝수"이고, 대우의 가정이 "또는"이므로 경우 나누기가 필요하다(1권 17주차). **풀이.** 평가: **불완전**(사실상 증명이 되지 못했다). 걸림돌은 걸음 ④다. 확인한 것은 $(a, b) = (3, 5)$ 한 쌍뿐이고, Result는 모든 정수 쌍에 대한 전칭 명제다. 게다가 그 한 쌍은 가정과 결론이 모두 성립하도록 골라 온 것이라, 결론이 무너지는 쌍을 찾으려는 시도조차 아니다. 올바른 증명. 대우로 증명한다. 대우는 "$a$가 짝수이거나 $b$가 짝수이면 $ab$가 홀수가 아니다"이다. 경우 1: $a$가 짝수라 하자. $a = 2k$인 정수 $k$가 존재하므로 $ab = 2kb = 2(kb)$이고, $kb$는 정수이므로 $ab$는 짝수, 곧 홀수가 아니다. 경우 2: $b$가 짝수라 하자. $b = 2k$인 정수 $k$가 존재하므로 $ab = 2(ak)$이고, $ak$는 정수이므로 $ab$는 짝수, 곧 홀수가 아니다. 결론의 부정이 "$a$가 짝수 또는 $b$가 짝수"이므로 두 경우가 전체를 빠짐없이 덮고, 어느 경우든 $ab$는 홀수가 아니다. 대우가 증명되었으므로 원명제도 성립한다. $\blacksquare$ **복기.** 결론이 "그리고"이면 대우의 가정이 "또는"이 되고, "또는"인 가정은 경우 나누기를 부른다(S15주차의 판정: 가정의 $\vee$는 경우법). 이 사슬 — 그리고 $\to$ 부정 $\to$ 또는 $\to$ 경우법 — 은 이번 주 이후에도 반복해서 쓰인다. ### 문제 8 **접근.** 두 방법의 갈림은 "$x$를 꺼낼 것인가, 꺼내지 않을 것인가"다. (a)는 보조정리로 $x$ 자체의 홀짝을 확정한 뒤 대입하고, (b)는 $x$를 꺼내지 않은 채 $3x + 8$을 가정의 식 $(7x - 3)$과 나머지의 합으로 쪼갠다. 보조정리 자체는 가정이 "짝수", 결론이 "홀수"라 결론을 부정하는 쪽에 등식이 생기므로 대우로 증명한다. **풀이.** (a) **보조정리.** 정수 $x$에 대해, $7x - 3$이 짝수이면 $x$가 홀수이다. 증명: 대우로 증명한다. 대우는 "$x$가 짝수이면 $7x - 3$이 홀수이다"이다. $x$를 짝수라 하자. $x = 2k$인 정수 $k$가 존재하므로 $7x - 3 = 14k - 3 = 14k - 4 + 1 = 2(7k - 2) + 1$이고, $7k - 2$는 정수이므로 $7x - 3$은 홀수, 곧 짝수가 아니다. 대우가 증명되었으므로 보조정리도 성립한다. $\blacksquare$ **본증명.** $7x - 3$이 짝수라 하자. 보조정리에 의해 $x$는 홀수이므로 $x = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $$ 3x + 8 = 3(2k + 1) + 8 = 6k + 3 + 8 = 6k + 11 = 2(3k + 5) + 1 $$ 이고 $3k + 5$는 정수이므로 $3x + 8$은 홀수이다. $\blacksquare$ (b) **직접 증명.** $7x - 3$이 짝수라 하자. 정의에 의해 $7x - 3 = 2m$인 정수 $m$이 존재한다. $3x + 8 - (7x - 3) = -4x + 11$이므로 $$ 3x + 8 = (7x - 3) + (-4x + 11) = 2m - 4x + 11 = 2m - 4x + 10 + 1 = 2(m - 2x + 5) + 1 $$ 이고, $m - 2x + 5$는 정수이므로 $3x + 8$은 홀수이다. $\blacksquare$ **검산.** $x = 1$이면 $7x - 3 = 4$는 짝수이고 $3x + 8 = 11$은 홀수다 ✓. $x = 3$이면 $18$은 짝수이고 $17$은 홀수다 ✓. ### 문제 9 **접근.** 수학적으로는 옳은 답안이므로 걸음 ①~④에서는 걸릴 것이 없다. 남는 것은 ⑤ 전달이다. 답안이 **결론 문장으로 시작**한다는 점을 본다 — "$\frac1x > 0$은 … 양수이다"라는 서술 순서는 증명하려는 것을 이미 참인 것처럼 놓고 그 이유를 붙이는 꼴이어서, 읽는 쪽에는 결론 가정처럼 보인다. 판정은 옳음이되 보완안을 함께 제시한다. **풀이.** 평가: **옳음**(전달에 보완이 필요하다). 걸음별 점검은 다음과 같다. ① 명제는 참이다 — 양수의 역수는 양수다. ② 논리에 오류는 없다. 실제로 사용한 사실은 "양수를 양수로 나눈 몫은 양수"이고 이는 실수의 순서 성질이다. ③ 가정 $x > 0$을 분모의 부호 판정에 실제로 소비했다. ④ 임의의 실수 $x$를 다루었고 자격 위반이 없다. ⑤ 결함이 있다. 서술이 결론에서 출발해 이유로 거슬러 올라가므로, 문장만 보면 결론을 전제로 둔 답안과 구별되지 않는다. 보완한 답안: "$x$를 실수라 하고 $x > 0$이라 하자. 그러면 분자 $1$과 분모 $x$가 모두 양수이므로, 양수를 양수로 나눈 몫 $\frac1x$도 양수이다. 따라서 $\frac1x > 0$이다. $\blacksquare$" **복기.** 같은 내용을 담고도 서술 순서 하나로 판정이 흔들리는 답안이 있다. 증명은 가정에서 출발해 결론으로 도착하는 순서로 적는다 — 발견한 순서가 아니라 검사할 수 있는 순서로 적는 것이 C1주차의 기준이다. ### 문제 10 **접근.** 직접으로 밀면 $n^3 = 2a$에서 $n$을 꺼낼 길이 없다. 결론을 부정하면 "$n$이 홀수"가 되어 등식 $n = 2k + 1$이 생기므로 대우로 간다. 대우의 몸통은 $(2k+1)^3$을 전개해도 되고, 이미 증명한 명제를 두 번 쓰는 길도 있다. **풀이.** 대우로 증명한다. 대우는 "$n$이 홀수이면 $n^3$이 홀수이다"이다. $n$을 홀수라 하자. 정의에 의해 $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $$ n^3 = (2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k) + 1 $$ 이고, $4k^3 + 6k^2 + 3k$는 정수이므로 $n^3$은 홀수이다. 곧 $n^3$은 짝수가 아니다. 대우가 증명되었으므로 원명제도 성립한다. $\blacksquare$ 다른 풀이(근거 ④ 재사용). $n$이 홀수이면 홀수의 제곱은 홀수이므로 $n^2$이 홀수이고(1권 1주차 문제 11), 홀수 $n^2$과 홀수 $n$의 곱 $n^3$은 홀수이다 (1권 1주차 문제 8). 따라서 $n^3$은 짝수가 아니다. $\blacksquare$ **검산.** $n = 3$이면 $n^3 = 27$은 홀수 ✓. 전개 계수도 확인한다 — $k = 1$일 때 $(2 \cdot 1 + 1)^3 = 27$이고 $2(4 + 6 + 3) + 1 = 2 \cdot 13 + 1 = 27$ ✓. ### 문제 11 **접근.** 네 문항 모두 걸음 2를 먼저 적용한다. 결론이 무대 전체에서 참이면 그 자리에서 자명으로 끝나고, 가정의 진위는 묻지 않는다. 걸음 2가 통과하지 못한 뒤에야 걸음 3으로 간다. 이 순서를 지키지 않으면 (a)와 (d)에서 "가정이 항상 참인데 어느 유형인가"라는 없는 갈래에 걸린다. **풀이.** (a) **자명.** 결론 $n^2 + 1 > 0$은 모든 정수에서 참이다 — $n^2 \ge 0$이므로 $n^2 + 1 \ge 1 > 0$이다. 걸음 2에서 판정이 끝난다. 가정 $n^2 \ge 0$도 항상 참이지만, 그 사실은 판정에 쓰이지 않는다. (b) **공허.** 걸음 2: 결론 $x^2 = -1$은 모든 실수에서 거짓이므로 통과하지 못한다. 걸음 3: 절댓값의 정의에 의해 모든 실수에서 $|x| \ge 0$이므로, $|x| < 0$인 실수는 존재하지 않는다. 따라서 공허하게 참이다. (c) **공허.** 걸음 2: 결론 $n = 5$는 $n = 0$에서 거짓이다. 걸음 3: 어떤 정수도 자기 자신보다 크지 않으므로 $n > n$인 정수는 존재하지 않는다. 따라서 공허하게 참이다. (d) **자명.** 결론 $x^2 \ge 0$은 모든 실수에서 참이므로 걸음 2에서 끝난다. 가정 $x = x$는 모든 실수에서 참이지만 판정에 쓰이지 않는다. (가정이 항상 참이라는 이유로 공허라고 적으면 정의 1.2와 어긋난다 — 공허는 가정이 항상 **거짓**일 때의 이름이다.) **복기.** (a)와 (d)는 가정이 항상 참이라는 사실이, (b)와 (c)는 결론이 이상해 보인다는 인상이 판정을 흔들기 쉽다. 절차의 순서를 지키면 둘 다 판정에 영향을 주지 못한다. 절차가 하는 일이 바로 이것이다. ### 문제 12 **접근.** 걸음 ①~④를 차례로 적용하면 걸릴 곳이 없다 — 명제는 참이고, 계산은 정확하며, 가정을 소비했고, 임의의 3의 배수를 문자로 다루었다. 남는 것은 ⑤ 하나이므로 첫 문장을 유심히 본다. "$n = 3k$라 하자"는 가정 선언과 정의 풀기를 한 문장으로 압축한 것인데, 그 압축에서 두 가지가 사라졌다. **풀이.** 평가: **옳음**(전달에 보완이 필요하다). 걸음별 점검. ① 명제는 참이다. ② 각 줄이 앞 줄에서 따라온다 — $n = 3k$에서 $n^2 = 9k^2$은 제곱, $9k^2 = 3(3k^2)$은 인수 묶기다(근거 ③). ③ 가정을 실제로 소비했다. ④ 특정 값을 대입하지 않았고 자격 위반이 없다. ⑤ 두 가지가 빠졌다. 첫째, "$n$을 3의 배수라 하자"라는 가정 선언이 없어서, $n = 3k$가 가정에서 유도된 것인지 임의로 놓은 것인지 답안만으로는 구별되지 않는다. 둘째, $k$가 어디서 온 무엇인지 소개되지 않았다 — "정의에 의해 $n = 3k$인 정수 $k$가 존재한다"가 있어야 근거 ①이 명시된다. 보완한 답안: "$n$을 3의 배수라 하자. 정의에 의해 $n = 3k$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$이고, $3k^2$은 정수이므로 $n^2$은 3의 배수이다. $\blacksquare$" **복기.** ⑤에서 걸린 답안의 판정은 대개 "옳음(보완 필요)" 또는 "불완전"이고, 둘을 가르는 기준은 **읽는 쪽이 빠진 문장을 유일하게 복원할 수 있는가**다. 이 답안은 복원 가능하므로 옳음이고, 문제 18의 답안은 복원 부담이 커서 불완전이다. ### 문제 13 **접근.** (a)는 §1.5의 절차를 그대로 밟는다 — 가정의 식 $x^2 + x$와 결론의 식 $x^3 + x$가 공통으로 딛고 있는 것은 $x$이므로, 후보는 "$x^2 + x$가 홀수이면 $x$가 (짝수 또는 홀수)이다"가 된다. 그런데 (b)에서 그 후보를 세우려는 순간 가정 자체를 검사하게 되고, 검사 결과가 보조정리를 불필요하게 만든다. **풀이.** (a) 보조정리 후보: "정수 $x$에 대해, $x^2 + x$가 홀수이면 $x$가 홀수이다" (또는 "$x$가 짝수이다"). 두 후보 중 어느 쪽이 참인지 확인하려면 $x^2 + x$의 홀짝을 $x$의 홀짝별로 계산해 보아야 한다. (b) 그 계산이 곧 답을 준다. $x^2 + x = x(x+1)$은 연속한 두 정수의 곱이므로 모든 정수 $x$에서 짝수다(1권 1주차 문제 16). 따라서 가정 "$x^2 + x$가 홀수"는 어떤 정수에서도 성립하지 않는다. 유형 판별 절차의 걸음 3에 걸리므로 이 Result는 **공허하게 참**이고, 보조정리는 필요하지 않다. 절차의 순서대로면 이 명제는 걸음 2에서 자명으로 먼저 끝난다(아래 복기). 그러나 걸음 2와 걸음 3이 둘 다 참인 명제(확인 4)이므로 어느 쪽으로 적어도 옳은 증명이고, 이 문제는 (b)가 요구하는 대로 공허 쪽 논증을 제출한다. 증명: $x$를 임의의 정수라 하자. $x^2 + x = x(x+1)$은 연속한 두 정수의 곱이므로 짝수이고, 따라서 $x^2 + x$가 홀수인 정수는 존재하지 않는다. 가정이 어떤 정수에서도 성립하지 않으므로 이 Result는 공허하게 참이다. $\blacksquare$ **복기.** 이 명제는 걸음 2로도 끝난다. $x^3 + x = x(x^2 + 1)$인데, $x$가 짝수이면 첫 인수가 짝수라 곱이 짝수이고, $x$가 홀수이면 $x^2$이 홀수라 $x^2 + 1$이 짝수여서 역시 곱이 짝수다. 곧 결론 "$x^3 + x$가 짝수"도 무대 전체에서 참이므로 **자명한 증명**으로도 처리할 수 있다. 확인 4에서 다룬 "걸음 2와 3이 둘 다 참인 명제"의 실제 사례가 이것이다. 답안에는 둘 중 실제로 사용한 쪽 하나를 적는다. ### 문제 14 **접근.** 세 재진술이 "같은 내용"인 방식이 서로 다르다는 것이 이 문제의 핵심이다. (a)는 논리적 동치라서 같고, (b)는 양방향 중 한 방향이라 부분이며, (c)는 숨어 있던 무대와 양화사를 겉으로 드러냈을 뿐이다. 셋을 나열하는 데서 멈추지 말고 이 차이를 한 줄씩 적는다. **풀이.** (a) 대우: "정수 $x$에 대해, $x^2$이 짝수이면 $x$가 짝수이다." 원명제와 논리적으로 동치이므로(1권 9주차 예제 2.1) 어느 쪽을 증명해도 다른 쪽이 따라온다. (b) 특성화의 한 방향: 특성화 "$x$가 홀수 $\iff$ $x^2$이 홀수" 가운데 ($\Rightarrow$) 방향이 원 Result다. 나머지 방향 ($\Leftarrow$) "$x^2$이 홀수이면 $x$가 홀수이다"는 원명제의 **역**이므로 (a)로부터 따라오지 않고 따로 증명해야 한다 — 그 증명이 이번 주 문제 6이며, 그 대우는 "$x$가 짝수이면 $x^2$이 짝수이다"이다. 두 방향을 각각 증명해야 특성화 전체가 완성된다. 특성화는 약속된 iff가 아니라 **증명된 iff**이므로, 인용하려면 두 방향이 모두 증명되어 있어야 한다(C4주차). (c) $\forall$ 명제: "모든 정수 $x$에 대해, $x$가 홀수이면 $x^2$이 홀수이다." 원 진술에서 "정수 $x$에 대해"가 하던 일을 양화사로 명시했을 뿐이고, 내용의 변화는 없다. 무대를 겉으로 드러내면 판정 절차(걸음 1)를 곧바로 적용할 수 있다. 세 진술이 같은 내용임의 확인: (a)는 동치이므로 원명제와 참$\cdot$거짓이 언제나 일치하고, (c)는 표기만 다르며, (b)는 원명제를 부분으로 포함한다. 셋 중 (b)만 원명제보다 강한 주장이라는 점에 주의한다. **복기.** "같은 내용"이라는 말은 세 가지 서로 다른 관계를 덮고 있다 — 동치, 표기 변경, 부분. 재진술을 요구받으면 어느 관계인지까지 밝히는 것이 채점 기준이다. ### 문제 15 **접근.** 평가는 걸음 ④에서 끝난다 — $x = 1$과 $x = 4$ 두 값의 확인은 전칭 명제의 증명이 아니다. 재작성은 결론이 "또는"이므로 소거법으로 간다. $x < 2$를 부정해 $x \ge 2$를 가정에 얹고 $x > 3$을 유도한다. 도중에 $x = 2$인 경우를 따로 쳐내야 하는데, 그 자리에서 쓰는 것이 "곱이 양수이면 어느 인수도 0이 아니다"이다. **풀이.** 평가: **불완전**(증명이 되지 못했다). 걸림돌은 걸음 ④다. Result는 모든 실수에 대한 전칭 명제인데 답안이 확인한 것은 $x = 1$과 $x = 4$ 두 값뿐이고, 그 둘은 결론이 성립하도록 골라 온 값이다. 확인하지 않은 실수 가운데 가정이 참이면서 결론이 거짓인 것이 없다는 보장이 답안 어디에도 없다. "틀림"이 아니라 "불완전"인 이유는 §1.6의 판정 규칙에 있다 — 명제 자체가 참이고 적힌 계산에도 오류가 없으며, 빠진 것은 일반 논증뿐이기 때문이다. 예제 2.3의 제시 2, 빈칸 사다리 훈련 3, 문제 7의 답안도 같은 이유로 모두 불완전이다. 올바른 증명. $x$를 실수라 하고 $x^2 - 5x + 6 > 0$이라 하자. 인수분해하면 $(x - 2)(x - 3) > 0$이다. 소거법으로 증명한다 — $x < 2$가 성립하지 않는다고, 곧 $x \ge 2$라 가정하고 $x > 3$을 유도한다. 먼저 $x \neq 2$이다. $x = 2$이면 $(x-2)(x-3) = 0$이 되어 가정 $(x-2)(x-3) > 0$에 어긋나기 때문이다. 따라서 $x > 2$, 곧 $x - 2 > 0$이다. 가정에 의해 곱 $(x-2)(x-3)$이 양수이고 첫 인수 $x - 2$가 양수이므로, 양변을 양수 $x - 2$로 나누면 부등호 방향이 보존되어 $x - 3 > 0$, 곧 $x > 3$이다. 따라서 $x < 2$이거나, 그렇지 않으면 $x > 3$이다. 곧 "$x < 2$ 또는 $x > 3$"이 성립한다. $\blacksquare$ **검산.** $x = 1$: $(-1)(-2) = 2 > 0$이고 $1 < 2$ ✓. $x = 4$: $2 \cdot 1 = 2 > 0$이고 $4 > 3$ ✓. $x = 2.5$: $(0.5)(-0.5) = -0.25$이므로 가정이 거짓 — 검사 대상이 아니다 ✓. **복기.** 소거법의 세 걸음은 ① 결론 $\vee$의 한쪽을 고른다 ② 그쪽을 부정해 가정에 얹는다 ③ 다른 쪽을 유도한다이다. 어느 쪽을 부정할지는 **부정했을 때 등식이나 부등식이 생기는 쪽**으로 고른다. 여기서는 $x < 2$를 부정하면 $x \ge 2$라는 부등식이 생겨 곱의 부호 논증에 곧바로 투입된다. ### 문제 16 **접근.** 보조정리가 문제에 주어져 있으므로 설계 부담은 없다. 남는 일은 둘이다 — 보조정리를 대우로 증명하는 것, 그리고 본증명에서 $x^2 + 4x + 3$을 전개하지 말고 $(x+1)(x+3)$으로 인수분해한 뒤 $x = 2k+1$을 대입하는 것이다. 인수분해 쪽이 훨씬 짧다. **풀이.** **보조정리.** 정수 $x$에 대해, $x^2 - 3$이 짝수이면 $x$가 홀수이다. 증명: 대우로 증명한다. 대우는 "$x$가 짝수이면 $x^2 - 3$이 홀수이다"이다. $x$를 짝수라 하자. $x = 2k$인 정수 $k$가 존재하므로 $$ x^2 - 3 = 4k^2 - 3 = 4k^2 - 4 + 1 = 2(2k^2 - 2) + 1 $$ 이고, $2k^2 - 2$는 정수이므로 $x^2 - 3$은 홀수, 곧 짝수가 아니다. 대우가 증명되었으므로 보조정리도 성립한다. $\blacksquare$ **본증명.** $x^2 - 3$이 짝수라 하자. 보조정리에 의해 $x$는 홀수이므로 $x = 2k+1$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $$ x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3) = (2k+2)(2k+4) = 4(k+1)(k+2) $$ 이고, $2(k+1)(k+2)$는 정수이므로 $x^2 + 4x + 3 = 2 \cdot 2(k+1)(k+2)$는 짝수이다. $\blacksquare$ **검산.** $x = 3$이면 $x^2 - 3 = 6$은 짝수이고 $x^2 + 4x + 3 = 9 + 12 + 3 = 24$는 짝수다 ✓. 계산식으로도 $4(k+1)(k+2)$에 $k = 1$을 넣으면 $4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$ ✓. **복기.** 이 명제는 자명도 공허도 아니다. 가정 "$x^2 - 3$이 짝수"는 $x$가 홀수일 때 성립하므로 무대 전체에서 거짓이 아니고, 결론 "$x^2 + 4x + 3$이 짝수"는 $x$가 짝수일 때 거짓이므로 무대 전체에서 참이 아니다. 걸음 2와 3을 실제로 수행해 두 갈래를 모두 배제하는 것까지가 답안의 일부다. ### 문제 17 **접근.** 이 문제가 흔드는 조각은 정의 1.2의 첫 조각, 곧 **무대**다. 문장은 한 글자도 바뀌지 않는데 무대가 $\mathbb{Q}$에서 $\mathbb{R}$로 넓어지면 가정이 성립하는 대상이 생겨 유형이 바뀐다. (a)는 걸음 3에서 끝나고, (b)는 걸음 2$\cdot$3을 모두 통과하지 못해 보통의 증명이 필요하다. **풀이.** (a) 무대 $\mathbb{Q}$: **공허.** 걸음 2: 결론 $x^2 + x > 0$은 $x = 0$에서 거짓이므로 통과하지 못한다. 걸음 3: $\sqrt{2}$가 무리수이므로(1권 21주차, 근거 ④) $x^2 = 2$인 유리수는 존재하지 않는다. 가정이 무대 전체에서 거짓이다. 증명: $x$를 임의의 유리수라 하자. $\sqrt{2}$는 무리수이므로 $x^2 = 2$인 유리수는 존재하지 않는다. 가정이 어떤 유리수에서도 성립하지 않으므로 이 Result는 공허하게 참이다. $\blacksquare$ (b) 무대 $\mathbb{R}$: **보통.** 걸음 2: 결론은 $x = -\frac12$에서 $\frac14 - \frac12 = -\frac14 < 0$이므로 거짓이다. 걸음 3: 가정은 $x = \sqrt{2}$에서 참이다. 따라서 걸음 4로 간다. 증명: $x$를 실수라 하고 $x^2 = 2$라 하자. 그러면 $x^2 - 2 = 0$, 곧 $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0$이므로 $x = \sqrt{2}$ 또는 $x = -\sqrt{2}$이다. 경우 1: $x = \sqrt{2}$. 그러면 $x^2 + x = 2 + \sqrt{2} > 0$이다. 경우 2: $x = -\sqrt{2}$. $\sqrt{2} < 2$이므로($\sqrt{2} \ge 2$라면 양변을 제곱해 $2 \ge 4$가 되어 모순이다) $2 - \sqrt{2} > 0$이고, 따라서 $x^2 + x = 2 - \sqrt{2} > 0$이다. 두 경우가 전체를 덮고 어느 경우든 $x^2 + x > 0$이다. $\blacksquare$ **복기.** 무대가 증명 유형을 바꾼다. 그러므로 유형 판별 절차의 걸음 1이 "무대와 가정$\cdot$결론을 분리해 적는다"로 시작하는 것이고, 무대를 적지 않은 채 "이 명제는 공허하다"고 말하는 것은 판정이 아니다. C4주차 문제 13이 같은 문장을 네 무대에서 판정하게 한 것도 이 훈련이었다. ### 문제 18 **접근.** 계산부터 검사하면 한 줄도 틀린 곳이 없다. 그러므로 걸음 ①~④가 아니라 ⑤를 본다 — 완결된 문장인가, $k$는 소개되었는가, 마지막 낱말은 수학 문장인가. 덧붙여 계산을 한 걸음 더 밀면 이 명제보다 강한 사실이 나온다는 것도 관찰할 가치가 있다. **풀이.** 평가: **불완전**(수학은 옳으나 증명문으로 제출할 수 없다). 걸음별 점검. ① 명제는 참이다. ② 계산이 정확하다 — $(2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k+1)$이고 $k(k+1)$이 정수이므로 4의 배수다. ③ 가정을 소비했다. ④ 자격 위반이 없다. ⑤ 결함이 셋이다. 첫째, 가정 선언이 없다 — "$n$이 홀수라 하자"가 빠진 채 "$n = 2k + 1$"이 홀로 놓여 있어, 그것이 가정에서 유도된 것인지 임의로 놓은 것인지 구별되지 않는다. 둘째, $k$가 소개되지 않았다 — "어떤 정수 $k$에 대해"가 없다. 셋째, 문장이 아니라 기호 나열이고 마지막 낱말 "done"은 수학 문장이 아니다. 관찰: $k(k+1)$은 연속한 두 정수의 곱이므로 짝수다(1권 1주차 문제 16). 따라서 $k(k+1) = 2t$인 정수 $t$가 존재하고 $n^2 - 1 = 4 \cdot 2t = 8t$이므로, 이 명제는 실은 **8의 배수**까지 참이다. 재작성: "$n$을 홀수라 하자. 정의에 의해 $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $n^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k+1)$이고, $k(k+1)$이 정수이므로 $n^2 - 1$은 4의 배수이다. $\blacksquare$" **검산.** $n = 5$이면 $n^2 - 1 = 24 = 4 \cdot 6$이고, 실제로 $24 = 8 \cdot 3$이라 8의 배수이기도 하다 ✓. $n = 7$이면 $48 = 8 \cdot 6$ ✓. **복기.** "불완전"과 "틀림"의 차이는 계산의 옳고 그름이 아니라 **읽는 쪽이 빠진 문장을 유일하게 복원할 수 있는가**다. 이 답안은 세 곳이 동시에 빠져 있어 복원 부담이 채점자에게 넘어간다. 채점자가 재구성해 준 증명을 채점하게 되는 것이 걸음 ⑤가 막는 사태다. ### 문제 19 **접근.** (a)는 인수분해가 이미 주어져 있으므로 할 일은 두 가지다 — "연속한 두 정수의 곱은 짝수"를 인용하는 것, 그리고 그것이 무대 **전체**에서 성립함을 밝히는 것이다. 사례 몇 개로는 걸음 3의 "어떤 $x$에서도"를 만족하지 못한다. (b)는 걸음 3이 하는 일을 한 문장으로 옮겨 적으면 된다. **풀이.** (a) $n$을 임의의 정수라 하자. $n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)$이고, $n+1$과 $n+2$는 연속한 두 정수이므로 그 곱은 짝수다(1권 1주차 문제 16, 근거 ④). 이것은 특정 $n$이 아니라 모든 정수 $n$에서 성립하므로, $n^2 + 3n + 2$가 홀수인 정수는 존재하지 않는다. 가정이 무대 전체에서 거짓이므로 이 Result는 공허하게 참이다. 유형 판별 절차의 걸음 3이 이 판정을 내린 자리다. $\blacksquare$ (참고로 걸음 2는 통과하지 못한다 — 결론 "$n$이 짝수"는 $n = 1$에서 거짓이므로, 이 명제는 자명한 증명으로는 처리할 수 없다. 공허 한 갈래뿐이다.) (b) 알아채는 법: 증명을 시작하기 전에 가정의 식을 인수분해하거나 정리해, 그것이 무대 전체에서 항상 짝수인지 항상 홀수인지 항상 양수인지를 먼저 검사한다 — 가정이 항상 거짓이면 공허, 결론이 항상 참이면 자명이다. **검산.** $n = 1$: $1 + 3 + 2 = 6$ 짝수 ✓. $n = 2$: $4 + 6 + 2 = 12$ 짝수 ✓. $n = -3$: $9 - 9 + 2 = 2$ 짝수 ✓. 세 값 모두 가정이 성립하지 않는다 — 공허하다는 판정과 일치한다. **복기.** 문제 13과 이 문제는 같은 함정을 공유한다. 가정의 식이 $x(x+1)$이나 $(n+1)(n+2)$처럼 **연속한 두 정수의 곱**으로 인수분해되면 그 식은 항상 짝수이고, 그것을 홀수라고 가정한 명제는 공허해진다. 가정의 식을 인수분해해 보는 습관 하나가 이 유형 전체를 처리한다. ### 문제 20 **접근.** (a)는 예제 2.1의 $A$와 $B$가 각각 진리표의 어느 행을 쓴 것인지 지목하고, 그 지목에서 실익을 끌어낸다. (b)는 1학기의 "진단"과 이번 주의 다섯 걸음이 같은 작업임을 예제 2.3의 세 제시로 뒷받침한 뒤, 채점 능력과 검증 능력이 왜 하나인지를 밝힌다. 서술 문제이므로 분량 제한(세 문장 / 두 문장)을 지키는 것도 채점 대상이다. **풀이.** (예시 답안) (a) 예제 2.1의 $A$는 결론 $x^2 + 1 > 0$이 무대 전체에서 참이라 $P \Rightarrow T = T$ 행으로 처리되었고, $B$는 가정 $x^2 + 1 < 0$이 무대 전체에서 거짓이라 $F \Rightarrow Q = T$ 행으로 처리되었다 — 두 증명 모두 진리표의 참인 행을 그대로 쓴 것이고, 새로 도입된 논리는 없다. 증명을 시작하기 전에 가정과 결론의 진리 상태를 검사하면, 겉보기에 대수 변형이 필요해 보이는 명제가 실은 이 두 행 중 하나로 끝난다는 것이 드러나 불필요한 계산을 하지 않게 된다. 더 중요한 실익은 반대쪽이다 — 검사를 건너뛰면 $B$처럼 존재하지 않는 대상을 붙들고 밀다가 막히고, $A$처럼 완주하고도 가정을 쓰지 않은 이유를 밝히지 못해 미완성 답안으로 읽힌다. (b) 예제 2.3의 세 제시를 ① 명제 진위 ② 논리 ③ 가정 사용 ④ 양화사와 자격 ⑤ 전달로 훑는 작업은, 1학기 각 주차에서 답안의 병을 찾아 이름을 붙이던 그 진단과 같은 작업이며 달라진 것은 검사 목록이 다섯 줄로 고정되었다는 것뿐이다. 남의 답안에서 결론 가정$\cdot$사례 확인$\cdot$기호 나열을 잡아내는 눈과 자기 답안에서 같은 결함을 잡아내는 눈은 같은 목록을 쓰므로, 채점 능력을 올리는 훈련이 곧 자기 증명을 검증하는 훈련이 된다. **복기.** 이 두 물음이 이번 주의 요약이다. (a)는 "쓰기 전의 검사", (b)는 "쓴 뒤의 검사"이고, 둘 다 같은 재료 — 가정$\cdot$결론$\cdot$무대$\cdot$양화사 — 를 본다. C9주차의 전반부 시험이 이 두 검사를 함께 묻는다. --- **다음 주 예고 (C6주차):** Chartrand 4장 — 직접 증명과 대우 증명의 심화. 이번 주에 짝수$\cdot$홀수 하나의 무대에서 익힌 두 서식을 다섯 개의 새 무대로 옮긴다: 나눗셈($a \mid b$), 합동($a \equiv b \pmod n$), 실수의 부등식, 집합의 포함과 상등, 데카르트 곱. 서식은 그대로이고 바뀌는 것은 "정의를 풀어 쓴다"는 걸음에서 풀 정의뿐이다. 특히 합동 산술이 계산 도구로 정비되는데, 이것이 C11주차의 동치관계와 C15주차의 정수론에서 다시 쓰인다. 1권 2주차(나눗셈)$\cdot$20주차(합동)$\cdot$ 27~28주차(집합)를 미리 훑어 두면 무대 적응이 빠르다. 주간 루틴대로 원서 4장을 먼저 통독하고 온다.