# 47주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

## 예제 — ε-δ 증명을 함께 만들기

예제 2.1은 번역표부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하며, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 완성된 산문을 본다.

### 예제 2.1 — 일차함수: $\lim_{x \to 3}(2x + 1) = 7$

**명제.** $\displaystyle\lim_{x \to 3}(2x + 1) = 7$.

**설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 받는 것(출발점)과 만들 것(도착점)을 정의 47.1로 번역해서 먼저 정한다.

|  | **말** | **수식 번역** |
|---|---|---|
| 가정 (받는 것) | 출력 오차 한계가 하나 주어진다 | $\varepsilon > 0$ ($\varepsilon$은 임의) |
| 목표 (만들 것) | $\lim_{x \to 3}(2x+1) = 7$ | 양수 $\delta$를 제시하고, $0 < \lvert x - 3 \rvert < \delta$인 모든 $x$에 대해 $\lvert (2x+1) - 7 \rvert < \varepsilon$을 보인다 |

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**확인 10.** 이 증명에서 **우리가 만들어 내야 하는 대상**은 무엇이고,

**상대에게서 받는 것**은 무엇인가?
:::

:::{admonition} 답
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만들어 내야 하는 것은 양수 $\delta$ 하나다($\exists \delta$이므로 제시 책임이 우리에게 있다).

받는 것은 출력 오차 한계 $\varepsilon$이다($\forall \varepsilon$이므로 값을 고를 권한이 없고

임의의 값으로 취급해야 한다). 2주차 §1.3의 방향 표가 양화사 두 개에 각각 적용된 것이고,

45주차 확인 10에서 $N$을 두고 한 판단과 같다.
:::

**연습장 — $\delta$를 발견한다.** 목표 부등식을 $|x - 3|$에 대해 거꾸로 푼다.

$$
|(2x+1) - 7| = |2x - 6| = |2(x-3)| = 2|x - 3|
$$

(마지막 등호는 근거 ④, 17주차 문제 10.) 따라서 $2|x-3| < \varepsilon$일 조건은 $|x - 3| < \frac{\varepsilon}{2}$이고, $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$면 된다. 여기까지가 연습장이고, 본문에는 결과만 선언한다.

**1단계 — 오차를 받는다.**

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**확인 11.** 첫 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$이 임의로 주어졌다고 하자."

"임의로"를 빼면 무엇이 달라지는가?
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

"$\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자." "임의로"가 빠지면 특정 값 하나를 다루는 문장으로

읽히고, 그러면 정의 47.1의 첫 조각 $\forall \varepsilon$이 $\exists \varepsilon$으로 약해져

오차 하나에만 답하고 끝내는 훨씬 약한 명제를 증명한 것이 된다 — §1.3의 두 삭제 실험과 같은

방식의 붕괴이며, 45주차 §1.3의 조각 삭제 실험 ②가 수열에서 보인 것이 바로 이 경우다. 이

낱말이 $\forall \varepsilon$을 문장으로 옮긴 부분이다.
:::

**2단계 — 반경을 선언한다.**

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**확인 12.** 둘째 문장을 완성해 보자:

"$\delta = \underline{\quad}$로 잡자. $\underline{\qquad}$이므로 $\delta > 0$이다."
:::

:::{admonition} 답
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"$\delta = \frac{\varepsilon}{2}$로 잡자. $\varepsilon > 0$이므로 $\delta > 0$이다."

양수 확인은 형식적 절차가 아니라 정의의 조각 $\exists \delta > 0$을 지키는 문장이다. 이 확인이

빠지면 $\delta$ 자리에 0이나 음수가 올 수 있고, 그러면 검증 범위가 빈 모임이 되어 아무것도

증명하지 않은 문장이 남는다.
:::

**3단계 — 입력을 잡는다.**

:::{container} quotebox
**확인 13.** 셋째 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$라 하자."

여기서 "$0 <$"를 빼면 이 증명에서는 무엇이 달라지는가?
:::

:::{admonition} 답
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"$0 < |x - 3| < \delta$라 하자." 이 문장이 $\forall x$와 조건부의 가정을 한꺼번에 옮긴

부분이다. 이 예제에서는 "$0 <$"를 빼도 결론이 그대로 나온다 — $2x+1$은 $x = 3$에서도 값이

7로 맞기 때문이다. 그래도 정의의 꼴에 맞춰 적는다. 값이 없거나 엉뚱한 함수(§1.3의 삭제

실험 ①)에서 이 조각이 하는 일이 드러나므로 서식은 언제나 같은 꼴로 유지한다.
:::

**4단계 — 사슬을 만들고 결론을 선언한다.**

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**확인 14.** 넷째 문장을 완성해 보자:

"$|(2x+1) - 7| = |2x - 6| = \underline{\quad} < 2\delta = 2 \cdot \underline{\quad} = \underline{\quad}$."
:::

:::{admonition} 답
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$2|x - 3| < 2\delta = 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$. 부등호가 들어가는 자리는

한 곳뿐이고, 그 자리에서 가정 $|x - 3| < \delta$를 투입한다(양변에 양수 2를 곱했다 — 근거 ③,

(W3)). 사슬의 끝이 정확히 $\varepsilon$이면 정의가 요구하는 것이 확보된 것이다.
:::

**완성본.** 방금 만든 다섯 문장을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다.

| 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
| $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. | $\forall \varepsilon$을 문장으로 옮긴다. 값을 고르지 않고 받는다. |
| $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$로 잡자. $\varepsilon > 0$이므로 $\delta > 0$이다. | $\exists \delta > 0$의 제시 책임을 이행한다. 양수 확인까지가 한 걸음이다(근거 ②). |
| $0 < \lvert x - 3 \rvert < \delta$라 하자. | $\forall x$와 조건부의 가정을 옮긴다. $x = 3$은 심사에서 빠진다. |
| 그러면 $\lvert (2x+1) - 7 \rvert = \lvert 2x - 6 \rvert = 2\lvert x - 3 \rvert < 2\delta = \varepsilon$이다. | 인수분해로 $\lvert x-3 \rvert$을 노출하고(근거 ④) 가정을 투입한다. 사슬의 끝이 $\varepsilon$이다. |
| 따라서 정의 47.1에 의해 $\lim_{x \to 3}(2x+1) = 7$이다. $\blacksquare$ | 정의가 요구한 것이 전부 확보되었음을 선언한다. |

**이 다섯 줄이 "모든" 오차를 처리하는 이유.** $\varepsilon = 0.1$을 넣어 읽어 보자. $\delta = 0.05$이고, $x = 3.02$는 $0 < |x - 3| = 0.02 < 0.05$를 만족한다. 이때 $f(3.02) = 7.04$이고 $|7.04 - 7| = 0.04 < 0.1$ ✓. $\varepsilon = 0.002$를 넣으면 $\delta = 0.001$이고 같은 다섯 줄이 그대로 작동한다.

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**확인 15.** 예제 2.1의 완성본에서 $\varepsilon = 0.1$일 때 $\delta = 0.05$ 대신 $\delta = 0.2$를

썼다고 하자.

이 증명은 어디서 깨지는가? $x = 3.15$로 확인해 보자.
:::

:::{admonition} 답
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$x = 3.15$는 $0 < |x - 3| = 0.15 < 0.2$를 만족해 심사 대상에 들어오는데,

$f(3.15) = 7.3$이고 $|7.3 - 7| = 0.3$은 $0.1$보다 크다. 넷째 줄의 사슬이

$2|x-3| < 2\delta = 0.4$까지만 가고 $\varepsilon = 0.1$에 닿지 못한다. 반경은 **작게** 잡아야

안전하다는 §1.4의 표가 여기서 확인된다. 더 작게 잡는 것은 언제나 허용된다 —

$\delta = \frac{\varepsilon}{3}$으로 잡아도 사슬은 $\frac{2\varepsilon}{3} < \varepsilon$으로

닫힌다.
:::

### 예제 2.2 — min 트릭: $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$

**명제.** $\displaystyle\lim_{x \to 2} x^2 = 4$.

이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성된 산문으로 본다.

**연습장 — 여기서 예제 2.1과 갈라진다.** 목표를 $|x - 2|$가 보이도록 변형한다.

$$
|x^2 - 4| = |(x-2)(x+2)| = |x - 2|\,|x + 2|
$$

$|x - 2|$는 $\delta$로 조일 수 있다. 문제는 $|x + 2|$다.

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**확인 16.** "$|x-2| < \delta$이므로 $|x-2|\,|x+2| < \delta\,|x+2|$"까지 왔다고 하자.

여기서 $\delta$를 $\varepsilon$의 식으로 정하려 하면 무엇이 막히는가?
:::

:::{admonition} 답
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$\delta\,|x+2| < \varepsilon$에서 $\delta$를 구하면 $\delta < \frac{\varepsilon}{|x+2|}$이 되어

$\delta$가 **$x$의 식**이 된다. 정의의 양화사 순서에서 $\exists \delta$는 $\forall x$보다

앞이므로 $\delta$는 아직 등장하지도 않은 $x$를 볼 수 없다(문제 18이 이 오류를 담은 답안이다).

필요한 것은 $|x + 2|$의 **상한 상수** — $x$에 무관한 수 하나로 $|x+2|$를 눌러야 한다.
:::

**가두기.** 상한은 공짜로 얻어지지 않는다. $\delta$를 정하는 쪽이 우리이므로, $\delta$에 "$1$ 이하"라는 제한을 **미리 걸어** $x$를 2 근처에 가둔다.

$$
|x - 2| < 1 \implies 1 < x < 3 \implies 3 < x + 2 < 5 \implies |x + 2| < 5
$$

:::{container} quotebox
**확인 17.** 이제 요구가 두 개다 — ① $|x - 2| < 1$(가두기) ② $|x - 2| < \frac{\varepsilon}{5}$(조이기).

둘을 **동시에** 만족시키는 $\delta$를 하나 적어 보자: $\delta = \underline{\qquad}$.

왜 $\max$가 아니라 $\min$인가?
:::

:::{admonition} 답
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$\delta = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{5}\right)$. "민"으로 읽고 두 수 중 작은 쪽을

가리킨다. $|x - 2| < \delta$이면 $\delta$가 1 이하이므로 $|x-2| < 1$이고, $\delta$가

$\frac{\varepsilon}{5}$ 이하이므로 $|x-2| < \frac{\varepsilon}{5}$이다 — 작은 쪽을 택했기

때문에 두 조건이 함께 성립한다. $\max$를 택하면 큰 쪽만 보장되어 다른 하나가 깨진다.

46주차의 $N = \max(N_1, N_2)$와 목적은 같고 방향만 반대다 — 문턱은 둘 다 넘겨야 하므로 크게,

반경은 둘 다 안쪽이어야 하므로 작게 잡는다.

$\delta > 0$인 것도 확인해 둔다: 두 양수의 최솟값이므로 양수다(근거 ②, §1.8에서 추가한 줄).
:::

**증명.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\delta = \min\left(1, \dfrac{\varepsilon}{5}\right)$로 잡자. 1과 $\frac{\varepsilon}{5}$이 모두 양수이므로 $\delta > 0$이다. $0 < |x - 2| < \delta$라 하자.

① $\delta \le 1$이므로 $|x - 2| < 1$이고, 따라서 $1 < x < 3$, 곧 $3 < x + 2 < 5$이므로 $|x + 2| < 5$이다. ② $\delta \le \frac{\varepsilon}{5}$이므로 $|x - 2| < \frac{\varepsilon}{5}$이다. 그러면

$$
|x^2 - 4| = |x - 2|\,|x + 2| < |x - 2| \cdot 5 < \frac{\varepsilon}{5} \cdot 5 = \varepsilon
$$

이다. (첫 부등호는 $|x-2| > 0$에 $|x+2| < 5$를 곱한 것, 둘째는 양변에 양수 5를 곱한 것 — 둘 다 근거 ③의 (W3).) 따라서 정의 47.1에 의해 $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$이다. $\blacksquare$

**두 걸음의 이름.** ①을 **가두기**, ②를 **조이기**라 부른다. 가두기는 $x$에 따라 변하는 인수를 상수로 눌러 놓는 일이고, 조이기는 남은 $|x - a|$를 $\varepsilon$에 맞추는 일이다. 답안에는 두 단계를 ①②로 표시해 두면 어느 부등식이 어느 요구에서 나왔는지가 드러난다.

### 예제 2.3 — 불연속: 계단함수

**명제.** $H(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0) \\ 1 & (x \ge 0) \end{cases}$ 는 $0$에서 연속이 아니다.

이번에는 설계부터 스스로 해 보자. 쓸 것은 §1.7의 부정 문장이다.

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**확인 18.** 부정 서식 $\exists \varepsilon\, \forall \delta\, \exists x$에서 각 대상을 누가

정하는지 적어 보자. $\varepsilon$은 $\underline{\quad}$가, $\delta$는 $\underline{\quad}$가,

$x$는 $\underline{\quad}$가 정한다. 그리고 이 명제에서 $\varepsilon$을 얼마로 잡으면 되겠는가?
:::

:::{admonition} 답
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$\varepsilon$은 **내**가, $\delta$는 **상대**가(곧 임의의 값으로 받아야 한다), $x$는 **내**가

정한다. 극한 증명과 정확히 반대다. $\varepsilon$은 점프의 크기 1보다 작게만 잡으면 되므로

$\varepsilon = \frac{1}{2}$이 무난하다. $x$는 상대가 준 $\delta$를 보고 만드는 것이므로

$\delta$의 식이어도 된다 — $0$의 왼쪽에서 $\delta$ 안쪽인 점, 예를 들어

$x = -\frac{\delta}{2}$를 쓰면 된다.
:::

**증명.** $\varepsilon = \frac{1}{2}$로 잡는다. $\delta > 0$을 임의로 받았다고 하자. $x = -\frac{\delta}{2}$로 잡으면 $\delta > 0$이므로 $x < 0$이고

$$
|x - 0| = \left|-\frac{\delta}{2}\right| = \frac{\delta}{2} < \delta
$$

이다. 한편 $x < 0$이므로 $H(x) = 0$이고 $H(0) = 1$이므로

$$
|H(x) - H(0)| = |0 - 1| = 1 \ge \frac{1}{2} = \varepsilon
$$

이다. 즉 어떤 $\delta > 0$을 받아도 $|x - 0| < \delta$이면서 $|H(x) - H(0)| \ge \varepsilon$인 $x$가 존재한다. 정의 47.2의 부정이 성립하므로 $H$는 $0$에서 연속이 아니다. $\blacksquare$

**구조 읽기.** 세 층이 그대로 문장이 되었다 — "$\varepsilon = \frac12$로 잡는다"($\exists \varepsilon$), "$\delta > 0$을 임의로 받았다고 하자"($\forall \delta$), "$x = -\frac\delta2$로 잡으면"($\exists x$). 45주차 예제 2.3에서 $(-1)^n$의 발산을 증명할 때와 역할 배치가 같다. $\varepsilon$을 $\frac12$ 대신 $1$로 잡아도 통한다($1 \ge 1$이므로) — 점프 크기 이하이기만 하면 어떤 값이든 작동하고, 절반을 고르는 것은 경계에서 실수하지 않기 위한 여유다.

### 관찰 — 세 증명의 같은 뼈대

예제 2.1과 2.2는 함수만 다를 뿐 네 걸음이 같고, 예제 2.3은 같은 네 자리를 쓰되 각 자리에서 정하는 쪽이 뒤집힌다. 아래 대응표의 빈칸을 채워 보자.

| **걸음** | **예제 2.1** | **예제 2.2** | **예제 2.3 (부정 서식)** |
|---|---|---|---|
| ① 오차 받기 | "$\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자." | $\underline{\quad(1)\quad}$ | "$\varepsilon = \frac12$로 잡는다." (내가 고른다) |
| ② 반경 선언 | "$\delta = \frac{\varepsilon}{2}$로 잡자. $\delta > 0$이다." | $\underline{\quad(2)\quad}$ | "$\delta > 0$을 임의로 받았다고 하자." (상대가 준다) |
| ③ 입력 잡기 | "$0 < \lvert x - 3 \rvert < \delta$라 하자." | $\underline{\quad(3)\quad}$ | "$x = -\frac{\delta}{2}$로 잡으면" (내가 만든다) |
| ④ 사슬과 마무리 | $\lvert (2x+1) - 7 \rvert = 2\lvert x-3 \rvert < 2\delta = \varepsilon$ — 정의 47.1 | $\underline{\quad(4)\quad}$ | $\lvert H(x) - H(0) \rvert = 1 \ge \varepsilon$ — 정의 47.2의 부정 |

:::{container} quotebox
**확인 19.** 위 표의 빈칸 (1)~(4)를 예제 2.2의 산문에서 찾아 채우고,

예제 2.3만 방향이 뒤집힌 이유를 한 문장으로 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(1) "$\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자."

(2) "$\delta = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{5}\right)$로 잡자. … $\delta > 0$이다."

(3) "$0 < |x - 2| < \delta$라 하자."

(4) "$|x^2 - 4| = |x-2|\,|x+2| < |x-2| \cdot 5 < \frac{\varepsilon}{5} \cdot 5 = \varepsilon$

… 따라서 정의 47.1에 의해 …"

예제 2.1과 걸음의 개수도 순서도 같다. 다른 것은 ②에서 $\delta$를 만드는 방법 하나뿐이다.

예제 2.3만 뒤집힌 이유: 증명하는 명제가 정의가 아니라 정의의 **부정**이고, §1.7의 층별 부정이

$\forall \varepsilon\, \exists \delta\, \forall x$를 $\exists \varepsilon  \forall \delta

\exists x$로 바꾸므로 각 자리에서 값을 정하는 쪽이 통째로 맞바뀌기 때문이다.
:::

방금 확인한 것에 이름을 붙인다.

:::{admonition} 이번 주에 확인한 것
:class: quotebox

$\varepsilon$-$\delta$ 증명의 네 걸음(§1.5)은 함수가 바뀌어도 그대로다. 달라지는 것은 ②에서 $\delta$를 만드는

방법이고, $|f(x) - L|$을 인수분해했을 때 $|x - a|$ 말고 남는 인수가 있으면 그 방법이

**min 트릭**(가두기 + 조이기)이다. 불연속을 보일 때만 서식이 뒤집혀 §1.7의 부정 문장을 쓴다.
:::

## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며

훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

### 훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸

**명제.** $\displaystyle\lim_{x \to 1}(5x - 2) = 3$.

(연습장: $|(5x-2) - 3| = |5x - 5| = 5|x - 1|$이므로, $5|x-1| < \varepsilon$일 조건은 $|x - 1| < \frac{\varepsilon}{5}$이다.)

**증명.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\delta = \underline{\quad(1)\quad}$로 잡자 ($\varepsilon > 0$이므로 $\delta > 0$이다). $0 < |x - 1| < \delta$라 하자. 그러면

$$
|(5x - 2) - 3| = |5x - 5| = 5|x - 1| < 5\delta = 5 \cdot \underline{\quad(1)\quad} = \underline{\quad(2)\quad}
$$

이다. 따라서 정의 47.1에 의해 $\lim_{x \to 1}(5x-2) = 3$이다. $\blacksquare$

### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께

이번에는 근거 문장도 빈칸이다.

**명제.** $\displaystyle\lim_{x \to -1}(1 - 4x) = 5$.

**증명.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\delta = \underline{\quad(1)\quad}$로 잡자. $\varepsilon > 0$이므로 $\delta > 0$이다 ($\underline{\quad(2)\quad}$ — 근거 ②). $0 < |x - (-1)| < \delta$라 하자. 그러면

$$
|(1 - 4x) - 5| = |-4x - 4| = |-4|\,|x + 1| = \underline{\quad(3)\quad}\,|x - (-1)| < 4\delta = \underline{\quad(4)\quad}
$$

이다. (둘째 등호의 근거: $\underline{\quad(5)\quad}$ — 17주차 문제 10.) 따라서 정의 47.1에 의해 $\lim_{x \to -1}(1 - 4x) = 5$이다. $\blacksquare$

### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고

이번에는 네 걸음의 각 칸을 통째로 채운다. min 트릭이 필요한 자리다.

**명제.** $\displaystyle\lim_{x \to -1} x^2 = 1$.

**증명의 뼈대.**

- 연습장(인수분해): $|x^2 - 1| = \underline{\quad(1)\quad}$
- ① 오차 받기: $\underline{\quad(2)\quad}$
- ② 반경 선언: $\underline{\quad(3)\quad}$
- ③ 입력 잡기: $\underline{\quad(4)\quad}$
- ④ 가두기$\cdot$조이기와 마무리: $\underline{\quad(5)\quad}$

(예제 2.2의 ①②를 $a = -1$로 옮기면 된다. 가두기 상수가 5에서 몇으로 바뀌는지 스스로 계산한다. 이 훈련이 문제 10과 문제 15의 예행연습이다.)

## 연습문제 (20문항)

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다.

:::{admonition} 이번 주의 채점 기준
:class: quotebox

답이 아니라 **근거**가 점수다. "$x \to 3$이면 $2x+1 \to 7$이다(맞음)"는 0점이고,

"$\varepsilon$이 주어졌을 때 $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$로 잡으면

$0 < |x-3| < \delta$인 모든 $x$에서 $|(2x+1)-7| = 2|x-3| < 2\delta = \varepsilon$이다"가

만점이다. 특히 네 곳을 본다 — ① 첫 줄에 "임의로 주어졌다"가 있는가 ② $\delta$를 선언하고

$\delta > 0$을 확인했는가 ③ $\delta$의 식에 $x$가 섞여 있지 않은가 ④ 사슬의 끝이

$\varepsilon$인가. min 트릭 문제는 ①가두기 ②조이기 두 단계를 표시한다.

힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.
:::

### 기본 ●○○

**1.** [백지] $\varepsilon$-$\delta$ 정의를 쓰고, (a) "$0 < |x-a|$"의 역할 (b) $\varepsilon$-N과의 대응(무엇이 무엇으로 바뀌었나)을 쓰시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

정의는 §1.3의 조각 표를 순서대로 이어 붙이면 복원된다. (b)는 §1.4의 대비표 다섯 행이

그대로 답이다 — 바뀐 것은 내가 제시하는 것과 검증 범위이고, 바뀌지 않은 것은 $\varepsilon$이다.
:::

**2.** (수치 연습) $f(x) = 3x$, $a = 2$, $L = 6$: 다음 $\varepsilon$에 대응할 $\delta$를 수치로 제시하시오 (증명 불필요): (a) $\varepsilon = 0.3$ (b) $\varepsilon = 0.03$

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$|3x - 6| = 3|x - 2|$까지 정리한 뒤 $|x-2|$에 대해 푼다. §1.2의 표에서 한 계산과 같고,

계수만 2에서 3으로 바뀌었다.
:::

**3.** $\lim_{x \to 4}(x + 5) = 9$를 증명하시오 ($\delta = \varepsilon$인 가장 순한 경우).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$|(x+5) - 9|$를 정리하면 $|x - 4|$가 그대로 나온다. 계수가 1이므로 연습장의 역산이

한 줄로 끝난다. 그래도 네 걸음은 전부 적는다.
:::

**4.** 빈칸 사다리 훈련 1($5x - 2$)을 백지에서 완성하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

빈칸을 채우는 것이 아니라 처음부터 네 걸음을 적는다. 연습장(역산)을 먼저 하고,

본문에는 $\delta$를 선언으로만 등장시킨다.
:::

**5.** 예제 2.1($2x + 1$)을 백지에 재현하시오 — 연습장/본문 분리 포함.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

자가 채점의 기준은 다섯 줄의 존재 여부다: 오차 받기 / 반경 선언과 양수 확인 /

입력 잡기 / 사슬 / 정의 인용 결론. 연습장의 역산이 본문에 섞여 들어갔는지도 확인한다.
:::

**6.** 상수함수 $f(x) = c$가 모든 점에서 연속임을 증명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

확인 7에서 정리한 대로 $f(a)$를 먼저 적는다 — $f(a) = c$다. 그러면 사슬의 왼쪽 끝이

$|c - c| = 0$이 되고, $\delta$는 아무 양수여도 된다. 아무 양수여도 된다는 사실을

답안에 어떻게 적을지가 이 문제의 요점이다.
:::

### 표준 ●●○

**7.** $\lim_{x \to -1}(4 - 3x) = 7$을 증명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$|(4-3x) - 7| = |-3x - 3|$에서 $-3$을 묶어 낸다: $|-3(x+1)| = 3|x+1|$.

$|x + 1|$이 곧 $|x - (-1)|$임을 확인하고 나면 예제 2.1과 계수만 다르다.
:::

**8.** $f(x) = |x|$가 $0$에서 연속임을 증명하시오 (9주차 문제 10의 절반 청산). (연습장: $\big||x| - |0|\big| = |x|$ — $\delta = \varepsilon$)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$f(0) = |0| = 0$을 먼저 확정한다. 연습장의 사슬에서 $\big|\,|x|\,\big| = |x|$라는 등호의

근거는 $|x| \ge 0$(17주차 문제 3, 근거 ④)이다 — 이미 0 이상인 수에 절댓값을 한 번 더

씌워도 값이 바뀌지 않는다.
:::

**9.** 예제 2.2($x^2$, min 트릭)를 백지에 재현하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

자가 채점의 기준은 여섯 줄의 존재 여부다: 오차 받기 / $\min$으로 반경 선언과 양수 확인 /

입력 잡기 / ①가두기 / ②조이기 / 사슬과 정의 인용 결론. 특히 가두기 줄의 세 단계

($1 < x < 3$, $3 < x+2 < 5$, $|x+2| < 5$)를 생략하지 않았는지 본다.
:::

**10.** $\lim_{x \to 1} x^2 = 1$을 min 트릭으로 증명하시오. (연습장: $|x^2 - 1| = |x-1||x+1|$; $|x - 1| < 1 \Rightarrow |x + 1| < 3$ — $\delta = \min(1, \frac\varepsilon3)$)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

연습장이 주어져 있으므로 남은 일은 서식이다. 가두기 줄에서 $|x-1| < 1$부터

$|x+1| < 3$까지의 세 단계($0 < x < 2$, $1 < x+1 < 3$, 절댓값)를 생략하지 않고 적는다.
:::

:::{admonition} 이 문제(11)가 빌려 쓰는 사실 — 역삼각부등식의 절댓값 버전
:class: quotebox

17주차 문제 16에서 $|x| - |y| \le |x - y|$를 증명했다. $x$와 $y$의 자리를 바꾸면

$|y| - |x| \le |y - x| = |x - y|$이다($|-t| = |t|$ — 17주차 문제 4). 두 부등식은

$|x| - |y|$와 그 반수가 모두 $|x - y|$ 이하라는 뜻이므로, 17주차 문제 11의 보조정리

($|t| \le c \iff -c \le t \le c$)에 의해

$$
\big|\,|x| - |y|\,\big| \le |x - y|
$$

가 성립한다. 이 꼴을 이번 주 근거 ④에 추가하고 문제 11에서 쓴다.
:::

**11.** $f(x) = |x|$가 **임의의** $a$에서 연속임을 증명하시오. (연습장: 역삼각부등식(17주차 문제 16) $\big||x| - |a|\big| \le |x - a|$ — $\delta = \varepsilon$ 한 번으로 끝난다.)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

문제 11 앞 상자의 역삼각부등식 절댓값 버전 $\big||x| - |a|\big| \le |x - a|$(근거 ④)를

그대로 인용하면 사슬이 두 칸이다:

$\big||x| - |a|\big| \le |x - a| < \delta = \varepsilon$. 문제 8은 이 증명에서 $a = 0$인

특수한 경우이고, 그때는 역삼각부등식 없이도 등호로 처리된다.
:::

**12.** 예제 2.3(계단함수 불연속)을 백지에 재현하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

자가 채점의 기준은 $\exists \varepsilon\, \forall \delta\, \exists x$ 세 층이 각각 문장이

되었는지다: $\varepsilon$을 구체적인 수로 고정했는가 / $\delta$를 "임의로 받았다"로

선언했는가 / $x$를 $\delta$의 식으로 제시했는가. 그리고 두 조건($|x - 0| < \delta$와

$|H(x) - H(0)| \ge \varepsilon$)을 모두 확인했는가.
:::

:::{admonition} 이 문제(13)가 쓰는 새 기술 — 두 반경의 결합
:class: quotebox

가정이 두 개인 극한 증명에서는 정의를 두 번 발동한다. $f$에서 $\delta_1$을, $g$에서

$\delta_2$를 각각 받고, 두 조건을 동시에 성립시키려면 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$로

잡는다. 46주차의 $N = \max(N_1, N_2)$와 목적은 같고 방향만 반대다(확인 17).

오차 예산은 46주차 그대로 $\frac{\varepsilon}{2}$씩 배분한다.
:::

**13.** 함수 극한의 합 법칙 — $\lim_{x \to a} f(x) = L$, $\lim_{x \to a} g(x) = M$이면 $\lim_{x \to a}(f(x) + g(x)) = L + M$ — 을 $\varepsilon$/2 트릭으로 증명하시오. ($\max$ 대신 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$이다.)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

46주차 예제 2.1의 문장을 옮겨 적되 세 낱말만 바꾼다: $N_i \to \delta_i$,

$n > N \to 0 < |x - a| < \delta$, $\max \to \min$. 삼각부등식을 적용하는 자리는

$|(f(x)+g(x)) - (L+M)| = |(f(x)-L) + (g(x)-M)|$로 묶은 직후다.
:::

**14.** $g(x) = \begin{cases} x^2 & (x \neq 2) \\ 7 & (x = 2) \end{cases}$에 대해 $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$임을 논하시오 — 예제 2.2의 증명이 **한 글자도 안 바뀌고** 통하는 이유("$0 < |x - 2|$"의 역할)를 밝히고, $g$가 2에서 연속인지 판정하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

예제 2.2의 셋째 줄 "$0 < |x-2| < \delta$라 하자"가 심사 대상을 어떤 $x$들로 한정하는지

적어 본다. 그 $x$들에서 $g(x)$와 $x^2$은 같은가 다른가? 연속 판정은 §1.6의 세 조건 표에서

어느 행이 깨지는지 짚으면 된다.
:::

### 도전 ●●●

**15.** $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$를 min 트릭으로 증명하시오 (가두기 상수를 스스로 설계).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$|x^2 - 9| = |x-3|\,|x+3|$이다. $|x - 3| < 1$을 걸면 $x$의 범위가 나오고, 거기서

$x + 3$의 범위가, 다시 $|x+3|$의 상한이 나온다. 예제 2.2에서 5가 나온 자리에

이번에는 다른 수가 나온다.
:::

**16.** $\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x} = \dfrac12$을 증명하시오. (연습장: $\left|\frac1x - \frac12\right| = \frac{|x-2|}{2|x|}$ — 분모의 $|x|$를 **아래에서** 가둬야 한다: $|x - 2| < 1 \Rightarrow x > 1 \Rightarrow \frac{1}{|x|} < 1$. $\delta = \min(1, \varepsilon)$)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

이번 가두기는 상한이 아니라 **하한**을 만든다. 분모가 작아질수록 분수는 커지므로,

분수를 위에서 누르려면 분모를 아래에서 받쳐야 한다. $\frac{1}{2|x|} < \frac12$까지

확보되면 남은 것은 $|x-2|$를 $\varepsilon$에 맞추는 일뿐이다.
:::

**17.** 연속의 정의에서 "$0 <$"가 빠져도 되는 이유(개념 절의 주장)를 정확히 논증하시오: $x = a$일 때 $|f(x) - f(a)| = 0 < \varepsilon$이 자동임을 확인하고, 극한의 정의에는 왜 "$0 <$"가 **있어야만 하는지** 문제 14의 함수로 설명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

두 정의의 차이는 심사 대상에 $x = a$가 들어가는지 하나뿐이다. 연속 쪽에서는 그 한 점에서

조건이 자동으로 참임을 보이면 되고, 극한 쪽에서는 그 한 점 때문에 참인 명제가 거짓으로

판정되는 사례를 보이면 된다. 확인 3에서 $\varepsilon = 1$로 해 본 계산이 후자의 재료다.
:::

**18.** (진단) 다음 답안의 결함을 지적하시오.

:::{container} quotebox
"명제: $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$. 증명: $\varepsilon > 0$이 주어졌다. $|x^2 - 4| = |x-2||x+2| < \varepsilon$이 필요하므로 $\delta = \frac{\varepsilon}{|x + 2|}$로 잡는다. 그러면 $|x - 2| < \delta$일 때 $|x^2 - 4| = |x-2||x+2| < \frac{\varepsilon}{|x+2|} \cdot |x+2| = \varepsilon$. $\blacksquare$"

($\delta$가 무엇에 의존하고 있는가? 양화사 순서($\forall x$가 $\exists \delta$보다 뒤)의 관점에서 — 45주차 문제 18의 $\delta$ 버전)
:::

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

답안의 문장 순서를 정의 47.1의 양화사 순서와 나란히 놓고 대조한다. $\delta$가 선언되는

시점에 $x$는 아직 무엇인가? 확인 16이 이 답안이 왜 막힌 자리에서 벗어나려 했는지,

그리고 올바른 벗어남이 무엇인지 보여 준다.
:::

:::{admonition} 이 문제(19)가 미루는 것 — 극한의 부존재
:class: quotebox

문제 19에서 "$\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$가 존재하지 않는다"를 쓰게 된다. 이 사실은

이번 주 도구로 증명할 수 있으나(해설의 복기에 증명을 적어 두었다), 문제 자체는 계산과

두 문장 요약까지만 요구한다. 미분 불가능성의 정밀한 처리는 대학 해석학으로 이월한다 —

9주차 문제 10에서 인정하고 쓴 사실 중 연속 부분만 이번 주에 갚는다.
:::

**19.** (읽을거리 + 계산) 미분가능성의 정의는 "$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$가 존재"이다. $f(x) = |x|$, $a = 0$에서 이 비율이 $x > 0$일 때와 $x < 0$일 때 각각 무엇인지 계산하고, 예제 2.3의 계단함수가 등장함을 확인하시오 — "$|x|$가 0에서 연속이지만 미분 불가능"(9주차 문제 10)의 전모를 두 문장으로 요약하시오 (엄밀한 "극한 없음" 증명은 대학 과목으로 이월).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$f(0) = 0$이므로 비율은 $\frac{|x|}{x}$로 간단해진다. 절댓값의 정의를 부호별로 풀어

두 경우를 각각 계산한다. 나온 두 값을 예제 2.3의 $H$의 두 값과 비교해 보면 관계가 보인다.
:::

**20.** (서술) (a) $\varepsilon$-N과 $\varepsilon$-$\delta$를 한 문장씩으로 대응시키시오 (상대가 던지는 것 / 내가 제시하는 것 / 검증 범위). (b) min 트릭과 max 문턱이 "쌍둥이"인 이유를 두 문장 이내로. (c) 10부(45~47주차)에서 재사용된 과거 부품 다섯 개를 주차와 함께 나열하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

(a)는 §1.4의 대비표, (b)는 확인 17의 답을 두 문장으로 압축하면 된다. (c)는 세 주차의

근거 목록 ④ 칸을 나란히 놓고 겹치는 항목을 고른다 — 17주차와 18주차의 절댓값 관련

항목이 대부분을 차지한다.
:::

## 백지 재현 — 복습 프로토콜

권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

**1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** 네 걸음 서식(§1.5)과 근거 목록(§1.8)만 펴 놓고 예제 2.1과 예제 2.2를 처음부터 끝까지 적는다. 정의 47.1과 본문은 보지 않는다.

**2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다.

- [ ] 정의 47.1을 양화사 세 개의 순서와 "$0 < |x-a|$"까지 정확히 썼다.
- [ ] 여섯 조각(§1.3의 표)이 각각 무엇을 요구하는지 말했다.
- [ ] 예제 2.1을 다섯 줄로 재현했고, $\delta > 0$ 확인을 빠뜨리지 않았다.
- [ ] 연습장(역산)과 본문(순방향)을 분리해서 적었다.
- [ ] 예제 2.2를 재현하고 ①가두기 ②조이기를 표시했다.
- [ ] 정의 47.2를 쓰고 연속의 세 조건을 각각 깨지는 사례와 함께 말했다.
- [ ] 예제 2.3을 재현하고 $\exists \varepsilon\, \forall \delta\, \exists x$ 세 층을 짚었다.
- [ ] $\delta$가 $x$에 의존하면 안 되는 이유(문제 18)를 한 문장으로 설명했다.

**막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

| **막힌 지점** | **처방** |
|---|---|
| 정의의 조각 순서가 헷갈린다 | §1.3의 해부 표 — 조각의 역할과 함께 다시 외운다 |
| 무엇부터 써야 할지 모르겠다 | §1.5의 네 걸음 — 첫 줄은 언제나 "$\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자" |
| $\delta$를 어떻게 잡을지 모르겠다 | §1.5 — 연습장에서 목표를 $\lvert x - a \rvert$에 대해 역산한다 |
| 인수가 남아서 $\delta$가 정해지지 않는다 | 예제 2.2의 확인 16~17 — 가두기로 상한 상수를 먼저 만든다 |
| $\delta$의 식에 $x$가 섞여 나온다 | 문제 18의 해설 — 양화사 순서를 정의와 대조한다 |
| 사슬이 $\varepsilon$에서 끝나지 않는다 | 예제 2.1의 확인 14 — 부등호 자리가 한 곳인지 확인한다 |
| 불연속 증명의 시작이 안 보인다 | §1.7의 층별 부정 표와 확인 18 — 내가 고르는 것이 $\varepsilon$과 $x$다 |
| "$0 <$"의 필요성이 흐릿하다 | §1.3의 조각 삭제 실험 ①과 문제 14 |

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

## 해설

각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 1

(1) $\dfrac{\varepsilon}{5}$  (2) $\varepsilon$

※ 계수 5가 사슬에서 정확히 상쇄되도록 $\delta$를 $\frac{\varepsilon}{5}$로 잡은 것이다. $\delta$를 더 작게, 예를 들어 $\frac{\varepsilon}{10}$으로 잡아도 사슬은 $5\delta = \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$으로 닫힌다 — 반경은 여유 있게 작아도 무방하다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 2

(1) $\dfrac{\varepsilon}{4}$  (2) 양수를 양수로 나눈 값은 양수  (3) $4$  (4) $\varepsilon$ (5) $|xy| = |x|\,|y|$ — 둘째 등호 $|-4x - 4| = |-4(x+1)| = |-4|\,|x+1|$에서 쓴 규칙이다. (셋째 등호는 $|-4| = 4$의 계산과 $|x+1| = |x - (-1)|$이라는 표기 정리일 뿐이다.)

※ $a = -1$이므로 정의의 $|x - a|$는 $|x - (-1)| = |x + 1|$이다. 부호를 흘리지 않도록 $|x+1|$과 $|x-(-1)|$을 한 번은 나란히 적어 두는 것이 안전하다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 3

(1) $|x + 1|\,|x - 1|$ (2) $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. (3) $\delta = \min\left(1, \dfrac{\varepsilon}{3}\right)$으로 잡자. 두 양수의 최솟값이므로 $\delta > 0$이다. (4) $0 < |x - (-1)| = |x + 1| < \delta$라 하자. (5) ① $\delta \le 1$이므로 $|x + 1| < 1$이고, 따라서 $-2 < x < 0$, 곧 $-3 < x - 1 < -1$이므로 $|x - 1| < 3$이다. ② $\delta \le \frac{\varepsilon}{3}$이므로 $|x+1| < \frac{\varepsilon}{3}$이고,

$$
|x^2 - 1| = |x + 1|\,|x - 1| < |x+1| \cdot 3 < \frac{\varepsilon}{3} \cdot 3 = \varepsilon
$$

이다. 따라서 정의 47.1에 의해 $\lim_{x \to -1} x^2 = 1$이다. $\blacksquare$

※ 가두기 상수가 예제 2.2의 5에서 3으로 바뀐 것은 $a$가 2에서 $-1$로 옮겨졌기 때문이다. 남는 인수 $|x - 1|$을 $a = -1$ 근처에서 평가하면 $|-1 - 1| = 2$ 근처이고, 반경 1의 여유를 더해 3으로 누른 것이다. 상수는 넉넉하기만 하면 되므로 4나 10으로 잡아도 증명은 닫힌다.

### 문제 1

**접근.** 정의는 §1.3의 조각 표를 순서대로 이어 붙이면 복원된다 — 통째로 외운 문장이 흐릿해도 조각의 역할에서 재구성할 수 있다. (a)는 조각 삭제 실험 ①이, (b)는 §1.4의 대비표가 재료다.

**풀이.** 정의:

$$
\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x,\ \big(0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon\big)
$$

(a) "$0 < |x - a|$"는 $x = a$를 심사에서 제외한다. 극한은 $a$에 다가갈 때의 이야기이지 $a$에서의 값이 아니므로, 이 조각 덕분에 $f(a)$가 정의되지 않아도($h(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$, $a = 2$) 값이 엉뚱해도(문제 14의 $g$) 극한을 논할 수 있다. 이 조각을 지우면 $g$에서 $|g(2) - 4| = 3 < \varepsilon$이 모든 $\varepsilon$에 요구되어, $\varepsilon = 1$에서 조건이 깨지고 참인 극한이 거짓으로 판정된다.

(b) 대응: 상대가 던지는 것은 양쪽 모두 출력 오차 $\varepsilon$으로 같다. 내가 제시하는 것이 문턱 $N$(자연수)에서 반경 $\delta$(양수)로 바뀌었고, 검증 범위가 "$n > N$인 모든 항"에서 "$0 < |x-a| < \delta$인 모든 $x$"로 바뀌었다. 안전한 방향도 뒤집혀 $N$은 크게, $\delta$는 작게 잡는다. 제시한 것의 존재 근거도 달라져, $N$에는 아르키메데스 성질이 필요했지만 $\delta$는 $\varepsilon$으로 만든 양수 자체를 쓰면 된다.

**복기.** 정의를 복원할 때는 양화사 세 개를 먼저 적고($\forall \varepsilon, \exists \delta, \forall x$) 조건부를 나중에 채우는 순서가 안전하다. 순서가 곧 정의의 규칙이므로, 순서를 틀리면 다른 명제가 된다(문제 18).

### 문제 2

**접근.** 증명이 아니라 수치 대응이므로 연습장의 역산만 하면 된다. $|f(x) - L| = |3x - 6| = 3|x - 2|$이므로 조건은 $3|x-2| < \varepsilon$, 곧 $|x - 2| < \frac{\varepsilon}{3}$이다. 계수가 3이므로 $\varepsilon$을 3으로 나눈 값이 반경이다.

**풀이.** (a) $\varepsilon = 0.3$이면 $\frac{\varepsilon}{3} = 0.1$이므로 $\delta = 0.1$. 검산: $0 < |x - 2| < 0.1$이면 $|3x - 6| = 3|x-2| < 0.3 = \varepsilon$ ✓. (b) $\varepsilon = 0.03$이면 $\frac{\varepsilon}{3} = 0.01$이므로 $\delta = 0.01$. 검산: $0 < |x-2| < 0.01$이면 $|3x-6| < 0.03 = \varepsilon$ ✓. 두 경우 모두 더 작은 양수를 제시해도 정답이다. 정의가 요구하는 것은 반경의 **존재**이므로 하나만 대면 되고, 작은 쪽으로 여유를 두는 것은 언제나 안전하다.

**복기.** 오차가 10분의 1로 줄면 반경도 10분의 1로 줄었다. 일차함수 $f(x) = mx + b$에서는 반경이 $\varepsilon$에 정비례하며, 비례상수가 기울기 **절댓값**의 역수다 — $\delta = \frac{\varepsilon}{|m|}$이다. 이 관찰이 문제 3($\delta = \varepsilon$, 기울기 1)과 문제 7($\delta = \frac{\varepsilon}{3}$, 기울기 $-3$이고 $|-3| = 3$)에서 그대로 확인된다.

### 문제 3

**접근.** 연습장: $|(x + 5) - 9| = |x - 4|$ — 변형할 것이 없다. 계수가 1이므로 $|x - 4| < \varepsilon$이 곧 목표이고 $\delta = \varepsilon$이다. 네 걸음은 그대로 다 적는다.

**풀이.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\delta = \varepsilon$으로 잡자. $\varepsilon > 0$이므로 $\delta > 0$이다. $0 < |x - 4| < \delta$라 하자. 그러면

$$
|(x + 5) - 9| = |x - 4| < \delta = \varepsilon
$$

이다. 따라서 정의 47.1에 의해 $\lim_{x \to 4}(x + 5) = 9$이다. $\blacksquare$

**복기.** 사슬이 짧다고 걸음을 줄이지 않는다. 채점의 네 곳(임의로 주어짐 / $\delta$ 선언과 양수 확인 / $\delta$에 $x$ 없음 / 사슬의 끝이 $\varepsilon$)은 계산의 길이와 무관하게 전부 요구된다. 검산: $\varepsilon = 0.01$이면 $\delta = 0.01$이고 $x = 4.005$에서 $|f(x) - 9| = 0.005 < 0.01$ ✓.

### 문제 4

**접근.** 훈련 1의 빈칸을 기억해 채우는 것이 아니라, 연습장부터 다시 만든다. 목표를 $|x - 1|$이 보이도록 변형하는 것이 첫 일이다.

**풀이.** 연습장: $|(5x - 2) - 3| = |5x - 5| = |5(x-1)| = 5|x - 1|$이므로, $5|x-1| < \varepsilon$일 조건은 $|x - 1| < \frac{\varepsilon}{5}$이다. 따라서 $\delta = \frac{\varepsilon}{5}$로 잡는다.

본문: $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\delta = \frac{\varepsilon}{5}$로 잡자. $\varepsilon > 0$이므로 $\delta > 0$이다. $0 < |x - 1| < \delta$라 하자. 그러면

$$
|(5x - 2) - 3| = |5x - 5| = 5|x - 1| < 5\delta = 5 \cdot \frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon
$$

이다. 따라서 정의 47.1에 의해 $\lim_{x \to 1}(5x - 2) = 3$이다. $\blacksquare$

**복기.** 연습장에서 나눈 수(5)와 본문에서 곱한 수(5)가 같은 자리에서 상쇄된다. 일차함수의 $\varepsilon$-$\delta$ 증명은 전부 이 상쇄 하나로 끝나므로, 새로 판단할 것은 "계수가 얼마인가" 하나뿐이다.

### 문제 5

**접근.** 재현의 채점 기준은 다섯 줄의 존재와 연습장의 분리다. 특히 둘째 줄의 $\delta > 0$ 확인과 셋째 줄의 "$0 <$"가 살아 있는지를 본다.

**풀이.** 연습장: $|(2x+1) - 7| = |2x - 6| = 2|x - 3|$이고, $2|x-3| < \varepsilon$일 조건은 $|x-3| < \frac{\varepsilon}{2}$이므로 $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$로 잡는다.

본문: $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$로 잡자. $\varepsilon > 0$이므로 $\delta > 0$이다. $0 < |x - 3| < \delta$라 하자. 그러면

$$
|(2x + 1) - 7| = |2x - 6| = 2|x - 3| < 2\delta = 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
$$

이다. 따라서 정의 47.1에 의해 $\lim_{x \to 3}(2x + 1) = 7$이다. $\blacksquare$

**복기.** 자가 채점표: ① 첫 줄에 "임의로"가 있는가 ② $\delta$를 선언하고 양수임을 밝혔는가 ③ 셋째 줄이 "$0 < |x-3| < \delta$"인가 ④ 사슬의 끝이 $\varepsilon$인가 ⑤ 마지막 줄에 정의 인용이 있는가. 다섯 중 하나라도 빠졌으면 그 줄만 다시 필사한다.

### 문제 6

**접근.** 연속을 보이려면 $f(a)$를 먼저 확정한다 — $f(a) = c$다. 그러면 사슬의 왼쪽 끝이 $|c - c| = 0$이라 $x$가 무엇이든 조건이 성립하고, $\delta$는 **아무 양수**여도 된다. 정의는 반경의 존재만 요구하므로 하나를 지정해 적으면 된다.

**풀이.** $a$를 임의의 실수, $\varepsilon > 0$을 임의로 주어진 값이라 하자. $f(a) = c$이다. $\delta = 1$로 잡자($\delta > 0$이다). $|x - a| < \delta$라 하자. 그러면

$$
|f(x) - f(a)| = |c - c| = 0 < \varepsilon
$$

이다($\varepsilon > 0$이므로 마지막 부등호가 성립한다). 따라서 정의 47.2에 의해 $f$는 $a$에서 연속이고, $a$가 임의였으므로 모든 점에서 연속이다. $\blacksquare$

**복기.** $\delta$가 $\varepsilon$에 의존하지 않는 드문 사례다. 정의는 "$\varepsilon$의 식이어야 한다"고 요구한 적이 없고 "존재한다"만 요구했으므로, 상수 반경도 정당하다. 다만 답안에 값을 지정하지 않고 "$\delta$는 아무거나"라고만 적으면 $\exists \delta$를 이행하지 않은 것이 되므로, $\delta = 1$처럼 하나를 못 박아 적는다.

### 문제 7

**접근.** 연습장에서 $-3$을 묶어 내는 것이 관건이다. $|(4 - 3x) - 7| = |-3x - 3| = |-3(x+1)| = 3|x+1|$이고, $a = -1$이므로 $|x + 1|$이 곧 $|x - (-1)|$이다. 계수 3이 보이면 $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$이다.

**풀이.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$으로 잡자. $\varepsilon > 0$이므로 $\delta > 0$이다. $0 < |x - (-1)| < \delta$라 하자. 그러면

$$
|(4 - 3x) - 7| = |-3x - 3| = |-3|\,|x + 1| = 3\,|x - (-1)| < 3\delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon
$$

이다(둘째 등호 $|-3x - 3| = |-3(x+1)| = |-3|\,|x+1|$이 $|xy| = |x|\,|y|$ — 17주차 문제 10 — 을 쓴 자리이고, 셋째 등호는 $|-3| = 3$의 계산과 $a = -1$에 맞춘 표기 정리다). 따라서 정의 47.1에 의해 $\lim_{x \to -1}(4 - 3x) = 7$이다. $\blacksquare$

**복기.** 기울기가 음수여도 절댓값을 거치면 부호가 사라져 계수는 $|-3| = 3$이 된다. $a$가 음수일 때 $|x - a|$를 $|x + 1|$로 줄여 적는 것은 괜찮지만, 정의의 꼴과 대조할 수 있도록 한 번은 $|x - (-1)|$로 적어 두는 것이 안전하다. 검산: $\varepsilon = 0.3$이면 $\delta = 0.1$이고 $x = -0.95$에서 $|(4 - 3x) - 7| = 0.15 < 0.3$ ✓.

### 문제 8

**접근.** 연속이므로 $f(0)$을 먼저 확정한다 — $f(0) = |0| = 0$이다. 그러면 $\big||x| - |0|\big| = \big||x|\big| = |x| = |x - 0|$이 되어 변형할 것이 없고 $\delta = \varepsilon$이다. $|x| \ge 0$이므로 절댓값을 한 번 더 씌워도 값이 그대로라는 점(17주차 문제 3, 근거 ④)이 $\big|\,|x|\,\big| = |x|$라는 등호의 근거다. 등호를 순번이 아니라 식으로 지목해 두는 편이 안전하다 — 접근과 풀이는 사슬의 길이가 달라 같은 등호의 순번이 서로 어긋난다.

**풀이.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\delta = \varepsilon$으로 잡자. $\varepsilon > 0$이므로 $\delta > 0$이다. $|x - 0| < \delta$라 하자. $f(0) = |0| = 0$이므로

$$
|f(x) - f(0)| = \big|\,|x| - 0\,\big| = \big|\,|x|\,\big| = |x| = |x - 0| < \delta = \varepsilon
$$

이다. 따라서 정의 47.2에 의해 $f(x) = |x|$는 $0$에서 연속이다. $\blacksquare$

**복기.** 9주차 문제 10에서 "$|x|$는 0에서 연속이지만 미분 불가능"을 반례로 인용하면서 연속 부분을 인정하고 썼다. 그 절반이 여기서 증명으로 갚아졌다. 나머지 절반(미분 불가능)은 문제 19에서 계산으로 확인하고, 완전한 처리는 대학 해석학으로 이월한다.

### 문제 9

**접근.** ①가두기($|x + 2| < 5$) ②조이기($|x-2| < \frac{\varepsilon}{5}$)를 $\min$으로 결합하는 구조를 백지에서 복원한다. 가두기 줄의 세 단계($1 < x < 3$, $3 < x+2 < 5$, $|x+2| < 5$)를 생략하지 않는 것이 채점의 초점이다.

**풀이.** 연습장: $|x^2 - 4| = |(x-2)(x+2)| = |x-2|\,|x+2|$. $|x+2|$가 $x$에 따라 변하므로 $|x - 2| < 1$을 걸어 $1 < x < 3$으로 가두면 $3 < x + 2 < 5$, 곧 $|x + 2| < 5$이다. 남은 $|x-2|$를 $\frac{\varepsilon}{5}$로 조이면 곱이 $\varepsilon$ 미만이 된다.

본문: $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\delta = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{5}\right)$로 잡자. 두 양수의 최솟값이므로 $\delta > 0$이다. $0 < |x - 2| < \delta$라 하자. ① $\delta \le 1$이므로 $|x-2| < 1$이고, 따라서 $1 < x < 3$, 곧 $3 < x + 2 < 5$이므로 $|x+2| < 5$이다. ② $\delta \le \frac{\varepsilon}{5}$이므로 $|x - 2| < \frac{\varepsilon}{5}$이다. 그러면

$$
|x^2 - 4| = |x - 2|\,|x + 2| < |x - 2| \cdot 5 < \frac{\varepsilon}{5} \cdot 5 = \varepsilon
$$

이다. 따라서 정의 47.1에 의해 $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$이다. $\blacksquare$

**복기.** 가두기 상수 1은 임의로 고른 값이다. $|x-2| < 2$로 걸면 $0 < x < 4$에서 $|x+2| < 6$이 되어 $\delta = \min(2, \frac{\varepsilon}{6})$으로도 증명이 닫힌다. 상수는 "하나 고르면 되는 것"이지 유일하게 정해지는 것이 아니다.

### 문제 10

**접근.** 연습장이 주어져 있으므로 남은 일은 서식이다. $a = 1$이므로 가두기는 $|x - 1| < 1 \Rightarrow 0 < x < 2 \Rightarrow 1 < x + 1 < 3 \Rightarrow |x+1| < 3$이고, 조이기는 $\frac{\varepsilon}{3}$이다.

**풀이.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\delta = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{3}\right)$로 잡자. 두 양수의 최솟값이므로 $\delta > 0$이다. $0 < |x - 1| < \delta$라 하자. ① $\delta \le 1$이므로 $|x - 1| < 1$이고, 따라서 $0 < x < 2$, 곧 $1 < x + 1 < 3$이므로 $|x + 1| < 3$이다. ② $\delta \le \frac{\varepsilon}{3}$이므로 $|x - 1| < \frac{\varepsilon}{3}$이다. 그러면

$$
|x^2 - 1| = |x - 1|\,|x + 1| < |x - 1| \cdot 3 < \frac{\varepsilon}{3} \cdot 3 = \varepsilon
$$

이다. 따라서 정의 47.1에 의해 $\lim_{x \to 1} x^2 = 1$이다. $\blacksquare$

**복기.** 예제 2.2($a = 2$, 상수 5), 이 문제($a = 1$, 상수 3), 훈련 3($a = -1$, 상수 3), 문제 15($a = 3$, 상수 7)가 전부 같은 뼈대다. 가두기 상수는 $|a| + |a| + 1$ 이상이면 되고 — $|x - a| < 1$이면 $|x + a| \le |x - a| + |2a| < 1 + 2|a|$이므로 — 이 계산을 한 번 해 두면 어느 $a$에서도 상수를 즉시 얻는다.

### 문제 11

**접근.** 역삼각부등식의 절댓값 버전(문제 11 앞 상자, 근거 ④)을 인용하면 사슬이 두 칸으로 끝난다. 연속이므로 $f(a) = |a|$를 먼저 확정하고, $L$ 자리에 그 값을 넣는다.

**풀이.** $a$를 임의의 실수, $\varepsilon > 0$을 임의로 주어진 값이라 하자. $f(a) = |a|$이다. $\delta = \varepsilon$으로 잡자. $\varepsilon > 0$이므로 $\delta > 0$이다. $|x - a| < \delta$라 하자. 역삼각부등식의 절댓값 버전(근거 ④)에 의해

$$
|f(x) - f(a)| = \big|\,|x| - |a|\,\big| \le |x - a| < \delta = \varepsilon
$$

이다. 따라서 정의 47.2에 의해 $f(x) = |x|$는 $a$에서 연속이고, $a$가 임의였으므로 모든 점에서 연속이다. $\blacksquare$

**복기.** 9주차 문제 10에서 인용만 했던 "$|x|$의 연속"이 45주 만에 증명으로 채워졌다. 사슬에 등호가 아니라 $\le$가 한 번 들어가는데, 마지막이 $< \varepsilon$이므로 전체는 여전히 $< \varepsilon$이다 — 부등호가 섞인 사슬에서는 가장 약한 것이 결과가 되지만, 엄격한 부등호가 하나라도 있으면 결과도 엄격하다(근거 ③, (W6)).

### 문제 12

**접근.** 부정 서식 $\exists \varepsilon\, \forall \delta\, \exists x$의 세 층이 전부 문장으로 나타났는지가 채점의 초점이다. $\varepsilon$은 내가 고정하고, $\delta$는 임의로 받고, $x$는 $\delta$의 식으로 만든다.

**풀이.** $\varepsilon = \frac{1}{2}$로 잡는다. $\delta > 0$을 임의로 받았다고 하자. $x = -\frac{\delta}{2}$로 잡으면 $\delta > 0$이므로 $x < 0$이고

$$
|x - 0| = \left|-\frac{\delta}{2}\right| = \frac{\delta}{2} < \delta
$$

이다. $x < 0$이므로 $H(x) = 0$이고, $H(0) = 1$이므로

$$
|H(x) - H(0)| = |0 - 1| = 1 \ge \frac{1}{2} = \varepsilon
$$

이다. 즉 어떤 $\delta > 0$에 대해서도 $|x - 0| < \delta$이면서 $|H(x) - H(0)| \ge \varepsilon$인 $x$가 존재하므로, 정의 47.2의 부정이 성립하고 $H$는 0에서 연속이 아니다. $\blacksquare$

**복기.** 자가 채점표: ① $\varepsilon$을 구체적인 수로 고정했는가 ② $\delta$를 "임의로 받았다"로 선언했는가(특정 값을 고르면 $\forall \delta$를 이행하지 않은 것이다) ③ $x$를 $\delta$의 식으로 제시했는가 ④ 두 조건($|x - 0| < \delta$와 $|H(x) - H(0)| \ge \varepsilon$)을 모두 확인했는가. ③에서 $x$를 $-0.01$처럼 상수로 잡으면 $\delta = 0.001$일 때 첫 조건이 깨진다.

### 문제 13

**접근.** 46주차 예제 2.1의 문장을 옮겨 적되 세 낱말을 바꾼다: $N_i \to \delta_i$, $n > N \to 0 < |x-a| < \delta$, $\max \to \min$. 예산 배분은 그대로 $\frac{\varepsilon}{2}$씩이고, 두 오차를 하나로 묶는 도구는 삼각부등식(17주차 문제 12)이다.

**풀이.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\frac{\varepsilon}{2} > 0$이므로(근거 ②), $\lim_{x \to a} f(x) = L$의 정의를 $\frac{\varepsilon}{2}$로 발동하면

$$
0 < |x - a| < \delta_1 \implies |f(x) - L| < \frac{\varepsilon}{2}
$$

인 $\delta_1 > 0$이 존재한다. 같은 방식으로 $\lim_{x \to a} g(x) = M$의 정의를 $\frac{\varepsilon}{2}$로 발동하면

$$
0 < |x - a| < \delta_2 \implies |g(x) - M| < \frac{\varepsilon}{2}
$$

인 $\delta_2 > 0$이 존재한다. $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$로 잡자. 두 양수의 최솟값이므로 $\delta > 0$이다. $0 < |x - a| < \delta$라 하자. 그러면 $\delta \le \delta_1$이고 $\delta \le \delta_2$이므로 두 결론이 동시에 성립하고, 삼각부등식(근거 ④)에 의해

$$
|(f(x) + g(x)) - (L + M)| = |(f(x) - L) + (g(x) - M)| \le |f(x) - L| + |g(x) - M| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
$$

이다. 따라서 정의 47.1에 의해 $\lim_{x \to a}(f(x) + g(x)) = L + M$이다. $\blacksquare$

**복기.** 첫 등호가 이 증명의 유일한 발상이다 — 목표의 차 $(f+g) - (L+M)$을 두 개의 차 $(f - L)$과 $(g - M)$의 합으로 재배열해야 삼각부등식이 적용된다. 46주차의 수열 버전과 문장이 거의 같으므로, 두 증명을 나란히 놓고 다른 세 낱말을 짚어 두면 이식이 굳는다.

### 문제 14

**접근.** 극한의 정의가 심사하는 $x$가 어떤 것들인지부터 확정한다 — "$0 < |x - 2| < \delta$"인 $x$, 곧 $x \neq 2$인 점들뿐이다. 그 점들에서 $g(x) = x^2$이므로 예제 2.2의 증명이 그대로 적용된다. 연속 판정은 §1.6의 세 조건 중 어느 행이 깨지는지로 답한다.

**풀이.** **극한.** 예제 2.2의 증명에서 심사 대상은 $0 < |x - 2| < \delta$인 $x$이고, 이 조건은 $x \neq 2$를 포함한다. $g$의 정의에 의해 $x \neq 2$인 모든 $x$에서 $g(x) = x^2$이므로, 그 증명의 사슬 $|g(x) - 4| = |x^2 - 4| = |x-2|\,|x+2| < \varepsilon$이 한 글자도 바뀌지 않고 성립한다. 따라서 $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$이다. 바뀌지 않는 이유는 "$0 < |x-2|$"가 $x = 2$를 심사에서 빼 주기 때문이고, $g$와 $x^2$이 다른 유일한 점이 바로 $x = 2$이기 때문이다.

**연속 판정.** 세 조건을 확인하면 ① $g(2) = 7$로 함숫값이 존재하고, ② 극한도 4로 존재하지만, ③ $g(2) = 7 \neq 4 = \lim_{x \to 2} g(x)$이므로 일치가 깨진다. 따라서 $g$는 2에서 **불연속**이다. $\blacksquare$

**복기.** 이 함수가 "$0 <$"라는 조각의 존재 이유를 통째로 담고 있다. 그 조각이 없으면 극한과 함숫값이 한 문장 안에서 묶여 버려, 값 하나를 7로 바꾸는 것만으로 극한이 사라진다고 판정된다. 극한은 $a$ 주변의 정보만 보고, 연속은 거기에 $a$에서의 값을 더해 본다 — 두 개념의 경계가 정확히 이 조각이다. 문제 17이 같은 내용을 논증으로 완성한다.

### 문제 15

**접근.** $|x^2 - 9| = |x - 3|\,|x + 3|$이고, 남는 인수 $|x + 3|$의 상한을 스스로 설계한다. $|x - 3| < 1$을 걸면 $2 < x < 4$이므로 $5 < x + 3 < 7$, 곧 $|x + 3| < 7$이다.

**풀이.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\delta = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{7}\right)$로 잡자. 두 양수의 최솟값이므로 $\delta > 0$이다. $0 < |x - 3| < \delta$라 하자. ① $\delta \le 1$이므로 $|x - 3| < 1$이고, 따라서 $2 < x < 4$, 곧 $5 < x + 3 < 7$이므로 $|x + 3| < 7$이다. ② $\delta \le \frac{\varepsilon}{7}$이므로 $|x - 3| < \frac{\varepsilon}{7}$이다. 그러면

$$
|x^2 - 9| = |x - 3|\,|x + 3| < |x - 3| \cdot 7 < \frac{\varepsilon}{7} \cdot 7 = \varepsilon
$$

이다. 따라서 정의 47.1에 의해 $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$이다. $\blacksquare$

**복기.** 문제 10의 복기에서 얻은 공식 $1 + 2|a|$로 확인하면 $a = 3$일 때 $1 + 6 = 7$ — 설계한 상수와 일치한다. 검산: $\varepsilon = 0.7$이면 $\delta = 0.1$이고, $x = 3.05$에서 $|x^2 - 9| = |9.3025 - 9| = 0.3025 < 0.7$ ✓.

### 문제 16

**접근.** 연습장에서 식을 하나의 분수로 정리한다:

$$
\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right| = \left|\frac{2 - x}{2x}\right| = \frac{|2 - x|}{|2x|} = \frac{|x - 2|}{2|x|}
$$

둘째 등호는 $|xy| = |x|\,|y|$(17주차 문제 10, 근거 ④)에서 따라 나오는 몫 꼴 $\left|\frac{u}{v}\right| = \frac{|u|}{|v|}$이고 — $\left|\frac uv\right|\,|v| = |u|$이므로 —, 셋째 등호는 $|2 - x| = |x - 2|$($|-t| = |t|$ — 17주차 문제 4)와 $|2x| = |2|\,|x| = 2|x|$다. 분자의 $|x-2|$는 조이면 되지만, 분모의 $|x|$가 0에 가까워지면 분수가 폭발한다. 그러므로 이번 가두기는 상한이 아니라 **하한**을 만든다 — $|x - 2| < 1$이면 $1 < x < 3$이므로 $|x| > 1$이고, 따라서 $\frac{1}{2|x|} < \frac{1}{2}$이다.

**풀이.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\delta = \min(1, \varepsilon)$으로 잡자. 두 양수의 최솟값이므로 $\delta > 0$이다. $0 < |x - 2| < \delta$라 하자. ① $\delta \le 1$이므로 $|x - 2| < 1$이고, 따라서 $1 < x < 3$이다. 특히 $x > 1 > 0$이므로 $|x| = x > 1$이다. $|x| > 0$이므로 $\frac{1}{|x|} > 0$이고((W5)), 부등식 $1 < |x|$의 양변에 이 양수를 곱하면((W3)) $\frac{1}{|x|} < 1$이다. 다시 양변에 양수 $\frac12$을 곱하면((W3)) $\frac{1}{2|x|} < \frac{1}{2}$이다. ② $\delta \le \varepsilon$이므로 $|x - 2| < \varepsilon$이다. 그러면

$$
\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right| = \frac{|x - 2|}{2|x|} = |x - 2| \cdot \frac{1}{2|x|} < |x - 2| \cdot \frac{1}{2} < \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon
$$

이다. 따라서 정의 47.1에 의해 $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$이다. $\blacksquare$

**복기.** min 트릭의 다른 얼굴이다 — 예제 2.2에서는 곱해지는 인수를 위에서 눌렀고, 여기서는 나누는 인수를 아래에서 받쳤다. 두 경우 모두 목적은 같다: $x$에 따라 변하는 부분을 $x$와 무관한 상수로 바꿔 $\delta$가 $x$를 보지 않게 만드는 것이다. 가두기 반경 1은 여기서 $x > 0$을 보장하는 역할까지 겸하므로 함부로 키울 수 없다 — $|x-2| < 3$으로 걸면 $x$가 0을 지날 수 있어 분모가 무너진다.

### 문제 17

**접근.** 두 정의의 차이는 심사 대상에 $x = a$가 들어가는지 하나뿐이다. 연속 쪽에서는 그 한 점에서 조건이 자동으로 참임을 보이고, 극한 쪽에서는 그 한 점 때문에 참인 명제가 거짓으로 판정되는 사례를 든다. 후자의 재료가 문제 14의 $g$다.

**풀이.** **연속에서 "$0 <$"가 없어도 되는 이유.** "$0 < |x-a| < \delta$"인 $x$들의 모임과 "$|x - a| < \delta$"인 $x$들의 모임은 $x = a$ 하나만큼 다르다. 그 한 점에서 요구되는 조건은 $|f(a) - f(a)| < \varepsilon$, 곧 $0 < \varepsilon$인데 $\varepsilon > 0$이므로 이는 임의의 $\varepsilon$에 대해 참이다. 따라서 $x = a$를 심사에 포함시켜도 새로 요구되는 것이 없고, 두 문장은 동치다. 정의 47.2의 "$0 <$" 없는 꼴은 이 관찰 덕분에 쓸 수 있는 간략형이다.

**극한에서 "$0 <$"가 있어야만 하는 이유.** 문제 14의 $g$를 보자. $g(2) = 7$이고 $L = 4$이다. "$0 <$"가 없다면 $x = 2$도 심사 대상이 되어 $|g(2) - 4| = 3 < \varepsilon$이 요구된다. $\varepsilon = 1$을 잡으면 $3 < 1$은 거짓이므로, 어떤 $\delta > 0$을 제시해도 $x = 2$에서 조건이 깨진다. 즉 $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$가 거짓으로 판정된다. 그런데 $x \neq 2$인 모든 점에서 $g(x) = x^2$이므로 값들은 실제로 4에 모이고, 이 판정은 "다가감"이라는 개념을 잘못 옮긴 것이다. 나아가 $h(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$처럼 $f(a)$가 아예 없는 함수에서는 $|h(2) - 4|$라는 계산할 수 없는 식이 요구되어 정의가 작동조차 하지 않는다. 그러므로 극한의 정의에서 "$0 <$"는 생략할 수 없다. $\blacksquare$

**복기.** 같은 조각이 한쪽에서는 생략 가능하고 다른 쪽에서는 필수인 이유는, 연속이 이미 "극한값 $=$ 함숫값"을 요구하고 있어서 $x = a$가 아무 정보도 추가하지 않기 때문이다. 정의의 조각은 문맥과 무관하게 필요한 것이 아니라, **그 정의가 무엇을 구별하려 하는지**에 따라 하중이 달라진다.

### 문제 18

**접근.** 답안의 문장 순서를 정의 47.1의 양화사 순서와 나란히 놓는다. 정의는 $\forall \varepsilon\, \exists \delta\, \forall x$이므로 $\delta$가 선언되는 시점에 $x$는 아직 등장하지 않았다. 답안의 $\delta$에 $x$가 들어 있다면 그 순간 순서가 뒤집힌 것이다.

**풀이.** 결함은 $\delta = \frac{\varepsilon}{|x + 2|}$이다. **제시한 반경 $\delta$가 아직 등장하지 않은 $x$에 의존한다.** 정의의 양화사 순서에서 $\exists \delta$는 $\forall x$보다 앞에 있으므로, $\delta$는 $\varepsilon$만 보고 정해져야 하고 그 뒤에 오는 **모든** $x$에 대해 작동해야 한다. $x$마다 다른 $\delta$를 쓰는 것은 순서를 $\forall \varepsilon\, \forall x\, \exists \delta$로 바꾼 별개의 명제를 증명한 것이고, 그 명제는 원래 정의보다 훨씬 약하다. 실제로 답안의 $\delta$는 $x = -2$에서 정의되지 않고, $x$가 $-2$에 가까울수록 무한히 커지므로 반경으로서 기능하지도 않는다. 45주차 문제 18에서 "$\varepsilon$을 증명하는 쪽이 정한" 것과 같은 유형의 오류이며, 그때는 $\forall \varepsilon$이, 여기서는 $\exists \delta$와 $\forall x$의 순서가 무너졌다.

**수정.** $|x+2|$를 $x$와 무관한 상수로 먼저 눌러야 한다 — 예제 2.2의 min 트릭이 그 처리다. $\delta = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{5}\right)$로 잡으면 $\delta$의 식에 $x$가 없고, 가두기 ①이 $|x+2| < 5$를 보장한다. $\blacksquare$

**복기.** 이 답안이 그럴듯한 이유는 마지막 계산이 한 줄도 틀리지 않았기 때문이다. 오류는 계산이 아니라 선언("$\delta = \frac{\varepsilon}{|x+2|}$로 잡는다"라고 적은 순간)에 있다. $\varepsilon$-$\delta$ 증명의 검사는 계산 검사이기 전에 순서 검사다 — 채점 기준 상자의 셋째 항목이 이것을 본다.

### 문제 19

**접근.** $f(0) = |0| = 0$이므로 비율은 $\frac{|x| - 0}{x - 0} = \frac{|x|}{x}$로 간단해진다. 절댓값의 정의를 부호별로 풀어 두 경우를 각각 계산한 뒤, 나온 두 값을 예제 2.3의 $H$와 비교한다.

**풀이.** $x > 0$이면 $|x| = x$이므로

$$
\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1
$$

이고, $x < 0$이면 $|x| = -x$이므로

$$
\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1
$$

이다. 즉 이 비율은 $x \neq 0$에서 $1$과 $-1$ 두 값만 갖는 계단 모양이다. 예제 2.3의 $H$와의 관계를 적으면, $x \neq 0$일 때 $\frac{|x|}{x} = 2H(x) - 1$이다($x > 0$이면 $2 \cdot 1 - 1 = 1$, $x < 0$이면 $2 \cdot 0 - 1 = -1$). 0을 지나며 값이 1에서 $-1$로 점프하는 구조가 그대로다.

요약(두 문장): $|x|$는 0에서 연속이다 — 문제 11에서 증명했듯 $x$가 0에 가까우면 $|x|$도 0에 가까워 값의 간격이 생기지 않는다. 그러나 0에서의 기울기를 재는 비율은 오른쪽에서 1, 왼쪽에서 $-1$로 갈라져 하나의 극한을 갖지 못하므로 미분 불가능하다 — "이어져 있지만 꺾여 있다"의 정확한 내용이 이것이다.

**복기.** 비율의 극한이 없다는 것은 이번 주 도구로도 증명할 수 있다. 어떤 실수 $L$에 대해서도 $\varepsilon = 1$로 잡고 임의의 $\delta > 0$을 받아 $x_+ = \frac{\delta}{2}$, $x_- = -\frac{\delta}{2}$를 보면 비율이 각각 1과 $-1$이다. 삼각부등식(17주차 문제 12)에 의해

$$
2 = |1 - (-1)| \le |1 - L| + |L - (-1)|
$$

이므로 두 항 중 적어도 하나는 1 이상이고, 그 항에 해당하는 점이 부정 서식의 $x$가 된다. 45주차 예제 2.3에서 $(-1)^n$의 발산을 증명할 때 쓴 논증과 같은 꼴이다. 문제 지시대로 정밀한 처리는 대학 해석학으로 이월하지만, 재료는 이미 손에 있다.

### 문제 20

**접근.** (a)는 §1.4의 대비표, (b)는 확인 17의 답을 압축한 것, (c)는 45~47주차의 근거 목록 ④ 칸을 나란히 놓고 겹치는 항목을 고른 것이다.

**풀이.** (예시 답안)

(a) $\varepsilon$-N: 상대가 출력 오차 $\varepsilon$을 던지면 나는 문턱 $N$을 제시해 "번호가 $N$을 넘은 **항 전부**"가 오차 안에 있음을 검증한다. $\varepsilon$-$\delta$: 상대가 같은 $\varepsilon$을 던지면 나는 반경 $\delta$를 제시해 "$a$에서 거리 $\delta$ 이내의 **입력 전부**($a$ 자신은 제외)"가 오차 안의 출력을 냄을 검증한다.

(b) 두 조건을 동시에 만족시키려면 안전한 방향으로 몰아야 한다. 문턱은 클수록 안전하므로 $\max$로 올리고, 반경은 작을수록 안전하므로 $\min$으로 줄인다 — 안전한 방향이 반대일 뿐 "두 조건을 함께 지키는 하나를 고른다"는 기술은 같다.

(c) 다섯 개: ① 삼각부등식 — 17주차 문제 12. 45주차 극한의 유일성, 46주차 $\varepsilon$/2 트릭, 47주차 문제 13에서 재사용. ② 역삼각부등식 — 17주차 문제 16. 47주차 문제 11에서 절댓값 버전으로 확장해 재사용. ③ $|xy| = |x|\,|y|$ — 17주차 문제 10. 47주차의 모든 인수분해 사슬에서 재사용. ④ 절댓값 보조정리와 구간 번역 — 17주차 문제 11, 18주차 문제 11. 45주차와 47주차에서 거리 조건을 구간 조건으로 바꿔 읽는 데 재사용. ⑤ 층별 부정 절차 — 11주차 문제 15. 45주차 문제 12의 발산 정의, 47주차 §1.7의 불연속 정의에서 재사용. (더 든다면 아르키메데스 성질(28주차 문제 16에서 인정 $\to$ 45주차에서 채택), 귀류법(21주차), 부등식의 기본 성질 (W1)~(W6)(16주차)이 있다.)

**복기.** 10부의 세 주차가 새로 만든 정의는 넷이다 — 수렴(45.1), 급수와 부분합(46.1), 함수의 극한(47.1), 연속(47.2). 그중 극한을 정의하는 문장은 셋이고, 증명을 굴린 부품은 대부분 16~18주차에서 만들어 둔 것이다. 새 단원이 어려운 이유는 부품이 낯설어서가 아니라 부품을 **조립하는 순서**(양화사의 순서)가 낯설기 때문이며, 그 순서를 몸에 붙이는 것이 이번 주의 백지 재현이다.

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**다음 주 예고:** 무한의 크기를 잰다. "개수가 같다"를 전단사의 존재(41주차)로 정의하면 자연수와 짝수가 같은 크기이고($n \mapsto 2n$), 정수도 지그재그 대응으로 같은 크기이며, 유리수 전체까지 자연수와 같은 크기임이 증명된다. 부분이 전체와 대등해지는 이 현상이 힐베르트의 호텔로 알려진 그림이다.