# C5주차 — 직접·대우 증명, 자명·공허 증명, 증명 평가 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 증명을 쓰기 전에 가정과 결론의 진리 상태를 먼저 검사한다 — 결론이 무대 전체에서 참이면 가정을 쓸 일이 없고, 가정이 무대 전체에서 거짓이면 들어갈 세계가 없다. 그리고 이 검사를 남의 증명에 돌리면 증명 평가가 된다. **이 주의 위치**: 2학기(Chartrand) 20주의 C5주차이자 증명 기법 파트의 첫 주. C1~C4주차가 글쓰기$\cdot$집합$\cdot$논리$\cdot$양화사로 언어를 정비했다면, 이번 주부터 그 언어로 증명을 만든다. 1권 15주차의 직접 증명 서식과 1권 19주차의 대우 증명 서식이 여기서 Chartrand의 Result 형식으로 다시 조직되고, 1권 8주차가 진리표의 아래 두 행에 붙여 둔 "공허한 참"이라는 이름이 여기서 **제출할 증명의 이름**으로 승격한다. 다음 주 C6주차는 이 두 서식을 다섯 개의 새 무대로 옮긴다. **원서 대응**: Chartrand 3장 (Direct Proof and Proof by Contrapositive). 주간 루틴 1일차에 원서 3장을 통독한 뒤 이 문서로 온다. ::: ## 이번 주 목표 1. 직접 증명과 대우 증명을 Chartrand의 **Result** 형식으로 다시 조직하고, 짝수$\cdot$홀수 무대에서 두 서식을 백지에 재현할 수 있다. 1. **자명한 증명**(결론이 무대 전체에서 참)과 **공허한 증명**(가정이 무대 전체에서 거짓)을 정의하고, 각각이 조건문 진리표의 어느 행을 쓰는지 지목할 수 있다. 1. 증명을 시작하기 전의 **유형 판별 절차** 다섯 걸음을 백지에 쓰고, 임의의 Result에 적용해 자명$\cdot$공허$\cdot$보통 중 하나로 분류할 수 있다. 1. **보조정리**를 설계해, 가정과 결론이 서로 다른 식에 관한 것일 때 중간 대상을 세워 두 식을 이을 수 있다. 1. **증명 평가**의 다섯 걸음으로 제시된 증명을 채점하고, 판정을 옳음 $\cdot$ 틀림(어느 줄이 왜) $\cdot$ 불완전(무엇이 빠졌는가) 중 하나로 적을 수 있다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (C4주차 · 1권 8주차 · 1권 19주차 복습) 노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다. 세 문항 모두 이번 주 §1이 딛고 서는 자리다. 1. 특성화(characterization)의 정의를 쓰고, 정의와 특성화를 가르는 기준을 한 줄로 적어 보자 (C4주차). 1. 직접 증명의 서식과 대우 증명의 서식을 각각 세 줄로 재현해 보자 (1권 15주차 $\cdot$ 1권 19주차). 1. 조건문 $P \Rightarrow Q$의 진리표 네 행 중 **참인 세 행**을 쓰고, 각 행이 왜 참인지 한 줄씩 적어 보자 (1권 8주차). 3번이 이번 주의 열쇠다. 오늘은 세 참 행을 한 행씩 따로 보는 대신 두 묶음으로 다시 묶는다 — **결론이 참인 행 전체**(T$\Rightarrow$T $\cdot$ F$\Rightarrow$T)와 **가정이 거짓인 행 전체**(F$\Rightarrow$T $\cdot$ F$\Rightarrow$F)다. 두 묶음이 각각 제출 가능한 증명을 하나씩 낳는다. 두 묶음은 F$\Rightarrow$T 행을 공유하므로 서로 배타적이지 않다. ### 자주 나오는 세 가지 답 — 3번 문항 3번에 적은 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 정확한 관찰에서 출발했고, 셋 다 이번 주에 메울 간격이 하나씩 있다. - **유형 1 — T$\Rightarrow$T 한 행만.** "가정이 참이고 결론도 참인 행"을 적고 멈춘다. 그 행이 증명이 실제로 다루는 행이라는 인식은 옳다 — 1권 15주차의 서식이 "$P$라 가정하자"로 시작하는 근거가 바로 그 행이다. 간격은 나머지 두 참 행을 증명과 무관한 잉여로 본 것이다. 이번 주는 세 참 행을 두 묶음으로 다시 묶어, **결론이 참인 행 전체**와 **가정이 거짓인 행 전체**가 각각 **제출 가능한 증명**을 하나씩 낳음을 보인다. - **유형 2 — 세 행을 적고 F 행 둘을 한 묶음으로.** "가정이 거짓이면 볼 것이 없으므로 참"이라고 적는다. 판정으로서는 정확하다. 간격은 "볼 것이 없다"를 "적을 것이 없다"로 읽은 데 있다. 가정이 무대의 **모든** 대상에서 거짓임을 보이는 논증은 그 자체로 한 문단짜리 증명이고, 그 문단이 §1.2에서 이름을 얻는다. - **유형 3 — F$\Rightarrow$F 행이 납득되지 않아 백지.** 가정도 결론도 거짓인데 왜 참인지 걸린다. 이 걸림은 1권 8주차 확인 4의 행 변경 실험이 다룬 자리다 — 그 행을 거짓으로 바꾸면 1~2주차에 증명한 명제 상당수가 거짓이 된다. 이번 주는 그 행을 다시 논증하지 않고, 이미 판정이 끝난 결과로 인용해서 쓴다. ## 개념 — 증명을 쓰기 전의 검사 ### 1 직접 증명의 서식으로 밀어붙이면 어디서 막히는가 이번 주의 도구가 왜 필요한지부터 확인한다. 이미 가진 것 — 1권 15주차의 직접 증명 서식 — 만으로 두 명제를 밀어붙여 본다. 무대는 실수 전체다. :::{admonition} 시도 A :class: quotebox 명제: 실수 $x$에 대해, $x^2 + 1 < 0$이면 $x = 5$이다. "$x$를 실수라 하고 $x^2 + 1 < 0$이라 하자. 그러면 $x^2 < -1$이다. 따라서 $x = \ \dots$" ::: 여기서 멈춘다. $x^2 < -1$에서 $x$의 값을 5로 좁힐 길이 없다. :::{admonition} 시도 B :class: quotebox 명제: 실수 $x$에 대해, $x > 3$이면 $x^2 + 1 > 0$이다. "$x$를 실수라 하고 $x > 3$이라 하자. 그러면 $x^2 > 9$이므로 $x^2 + 1 > 10 > 0$이다. 따라서 $x^2 + 1 > 0$이다. $\blacksquare$" ::: 이쪽은 완주했다. 그런데 가정을 "$x > 3$" 대신 "$x > -100$"으로 바꿔도, 아예 지워도 결론은 그대로 나온다. 가정이 한 번도 필요하지 않았다. :::{container} quotebox **확인 1.** 시도 A의 막힘과 시도 B의 완주는 겉보기에 정반대다. 두 시도가 통상의 증명과 어긋나는 지점을 각각 한 구절로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 시도 A는 **가정이 참인 대상이 하나도 없다** — $x^2 < -1$인 실수는 존재하지 않으므로, "$x^2 + 1 < 0$이라 하자"는 아무도 없는 방에 들어가 앉은 것이다. 변형 기술이 모자라서 막힌 것이 아니라 변형할 대상이 없어서 막혔다. 시도 B는 **결론이 가정과 무관하게 이미 참이다** — 무대의 모든 실수에서 $x^2 + 1 > 0$이므로, 가정에서 결론으로 가는 다리를 놓을 일이 애초에 없다. 두 경우 모두 "가정이 참인 세계에 들어가 결론을 만든다"는 통상의 작업이 요구되지 않는다. 요구되지 않는데 하려 들면 A처럼 막힌다. B는 가정 $x > 3$을 실제로 한 번 썼지만($x^2 > 9$를 얻는 자리) 쓸 필요가 없었다 — 가정을 지우고 $x^2 \ge 0$에서 출발해도 같은 결론이 나온다. 그런데 답안이 "결론이 가정과 무관하게 참이다"라는 사실을 밝히지 않으면, 읽는 쪽은 쓸 필요 없는 가정을 붙들고 돈 답안으로 읽는다. ::: :::{admonition} 이 주 전체의 기준 :class: quotebox 증명을 시작하기 전에 가정과 결론의 진리 상태를 먼저 검사한다. 검사 결과가 제출할 증명의 종류를 정한다. ::: ### 2 표 채우기 — 세 명제의 진리 상태 세 명제를 같은 두 질문으로 훑어 본다. 무대는 실수 전체다. | **명제** | **가정이 참인 $x$가 있는가** | **결론이 거짓인 $x$가 있는가** | |---|---|---| | $x > 3 \Rightarrow x^2 + 1 > 0$ | 있다 ($x = 4$) | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | $x^2 + 1 < 0 \Rightarrow x = 5$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | 있다 ($x = 0$) | | $x > 1 \Rightarrow x^2 > 1$ | 있다 ($x = 2$) | $\underline{\quad(3)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 2.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 세 행이 증명자에게 요구하는 일이 어떻게 다른지 한 줄로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) 없다. 모든 실수에서 $x^2 \ge 0$이므로 $x^2 + 1 \ge 1 > 0$이다. (2) 없다. 같은 이유로 $x^2 + 1 \ge 1 > 0$이므로 $x^2 + 1 < 0$인 실수는 없다. (3) 있다. $x = 0$이면 $x^2 = 0$이므로 $x^2 > 1$이 거짓이다. 요구되는 일: 첫 행은 **결론이 무대 전체에서 참**임을 보이면 끝나고, 둘째 행은 **가정이 무대 전체에서 거짓**임을 보이면 끝나며, 셋째 행만 가정이 참인 대상도 있고 결론이 거짓인 대상도 있어 둘을 잇는 논증이 필요하다. ::: 세 행에 각각 이름을 붙인다. 계산 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 두 질문을 문장으로 굳혔을 뿐이다. ### 정의 1.1 — 자명한 증명 (trivial proof) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 무대 $S$의 명제 "$P(x)$이면 $Q(x)$이다"의 **자명한 증명**이란, 결론 $Q(x)$가 $S$의 모든 $x$에서 참임을 보이고, 그것으로 명제의 증명을 삼는 것이다. ::: 이 문장은 "결론이 무대 전체에서 참이므로, 가정과 무관하게 명제가 참이다"로 읽는다. 읽는 법까지가 정의다. 근거는 1권 8주차 진리표의 T$\Rightarrow$T 행과 F$\Rightarrow$T 행이다 — 결론이 참이면 가정이 무엇이든 조건문은 참이다. ### 정의 1.2 — 공허한 증명 (vacuous proof) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 무대 $S$의 명제 "$P(x)$이면 $Q(x)$이다"의 **공허한 증명**이란, 가정 $P(x)$가 $S$의 어떤 $x$에서도 거짓임을 보이고, 그것으로 명제의 증명을 삼는 것이다. ::: "가정이 무대 전체에서 거짓이므로, 결론과 무관하게 명제가 참이다"로 읽는다. 근거는 진리표의 F$\Rightarrow$T 행과 F$\Rightarrow$F 행이다. **1권에서 이름 없이 하던 일이 여기서 이름을 얻는다.** 1권 8주차는 진리표의 아래 두 행에 "공허한 참"이라는 이름을 붙였다. 그것은 **대상 하나에 대한 판정**의 이름이었다. 이번 주에 그 이름이 **명제 전체에 대한 제출물**의 이름으로 승격한다 — 가정이 무대의 모든 대상에서 거짓임을 논증한 한 문단이 공허한 증명이다. :::{admonition} 표기 — $P(x)$와 무대 $S$ :class: quotebox $P(x)$는 "$x$가 정해져야 진위가 정해지는 문장"을 가리키고 "피 오브 엑스"로 읽는다(C4주차의 열린 문장). $S$는 $x$가 돌아다니는 범위, 곧 무대다. 이번 주의 무대는 거의 언제나 $\mathbb{Z}$ 또는 $\mathbb{R}$이고, 무대를 밝히지 않은 채로는 자명$\cdot$공허 판정이 성립하지 않는다(문제 17에서 이 점만 다룬다). ::: ### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일 정의 1.2를 조각으로 나누고, 정의 1.1의 대응 조각을 나란히 놓는다. 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다. | **조각(정의 1.2)** | **정의 1.1의 대응 조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** | |---|---|---|---| | "무대 $S$의" | "무대 $S$의" (그대로) | 판정 범위 고정 | 같은 문장도 무대가 바뀌면 유형이 바뀐다 — 문제 17이 이 조각만 흔든다 | | "가정 $P(x)$가" | "결론 $Q(x)$가" | 검사 대상 지정 | 두 정의가 갈리는 자리다. 공허는 가정만, 자명은 결론만 검사한다 | | "$S$의 어떤 $x$에서도 … 거짓" | "$S$의 모든 $x$에서 … 참" | **전칭** 요구 | 사례 몇 개로는 부족하다. 무대 전체에 대한 논증이라야 한다 | | "거짓임을 보이고" | "참임을 보이고" | 논증 요구 | "그런 것 같다"가 아니라 실제로 증명해야 한다 | | "그것으로 증명을 삼는다" | "그것으로 증명을 삼는다" (그대로) | 회수 | 공허는 진리표의 F 행을, 자명은 T 행을 딛고 원명제를 얻는다(근거 ④) | 두 정의는 조각의 자리가 하나씩 짝지어지고, 다른 것은 **무엇을 검사하는가**와 **참을 보이는가 거짓을 보이는가** 둘뿐이다. 회수 근거도 서로 다른 행이다 — 공허는 "가정이 거짓인 행"을, 자명은 "결론이 참인 행"을 인용한다. **조각 삭제 실험.** 셋째 조각의 "어떤 $x$에서도"를 "어떤 $x$에서"로 바꿔 보자. 그러면 가정을 거짓으로 만드는 $x$ 하나만 찾으면 공허하다고 선언할 수 있게 된다. 명제 "실수 $x$에 대해, $x > 100$이면 $x < 0$이다"에서 $x = 0$은 가정을 거짓으로 만든다 — 이 조각이 약해진 정의로는 공허하다고 선언된다. 그러나 $x = 200$에서는 가정이 참이고 결론이 거짓이므로, 이 명제는 실제로는 **거짓**이다. 자명 쪽에서도 같은 붕괴가 온다. 정의 1.1의 "모든 $x$에서 참"을 "어떤 $x$에서 참"으로 바꾸면, 같은 명제 "$x > 100$이면 $x < 0$이다"에서 $x = -1$이 결론을 참으로 만들므로 자명하다고 선언된다 — 역시 거짓 명제가 통과한다. :::{container} quotebox **확인 3.** "어떤 $x$에서도"를 "어떤 $x$에서"로 바꾸는 순간 정확히 무엇이 무너지는가. (위 명제 하나만의 문제인지 함께 생각해 보자.) ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 거짓 명제가 증명된 것으로 통과한다. 게다가 위 명제 하나의 문제가 아니다 — 무대에 대상이 두 개 이상 있는 한, 어떤 조건문에서든 가정을 거짓으로 만드는 $x$는 대개 하나쯤 있다. 그러므로 약해진 정의는 거의 모든 조건문을 공허하다고 선언하게 되고, "공허"라는 말이 아무것도 구별하지 못한다. 무너지는 것은 정의의 판별력 자체이지 이 명제 하나의 판정이 아니다. 정의 1.1에서 같은 붕괴가 오는 것도 원인이 하나이기 때문이다 — 전칭 요구를 존재 요구로 낮추면, 무대 전체에 대한 논증이어야 할 자리를 사례 하나가 대신하게 된다. ::: ### 4 유형 판별 절차 — 쓰기 전에 하는 검사 §1.2의 두 질문을 순서가 있는 절차로 굳힌다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **유형 판별 절차** 걸음 1. 무대 $S$와 가정 $P(x)$$\cdot$결론 $Q(x)$를 분리해 적는다. 걸음 2. $Q(x)$가 $S$ 전체에서 참인가 검사한다. 참이면 **자명한 증명**으로 처리할 수 있다. 걸음 3. 아니면 $P(x)$가 $S$ 전체에서 거짓인가 검사한다. 거짓이면 **공허한 증명**으로 처리할 수 있다. 걸음 4. 둘 다 아니면 보통의 증명이다 — 직접과 대우 중 하나를 고른다(S12주차의 판정 기준). 걸음 5. 고른 유형을 답안의 첫 문장에 명시한다. 단서 — 걸음 2와 걸음 3은 **배타적이지 않다**. 둘 다 참인 명제가 있고, 그때는 어느 쪽으로 적어도 옳은 증명이다(확인 4$\cdot$문제 13). 걸음 3의 "아니면"은 검사 순서를 정한 것이지 걸음 2가 통과한 명제에 걸음 3을 금지한 것이 아니다. ::: 절차의 다섯 걸음을 해부한다. | **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | 1. 분리해 적기 | 검사 대상 확정 | $P$와 $Q$가 한 문장에 섞인 채로는 걸음 2$\cdot$3의 검사가 시작되지 않는다 | | 2. 결론 검사 | 자명 판정 | 이미 참인 결론을 향해 가정을 붙들고 변형한다 — §1.1 시도 B의 헛수고 | | 3. 가정 검사 | 공허 판정 | 존재하지 않는 대상을 붙들고 계산한다 — §1.1 시도 A의 막힘이 그대로 재연된다 | | 4. 기법 선택 | 보통 증명 진입 | 자명$\cdot$공허가 아닌데 그렇게 선언하면 거짓일 수도 있는 명제가 통과한다 | | 5. 유형 명시 | 제출물 신분 표시 | 읽는 쪽이 가정을 쓰지 않은 이유를 알 수 없어 미완성 답안으로 읽는다 | **걸음 삭제 실험.** 걸음 5를 빼 보자. §1.1 시도 B의 명제를 절차대로 다시 적으면 "$x$를 임의의 실수라 하자. $x^2 \ge 0$이므로 $x^2 + 1 \ge 1 > 0$이다. 결론이 가정 $x > 3$과 무관하게 참이므로 이 명제는 자명하게 참이다"가 된다. 여기서 마지막 문장을 지우면 "$x$를 임의의 실수라 하자. $x^2 \ge 0$이므로 $x^2 + 1 \ge 1 > 0$이다"만 남는다. 이 문장들은 참이지만, 읽는 쪽에서는 무엇이 증명되었다는 것인지 — 결론 $x^2 + 1 > 0$인지 명제 전체인지 — 판별할 수 없다. 게다가 명제의 가정 $x > 3$이 답안 어디에도 쓰이지 않았으므로, 증명 평가의 걸음 ③(가정 사용)에서 결함으로 잡힌다. 자명$\cdot$공허 증명에서 유형을 밝히는 문장은 장식이 아니라 답안이 채점을 통과하기 위한 조건이다. :::{container} quotebox **확인 4.** 걸음 2와 걸음 3이 **둘 다** 참이 되는 명제가 있는가. 있다면 하나 만들어 보고, 그때 답안에는 무엇을 적는지 정해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 있다. 무대 $\mathbb{R}$의 "$x^2 < 0$이면 $x^2 \ge 0$이다"는 가정이 모든 실수에서 거짓이고(걸음 3) 결론도 모든 실수에서 참이다(걸음 2). 자명한 증명으로 적어도, 공허한 증명으로 적어도 옳은 증명이다. 답안에는 **실제로 사용한 쪽 하나**를 적고 그 논증을 붙인다. 두 유형이 배타적이지 않다는 것, 그리고 절차의 순서는 규칙이 아니라 관례라는 것이 여기서 드러난다. 문제 13이 이 상황의 실제 사례다. ::: ### 5 보조정리 — 가정과 결론이 다른 식일 때 보통의 증명(걸음 4)으로 들어갔는데도 막히는 경우가 있다. 예제 2.2의 Result를 직접 증명 서식으로 밀어 본다. :::{admonition} 시도 C :class: quotebox 명제: 정수 $x$에 대해, $9x + 5$가 홀수이면 $13x - 6$이 짝수이다. "$9x + 5$가 홀수라 하자. 정의에 의해 $9x + 5 = 2m + 1$인 정수 $m$이 존재한다. 그러면 $9x = 2m - 4$이므로 $x = \dfrac{2m - 4}{9}$이고 …" ::: 여기서 멈춘다. 9로 나눈 값이 정수라는 보장이 없어 다음 줄이 나오지 않는다. 가정은 $9x + 5$에 관한 것이고 결론은 $13x - 6$에 관한 것이어서, 두 식이 직접 맞물리지 않는다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **보조정리** 본증명에 앞서 따로 세워 증명해 두는 명제를 **보조정리**(lemma)라 한다. 본증명은 그것을 근거 ④(이미 증명한 명제)로 인용한다. ::: :::{container} quotebox **확인 5.** 시도 C의 막힘을 뚫으려면 무엇을 보조정리로 세워야 하는가. 두 식이 공통으로 딛고 있는 대상이 무엇인지부터 찾아 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 두 식이 공통으로 딛고 있는 것은 $x$ 자체다. 그러므로 중간 대상은 **$x$의 홀짝**이고, 세울 보조정리는 "정수 $x$에 대해, $9x + 5$가 홀수이면 $x$가 짝수이다"이다. 이것이 증명되면 본증명은 $x = 2k$를 받아 $13x - 6$에 대입하기만 하면 된다. 보조정리는 새로운 논리가 아니라 **긴 다리를 두 칸으로 나누는 일**이다. ::: ### 6 증명 평가 — 검사를 남의 답안에 돌리기 지금까지의 검사는 자기 답안을 쓰기 전에 하는 것이었다. 같은 종류의 검사를 이미 쓰인 답안에 돌리면 **증명 평가**(proof evaluation)가 된다. 채점 대상이 되는 답안을 **제시된 증명**(proposed proof)이라 부른다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **증명 평가의 다섯 걸음** ① **명제 진위** — 명제 자체가 참인가. 거짓 명제에 붙은 증명은 반드시 틀렸다. ② **논리** — 각 줄이 앞 줄$\cdot$정의$\cdot$이미 증명한 명제에서 따라오는가. ③ **가정 사용** — 가정을 실제로 소비했는가. 소비하지 않았다면 자명한 증명인가, 아니면 다른 명제를 증명한 것인가. ④ **양화사와 자격** — 특정 값 몇 개로 전칭을 대신하지 않았는가. 문자에 붙은 자격을 지켰는가. ⑤ **전달** — 문자를 소개했는가, 완결된 문장인가 (C1주차의 기호 사용 원칙). 판정은 셋 중 하나로 적는다: **옳음** / **틀림**(어느 줄이 왜) / **불완전**(무엇이 빠졌는가). ::: 다섯 걸음을 해부한다. | **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | ① 명제 진위 | 채점 대상 확인 | 거짓 명제에 붙은 매끄러운 계산을 옳음으로 통과시킨다 — 오류는 계산이 아니라 설정에 있는데 계산만 검사하게 된다 | | ② 논리 | 줄 사이의 연결 검사 | 결론이 참이라는 이유로 잘못된 유도를 통과시킨다 | | ③ 가정 사용 | 제작물 확인 | 원명제 대신 그 역이나 다른 명제를 증명한 답안이 통과한다 | | ④ 양화사$\cdot$자격 | 일반성 검사 | 사례 몇 개의 확인이 전칭 명제의 증명으로 통과한다 | | ⑤ 전달 | 읽힘 검사 | 채점자가 머릿속으로 재구성한 증명을 채점하게 된다 — 답안에 없는 것을 있다고 읽는다 | **걸음 삭제 실험.** 걸음 ③을 빼 보자. 예제 2.3의 제시 1 — 가정 자리에 결론을 놓고 시작한 답안 — 은 ②도 함께 걸린다. 그러나 ②가 잡는 것은 **근거 누락**뿐이다. ②만 남은 채점표는 "둘째 문장에 근거가 없다"까지 적고 끝나므로, 근거를 채워 넣으면 고쳐지는 답안으로 읽힌다. **무엇을 증명했는가**를 묻는 것은 ③뿐이고, ③이 없으면 그 답안이 다룬 것이 원명제가 아니라 그 역이라는 사실 자체가 채점표에 남지 않는다. 역은 원명제와 다른 명제이므로(1권 9주차), 근거를 다 채워 넣어도 그 답안은 요구된 명제를 손대지 않은 상태로 남는다. :::{container} quotebox **확인 6.** 다음 두 답안은 각각 어느 걸음에서 잡히는가. (가) "$n = 1$과 $n = 3$에서 성립하므로 모든 정수 $n$에서 성립한다." (나) "$n = 2k + 1$. $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$. 홀수. done." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 걸음 ④. 사례 두 개의 확인은 전칭 명제의 증명이 아니다(C4주차 비대칭 표 — 전칭의 참에는 일반 논증이, 거짓에는 반례 하나가 필요하다). (나) 걸음 ⑤. 계산 자체는 옳지만 완결된 문장이 아니고, $k$가 어디서 온 무엇인지 소개되지 않았으며, "done"은 수학 문장이 아니다. 걸음 ⑤에서 걸린 답안의 판정은 대개 **불완전**이다 — 틀린 것이 아니라 읽을 수 없는 것이다. 문제 18이 정확히 이 사례다. ::: **판정 낱말을 고르는 규칙.** 셋 중 어느 낱말을 적을지는 다음으로 정한다. - **틀림** — 명제 자체가 거짓이거나(걸음 ①), 답안의 어느 줄이 앞 줄에서 따라오지 않거나(걸음 ②), 요구된 명제가 아니라 다른 명제를 증명했다(걸음 ③). - **불완전** — 명제가 참이고 적힌 계산에도 오류가 없는데, 일반성이 없거나(걸음 ④) 전달이 무너져(걸음 ⑤) 증명이 되지 못했다. - **옳음** — 다섯 걸음을 모두 통과했다. 전달에 보완할 곳만 남았고 읽는 쪽이 빠진 문장을 유일하게 복원할 수 있으면 "옳음(보완 필요)"으로 적는다. 특정 값 몇 개만 확인한 답안은 계산이 옳고 명제도 참이므로 언제나 **불완전**이다. "틀림"이 아니라는 점이 중요하다 — 적힌 것 가운데 거짓인 문장이 하나도 없고, 빠진 것은 일반 논증뿐이기 때문이다. **판정 문구를 적는 법.** "틀림"으로 판정했으면 반드시 **어느 줄이 왜** 틀렸는지 지목한다. "불완전"으로 판정했으면 **무엇이 빠졌는지** 적는다. 판정 낱말만 적고 근거를 적지 않은 채점표는, 근거 없이 결론만 적은 증명과 같은 결함을 갖는다. ### 7 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개 이번 주에 근거의 칸이 늘지는 않는다. ④의 내용물이 넓어질 뿐이다. | **근거** | **내용** | **이번 주에 쓰는 자리** | |---|---|---| | ① 정의 | 짝수$\cdot$홀수(1권 1주차), 그리고 이번 주의 정의 1.1$\cdot$1.2 | 유형 판정과 몸통의 첫 수 | | ② 닫힘성 | 정수의 합$\cdot$차$\cdot$곱은 정수 | $2(\ \cdot\ )$의 괄호 안이 정수임을 확인하는 줄 | | ③ 등식$\cdot$부등식의 성질 | 전개$\cdot$묶기$\cdot$양변 연산(부등식은 곱하는 수의 부호까지) | 몸통의 변형 | | ④ 이미 증명한 명제 | 1권$\cdot$1학기의 결과, **조건문 진리표**, 그리고 **이 주에 직접 세운 보조정리** | 본증명의 인용, 자명$\cdot$공허 증명의 회수 문장 | ④가 넓어지는 두 자리를 짚어 둔다. 첫째, 자명$\cdot$공허 증명의 마지막 문장이 딛는 것은 1권 8주차의 진리표다 — 이미 판정이 끝난 결과이므로 다시 논증하지 않고 인용한다. 둘째, 보조정리는 **스스로 만들어 스스로 증명한 근거 ④**다. 남이 준 정리를 인용하는 것과 자기가 세운 정리를 인용하는 것 사이에 지위 차이는 없다. :::{container} quotebox **확인 7.** 다음 세 근거 문장은 각각 몇 번 근거인가. (가) "$9k + 7$은 정수이므로" (나) "보조정리에 의해 $x$는 짝수이므로" (다) "가정이 어떤 실수에서도 거짓이므로 명제는 참이다" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) ② 닫힘성. $k$가 정수이면 $9k$도, $9k + 7$도 정수다. (나) ④ 이미 증명한 명제. 직전에 스스로 증명해 둔 보조정리를 인용한 것이다. (다) ④. 1권 8주차 진리표의 F 행을 인용한 것이며, 여기서 새로 증명할 것은 없다. 다만 "가정이 어떤 실수에서도 거짓이다"라는 **앞 문장**은 반드시 논증되어 있어야 한다 — 인용되는 것은 진리표이지 가정의 거짓됨이 아니다. :::