# 43주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 절차를 함께 만들기 예제 2.1은 계산 절차 ①~④를 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 한 뒤 증명을 산문으로 보며, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한다. :::{admonition} 이 주가 빌려 쓰는 사실 — 제곱근과 세제곱근 :class: quotebox 예제 2.3과 훈련 3, 문제 2(a)$\cdot$11$\cdot$16의 전사 증명은 다음 두 사실에 기댄다. 둘 다 존재 부분이 실수의 완비성을 필요로 하므로 이 교재에서는 증명하지 않고 인정하고 쓰며, 인용할 때마다 인정 사실임을 명시한다. **(제곱근)** $a \ge 0$이면 $t^2 = a$인 $t \ge 0$이 정확히 하나 존재하고 이를 $\sqrt a$로 쓴다. 따라서 $\sqrt a \ge 0$이고 $(\sqrt a)^2 = a$이다 (16주차 §1.2 인정 사실 "제곱근"). **존재와 유일이 모두 이 상자 안에 있다.** **(세제곱근)** 모든 실수 $x$에 대해 $y^3 = x$인 실수 $y$가 **존재**하고, 이를 $\sqrt[3]{x}$로 쓴다(10주차 문제 10(a)에서 기호로 옮긴 명제). 그 $y$가 **유일**하다는 것은 인정 사실이 아니라 증명된 명제다 — 41주차 문제 8이 $x^3$의 단사성을 증명했으므로 $y^3 = y'^3$이면 $y = y'$이다. 두 사실의 지위가 다르다는 점에 주의한다: 제곱근은 존재와 유일을 함께 빌려 오지만, 세제곱근은 존재만 빌려 오고 유일은 이 교재가 갚아 두었다. ::: ### 예제 2.1 — 계산과 검증의 완전한 한 판 **명제.** $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 1$은 역함수를 가지며 $f^{-1}(y) = \dfrac{y-1}{2}$이다. **설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 정의로 번역해서 먼저 정한다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 가정 (주어진 것) | $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x+1$ | 손에 있는 등식은 $f(x) = 2x+1$ 하나뿐이다 | | 목표 (만들 것) | $f$가 역함수를 가지며 그 식이 $\frac{y-1}{2}$ | $\underline{\quad(?)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 9.** 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. "역함수를 가진다"를 정의 43.1과 핵심 정리로 번역하면 무엇을 보여야 하고, "그 식이 $\frac{y-1}{2}$이다"는 무엇으로 확정하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 앞부분: 역관계가 함수임을 보여야 하고, 핵심 정리에 의해 그것은 **$f$가 전단사임**을 보이는 것과 같다. 뒷부분: 후보 $\frac{y-1}{2}$이 진짜 $f^{-1}$임은 특징짓기 정리의 **항등식 두 개**로 확정한다. 목표가 두 겹이라는 것이 이 문제의 설계다 — 존재(①)와 동일성(④)을 각각 따로 확보해야 한다. 그 사이의 ②③은 후보를 만드는 계산일 뿐이다. ::: **① 자격 심사, 앞쪽 — 단사.** 41주차 정의 41.1의 서식 그대로 시작한다. :::{container} quotebox **확인 10.** 단사 증명을 완성해 보자: "$f(a) = f(a')$이라 하자. 곧 $2a + 1 = 2a' + 1$이다. 양변에서 $\underline{\quad}$을 빼면 $2a = 2a'$이고, 양변을 $\underline{\quad}$로 나누면 $\underline{\quad}$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 양변에서 **1**을 빼면 $2a = 2a'$이고, 양변을 **2**로 나누면 $a = a'$이다. 두 조작 모두 근거 ③(등식의 성질)이고, 2는 0이 아니므로 나누기가 허용된다. 따라서 $f$는 단사다. ::: **① 자격 심사, 뒤쪽 — 전사.** 41주차 정의 41.2의 서식은 증인 제작과 두 검증을 요구한다. :::{container} quotebox **확인 11.** 전사 증명을 완성해 보자: "$y \in \mathbb{R}$이라 하자. $x = \underline{\quad}$을 잡는다. ① $x \in \underline{\quad}$ 확인, ② $f(x) = \underline{\quad}$ 확인." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $x = \frac{y-1}{2}$을 잡는다. ① $y$가 실수이므로 $\frac{y-1}{2}$도 실수, 곧 $x \in \mathbb{R}$이며 정의역에 속한다 — 확인. ② $f(x) = 2 \cdot \frac{y-1}{2} + 1 = (y-1) + 1 = y$이다 — 확인. 이 식은 $y = 2x+1$을 $x$에 대해 풀어 얻은 것이다 — §1.6 확인 6에서 예고한 그대로, 전사 증인 제작이 곧 ②의 풀기다. ::: **②③ 후보 제작과 선언.** 방금 만든 식을 그대로 옮겨 적는다. :::{container} quotebox **확인 12.** ②와 ③을 완성해 보자: "$y = 2x+1$을 $x$에 대해 풀면 $x = \underline{\quad}$이므로 $f^{-1}(y) = \underline{\quad}$으로 둔다." 새로 계산할 것이 있는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $x = \frac{y-1}{2}$이므로 $f^{-1}(y) = \frac{y-1}{2}$로 둔다. 새로 계산할 것은 **없다**. 전사 증명에서 이미 만든 식을 다시 쓰는 것이며, 같은 계산을 두 번 하지 않는 것이 이 절차의 이점이다. ::: **④ 검증.** 특징짓기 정리 (ii)가 요구하는 두 항등식을 각각 계산한다. :::{container} quotebox **확인 13.** 두 검증을 완성해 보자: "$f^{-1}(f(x)) = \dfrac{(2x+1) - 1}{2} = \underline{\quad}$, $\quad f(f^{-1}(y)) = 2 \cdot \dfrac{y-1}{2} + 1 = \underline{\quad}$." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x+1)-1}{2} = \frac{2x}{2} = x$이고, $f(f^{-1}(y)) = 2 \cdot \frac{y-1}{2} + 1 = (y-1)+1 = y$이다. 두 계산이 서로 다른 등식이라는 점에 주의한다 — 앞은 정의역 $\mathbb{R}$ 위의 임의의 $x$에 대한 것이고, 뒤는 공역 $\mathbb{R}$ 위의 임의의 $y$에 대한 것이다. 둘을 함수 상등의 언어로 옮기면 $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_\mathbb{R}$, $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_\mathbb{R}$이다. ::: **완성본.** 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x+1$이라 하자. | 무대 선언. 정의역$\cdot$공역이 정해져야 뒤집을 대상이 확정된다(정의 43.1의 첫 조각). | | (단사) $f(a) = f(a')$이라 하자. $2a+1 = 2a'+1$에서 양변에서 1을 빼면 $2a = 2a'$이고, 2로 나누면 $a = a'$이다. | 자격 심사의 앞쪽. 정의 41.1의 서식 그대로이며, 역관계의 **유일성**을 담당한다. | | (전사) $y \in \mathbb{R}$이라 하자. $x = \frac{y-1}{2}$을 잡으면 $x \in \mathbb{R}$이고 $f(x) = 2 \cdot \frac{y-1}{2} + 1 = y$이다. | 자격 심사의 뒤쪽. 정의 41.2의 서식이며, 역관계의 **전체성**을 담당한다. 여기서 만든 증인 제작식이 다음 줄의 후보가 된다. | | 따라서 $f$는 전단사이고, 핵심 정리에 의해 $f$는 가역이다. | ①의 종결. 이 줄이 없으면 다음 줄의 기호 $f^{-1}$이 무엇을 가리키는지 정해지지 않는다(§1.3 삭제 실험). | | $y = 2x+1$을 $x$에 대해 풀면 $x = \frac{y-1}{2}$이므로, $f^{-1}(y) = \frac{y-1}{2}$로 둔다. | ②③. 전사 증명의 증인 제작식을 그대로 재사용한다 — 같은 계산을 두 번 하지 않는다. | | $f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x+1)-1}{2} = x$이고 $f(f^{-1}(y)) = 2 \cdot \frac{y-1}{2}+1 = y$이다. | ④ 검증. 특징짓기 정리 (ii)가 요구하는 두 항등식이다. 한쪽만 적으면 미완결이다(문제 17). | | 따라서 $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_\mathbb{R}$이고 $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_\mathbb{R}$이므로, $f^{-1}(y) = \frac{y-1}{2}$은 $f$의 역함수이다. $\blacksquare$ | 특징짓기 정리 (ii)로 마감. 유일성 (iii)에 의해 이 식 말고 다른 답은 없다. | **대입 시뮬레이션.** 완성본의 문자에 구체값을 넣어 모든 줄이 그대로 작동하는지 본다. $x = 3$이면 $f(3) = 7$이고, $f^{-1}(7) = \frac{7-1}{2} = 3$이다. $y = -5$이면 $f^{-1}(-5) = -3$이고 $f(-3) = -5$다. 어느 값을 넣어도 두 항등식이 그대로 성립한다 — 증명의 어느 줄도 $x$나 $y$가 특정 실수라는 사실을 쓰지 않았기 때문이다. ### 예제 2.2 — 핵심 정리의 증명 **명제.** $f : A \to B$에 대해, 역관계 $f^{-1}$가 $B$에서 $A$로의 함수 $\iff$ $f$가 전단사이다. 이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다. :::{container} quotebox **확인 14.** 왼쪽 명제 "$f^{-1}$가 함수이다"를 40주차 정의 40.1의 두 조건으로 쪼개 보자. 그리고 오른쪽 명제 "$f$가 전단사이다"를 정의 41.3으로 쪼개 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 왼쪽: (전체성) 모든 $b \in B$에 대해 $(b, a) \in f^{-1}$인 $a \in A$가 존재한다. (유일성) $(b,a) \in f^{-1}$이고 $(b,a') \in f^{-1}$이면 $a = a'$이다. 오른쪽: $f$가 전사이고 또한 단사이다. 양쪽 다 조건 두 개로 쪼개졌으므로, 조건끼리 짝을 지어 각각 동치를 보이면 된다. 어느 짝인지는 §1.2의 표가 이미 알려 주었다. ::: :::{container} quotebox **확인 15.** 두 진영을 잇는 다리는 등식 하나다. "$(b, a) \in f^{-1}$"을 $f$의 말로 옮기면 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $(b,a) \in f^{-1} \iff (a,b) \in f \iff f(a) = b$이다. 첫 동치는 역관계의 정의(36주차 문제 18, 정의 43.1의 둘째 조각)이고, 둘째 동치는 함수가 순서쌍 집합이라는 40주차 정의 40.1이다. 증명 전체가 이 한 줄의 번역을 양쪽에 적용하는 일이다. ::: **증명.** $f^{-1}$가 $B$에서 $A$로의 함수라는 것은 40주차 정의 40.1의 두 조건, 곧 전체성과 유일성이 성립한다는 뜻이다. 각각을 확인 15의 다리로 번역한다. (전체성 $\iff$ 전사) 전체성은 "모든 $b \in B$에 대해 $(b,a) \in f^{-1}$인 $a \in A$가 존재한다"이다. 다리에 의해 이는 "모든 $b \in B$에 대해 $f(a) = b$인 $a \in A$가 존재한다"와 같은 문장이고, 이것이 정의 41.2의 전사 그 자체다. 따라서 전체성과 전사성은 동치다. (유일성 $\iff$ 단사) 유일성은 "$(b,a), (b,a') \in f^{-1}$이면 $a = a'$이다"이다. 다리에 의해 이는 "$f(a) = b$이고 $f(a') = b$이면 $a = a'$이다"와 같은 문장이다. $b$는 임의였으므로 이 문장은 "$f(a) = f(a')$이면 $a = a'$이다"와 같고, 이것이 정의 41.1의 단사 그 자체다. 따라서 유일성과 단사성은 동치다. 이제 두 동치를 결합한다. 일반적으로 $P_1 \iff Q_1$이고 $P_2 \iff Q_2$이면 $(P_1 \land P_2) \iff (Q_1 \land Q_2)$이므로(9주차의 논리 동치), $$ f^{-1}\text{가 함수} \iff (\text{전체성} \land \text{유일성}) \iff (\text{전사} \land \text{단사}) \iff f\text{가 전단사} $$ 이다. 마지막 동치는 전단사의 정의(정의 41.3)다. $\blacksquare$ **관찰.** 이 증명에는 새 논증이 거의 없다. 한 일은 확인 15의 다리를 두 조건에 각각 적용해, 40주차의 함수 조건과 41주차의 단사$\cdot$전사를 같은 등식 $f(a) = b$ 위에서 나란히 읽은 것뿐이다. 정의를 잘 세워 두면 이런 식으로 서로를 완성한다 — 그래서 이번 주의 핵심 정리는 증명보다 진술이 어렵다. ### 예제 2.3 — 정의역 제한: $\sqrt{x}$의 탄생 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$은 단사도 전사도 아니므로(41주차 문제 4) 핵심 정리에 의해 역함수가 없다. §1.1의 막힘이 정확히 이 함수에서 났다. 그런데 여기서 끝낼 필요는 없다. 이번에는 설계부터 스스로 해 보자. :::{container} quotebox **확인 16.** $f$는 어느 조건에서 각각 실패하는가. 실패를 없애려면 함수 선언의 어느 부분을 손봐야 하는가. 그렇게 손보는 것이 왜 허용되는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 단사 실패: $f(2) = f(-2) = 4$ — 정의역에 부호가 다른 두 수가 함께 있어서다. 따라서 **정의역을 줄여** 한쪽 부호만 남긴다. 전사 실패: $f(x) = -1$인 실수 $x$가 없다 — 공역이 치역보다 넓어서다. 따라서 **공역을 치역으로 줄인다**. 손보는 것이 허용되는 이유는 정의역과 공역이 함수 선언의 일부이기 때문이다 (40주차 정의 40.1, 문제 10). 손보면 원래 함수와 다른 함수가 되며, 41주차 예제 2.2의 관찰 — 공역을 치역에 맞추는 순간 치역 계산이 전사 증명으로 승격된다 — 이 여기서 다시 쓰인다. ::: **수리 절차.** 제한한 함수를 $\tilde f$("에프 틸데")로 쓴다. 정의역을 $[0, \infty)$로, 공역을 $[0,\infty)$로 줄여 $\tilde f : [0,\infty) \to [0,\infty)$, $\tilde f(x) = x^2$을 선언한다. (단사) $x, x' \ge 0$이고 $x^2 = x'^2$이라 하자. 19주차 문제 17은 음이 아닌 실수 $x, y$에 대해 $x \neq y$이면 $x^2 \neq y^2$임을 말한다. 그 대우가 "$x^2 = y^2$이면 $x = y$"이므로 $x = x'$이다. 따라서 $\tilde f$는 단사다. (전사) $y \ge 0$이라 하자. §2 첫머리 상자의 인정 사실 "제곱근"(16주차 §1.2)에 의해 $t^2 = y$인 $t \ge 0$이 정확히 하나 존재하고, 그 $t$를 $\sqrt y$로 쓰기로 이미 약속했다. $x = \sqrt y$를 잡으면 $\sqrt{y} \ge 0$이므로 $x$는 정의역에 속하고, 같은 인정 사실의 $(\sqrt y)^2 = y$에 의해 $\tilde f(x) = y$다. 따라서 $\tilde f$는 전사다. 전단사이므로 핵심 정리에 의해 $\tilde f$는 가역이고, 그 역함수 $\tilde f^{-1} : [0,\infty) \to [0,\infty)$가 존재한다. ②의 풀기는 전사 증인이 이미 해 두었다 — $y = x^2$에서 $x = \sqrt y$. 따라서 $\tilde f^{-1}(y) = \sqrt y$이며, **16주차 §1.2에서 인정하고 쓰기로 한 $\sqrt{\ }$가 바로 이 역함수임이 여기서 확인된다.** 검증은 $\tilde f^{-1}(\tilde f(x)) = \sqrt{x^2} = |x| = x$ ($x \ge 0$이므로 절댓값이 해제된다 — 40주차 문제 9)와 $\tilde f(\tilde f^{-1}(y)) = (\sqrt y)^2 = y$다. **관찰.** 16주차가 준 것은 각 $y \ge 0$에 값 $\sqrt y$를 붙일 수 있다는 사실뿐이었다. 그 값 대응이 **어느 함수의 역함수인지**는 이번 주의 도구가 있어야 말할 수 있고, 방금 그것을 말했다 — $\sqrt{\ }$가 함수로 태어나는 자리는 여기다. "$\sqrt{\ }$는 음이 아닌 값"이라는 규약도 16주차에서 이미 $t \ge 0$으로 못 박아 두었으므로, 이번 주가 더한 것은 규약이 아니라 그 **이유**다: 정의역을 $[0,\infty)$로 잘라야 $x^2$이 단사가 되고, 그 제한 위에서만 역함수가 생긴다. $y = x^2$의 왼쪽 가지를 버린 대가로 $\sqrt{\ }$라는 **함수**를 얻은 것이다. 왼쪽 가지를 남기고 오른쪽을 버리는 선택도 가능하며, 그때는 $-\sqrt y$가 역함수가 된다 — 제한의 선택은 하나가 아니고, 선택이 달라지면 역함수도 달라진다(문제 16). ### 관찰 — 같은 뼈대 예제 2.1과 예제 2.3은 겉보기가 다르지만 밟은 단계가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자. | **단계** | **예제 2.1 ($f(x) = 2x+1$)** | **예제 2.3 ($x^2$의 제한)** | |---|---|---| | ① 자격 심사 | 단사$\cdot$전사를 각각 증명 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | ② 후보 제작 | $y = 2x+1$을 풀어 $x = \frac{y-1}{2}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | ③ 선언 | $f^{-1}(y) = \frac{y-1}{2}$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | | ④ 검증 | 항등식 두 개를 계산 | $\underline{\quad(4)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 17.** 표의 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 두 예제에서 ① 앞에 한 단계가 더 있었는지 없었는지 답해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) 정의역을 $[0,\infty)$, 공역을 $[0,\infty)$로 제한한 뒤 단사$\cdot$전사를 증명 (2) $y = x^2$을 풀어 $x = \sqrt y$ (3) $\tilde f^{-1}(y) = \sqrt y$ (4) $\sqrt{x^2} = x$ ($x \ge 0$)와 $(\sqrt y)^2 = y$ 예제 2.3에는 ① 앞에 한 단계가 더 있었다 — **자격이 없음을 확인하고 무대를 손보는 단계**다. 예제 2.1은 처음부터 자격이 있었으므로 그 단계가 비었다. ::: 방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **역함수 만들기의 4단계 틀** ① 자격 심사(전단사) $\to$ ② 후보 제작($y = f(x)$를 $x$에 대해 풀기) $\to$ ③ 선언 $\to$ ④ 검증(항등식 두 개). ①에서 자격이 없으면 두 갈래다: 역함수가 없다고 결론짓거나, 정의역$\cdot$공역을 손봐 자격을 만든 뒤 ①로 되돌아간다. ::: 이 틀은 44주차의 원상 기호를 다룰 때 "역함수가 없어도 쓰는 기호"와 구분하는 기준이 된다. ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다. ### 훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸 **명제.** $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x - 3}{4}$은 역함수를 가지며 $f^{-1}(y) = 4y + 3$이다. **증명.** (단사) $f(a) = f(a')$이라 하자. $\frac{a-3}{4} = \frac{a'-3}{4}$의 양변에 4를 곱하면 $a - 3 = a' - 3$이고, 양변에 3을 더하면 $\underline{\quad(1)\quad}$이다. (전사) $y \in \mathbb{R}$이라 하자. $x = \underline{\quad(2)\quad}$을 잡으면 $x \in \mathbb{R}$이고 $f(x) = \frac{(4y+3) - 3}{4} = \underline{\quad(3)\quad}$이다. 따라서 $f$는 전단사이므로 핵심 정리에 의해 가역이다. $y = \frac{x-3}{4}$을 $x$에 대해 풀면 $x = \underline{\quad(4)\quad}$이므로 $f^{-1}(y) = 4y+3$으로 둔다. 검증: $f^{-1}(f(x)) = 4 \cdot \frac{x-3}{4} + 3 = \underline{\quad(5)\quad}$이고, $f(f^{-1}(y)) = \frac{(4y+3)-3}{4} = \underline{\quad(6)\quad}$이다. $\blacksquare$ ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 이번에는 절차 ①~④를 밟지 않고, 후보를 곧바로 제시해 항등식으로 확정하는 길을 간다. 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다. **명제.** $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3 - x$는 전단사이고 $f^{-1} = f$이다. **증명.** $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$을 $g(y) = \underline{\quad(1)\quad}$로 두자. 임의의 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $$ (g \circ f)(x) = g(3 - x) = 3 - (3 - x) = \underline{\quad(2)\quad} $$ 이므로 $g \circ f = \underline{\quad(3)\quad}$이다. 같은 계산으로 임의의 $y \in \mathbb{R}$에 대해 $(f \circ g)(y) = f(3-y) = 3 - (3-y) = \underline{\quad(4)\quad}$이므로 $f \circ g = \mathrm{id}_\mathbb{R}$이다. 두 항등식이 모두 성립하므로 $\underline{\quad(5)\quad}$에 의해 $f$는 전단사이고 $g = f^{-1}$이다. 그런데 $g$의 식은 $f$의 식과 같으므로 $f^{-1} = f$이다. $\blacksquare$ ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 이번에는 4단계 틀의 각 칸을 통째로 채운다. **명제.** $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 + 1$은 역함수를 가지며 $f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y - 1}$이다. (세제곱근의 **존재**는 증명 없이 인정하고 쓴다 — 10주차 문제 10(a)에서 기호로 옮긴 명제이며, 실수의 완비성이 필요하므로 이 교재의 범위 밖이다. **유일**은 인정 사실이 아니라 41주차 문제 8($x^3$이 단사)에서 따라온다. 두 사실의 지위가 다르다는 것이 §2 첫머리 "이 주가 빌려 쓰는 사실" 상자의 요점이다.) **증명의 뼈대.** - ① 자격 심사: $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② 후보 제작: $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ 선언: $\underline{\quad(3)\quad}$ - ④ 검증: $\underline{\quad(4)\quad}$ (이 훈련이 문제 11과 문제 16의 예행연습이다.) ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 역함수 문제는 4단계 틀(§2 관찰)의 어느 칸에 있는지부터 정하고 시작한다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 **근거**가 점수다. "$f^{-1}(y) = \frac{y-1}{2}$이다(맞음)"는 0점이고, ① 전단사 확인 ② 풀기 ③ 선언 ④ 항등식 두 개까지 갖춘 답안이 만점이다. 특히 ④에서 한쪽 항등식만 적은 답안은 미완결이다 — 문제 17이 그 이유를 반례로 보인다. 난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** [백지] 핵심 정리(역관계가 함수 $\iff$ 전단사, 두 대응 포함)와 역함수 특징짓기(항등식 2개)를 진술하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown §1.4와 §1.5의 상자 두 개다. 핵심 정리는 동치 문장만으로 끝나지 않는다 — 전체성$\cdot$유일성이 각각 무엇과 짝이었는지까지 적어야 완결이다. ::: **2.** 다음 함수들이 역함수를 갖는지 판정만 하시오 (근거 한 줄). (a) $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3$ (b) $g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $g(n) = 2n$ (c) $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $h(x) = x^2 + 1$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 핵심 정리에 의해 물을 것은 전단사 여부뿐이다. 두 성질 중 **하나만** 깨져도 역함수가 없으므로, 없는 쪽은 반례 하나로 끝난다. (b)는 무대가 $\mathbb{Z}$라는 점이 갈림길이고, (c)는 부호가 다른 두 입력을 넣어 본다. ::: **3.** $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x - 5$의 역함수를 절차 ①~④로 구하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 예제 2.1과 계수만 다르다. ①의 전사 증인을 만드는 계산이 곧 ②이므로, 증인을 구한 뒤에는 그 식을 옮겨 적기만 하면 된다. ::: **4.** 빈칸 훈련을 백지에서 완성하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 세 훈련이 각각 다른 것을 시험한다 — 훈련 1은 절차 ①~④의 계산, 훈련 2는 특징짓기 정리 (ii)의 인용, 훈련 3은 4단계 틀 자체다. ::: **5.** $A = \{1,2,3\}$, $f = \{(1,b),(2,c),(3,a)\}$ ($A \to \{a,b,c\}$)의 역함수를 순서쌍 집합으로 쓰고, $f^{-1} \circ f$를 계산해 $\mathrm{id}_A$임을 확인하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 유한집합에서는 자격 심사도 세기로 끝난다 — 뒤집은 집합에서 $a, b, c$가 왼쪽 자리에 몇 번 나오는지 세면 §1.2의 표와 같은 판정이 된다. ::: **6.** 예제 2.1을 백지에 재현하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 완성본 표의 일곱 줄이 그대로 답이다. 넷째 줄("따라서 전단사이므로 가역이다")을 빠뜨리기 쉬운데, 그 줄이 없으면 다섯째 줄의 기호 $f^{-1}$이 정의되지 않는다. ::: ### 표준 ●●○ **7.** 예제 2.2(핵심 정리)를 백지에 재현하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 다리 등식 $(b,a) \in f^{-1} \iff (a,b) \in f \iff f(a) = b$부터 적는다. 그 한 줄을 전체성$\cdot$유일성 두 조건에 각각 적용하는 것이 증명 전부이며, 계산은 한 줄도 없다. ::: **8.** $g : \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} - \{1\}$, $g(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$의 역함수를 구하고 검증하시오. (41주차 예제 2.2에서 전단사는 확보됨 — 증인 제작식이 곧 역함수) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown ①은 인용 한 줄로 끝난다(근거 ④). ②의 풀기는 분모를 없애고 $x$가 든 항을 한쪽에 모으는 것이다: $y(x-2) = x+1$에서 $x(y-1) = 2y+1$. $y \neq 1$이라는 공역 조건이 여기서 나눗셈을 허가한다. ::: **9.** $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(n) = n + 7$의 역함수를 구하고 검증하시오. :::{admonition} 문제 10$\cdot$19가 빌려 쓰는 사실 — $\mathbb{Z}_n$의 곱셈 역원 :class: quotebox $\mathbb{Z}_n$에서 $[c][d] = [1]$일 때 $[d]$를 $[c]$의 **곱셈 역원**이라 한다 (38주차). $\mathbb{Z}_5$에서 $[2][3] = [6] = [1]$이므로 $[3]$이 $[2]$의 역원이고, $\mathbb{Z}_7$에서 $[3][5] = [15] = [1]$이므로 $[5]$가 $[3]$의 역원이다 (38주차 문제 9, 39주차 문제 13). 이번 주에 새로 하는 일은 이 역원을 **역함수로 승격**시키는 것이다: "곱하기 $[c]$" 함수의 역함수는 "곱하기 $[c]^{-1}$"이다. 곱셈 역원(수)과 역함수(함수)는 다른 대상이므로, 승격이 성립하는지는 항등식 두 개로 확인해야 한다. 새로 정의한 대응이 $\mathbb{Z}_n$ 위에서 **잘 정의되는지**의 검문(40주차)도 함께 통과해야 한다. ::: **10.** $\psi : \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5$, $\psi([a]) = [2a]$ (41주차 문제 12에서 전단사 확인)의 역함수를 구하시오. (힌트: $[2]$의 곱셈 역원(38주차) — $\psi^{-1}([b]) = [3b]$인지 값 전수로 검증) **11.** $f(x) = x^3$ ($\mathbb{R} \to \mathbb{R}$)의 역함수가 $f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$임을 항등식 검증으로 확인하시오 (전단사: 41주차 문제 8 + 10주차 문제 10(a) 인용). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 훈련 3에서 $x^3 + 1$로 같은 일을 했다. 전사에 쓰는 "모든 실수는 세제곱근을 가진다"는 인정하고 쓰는 사실이며, 인용할 때 그 사실을 명시하는 것까지가 답안이다. ::: **12.** (역함수의 그래프) $f(x) = 2x + 1$과 $f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2}$의 그래프가 직선 $y = x$에 대칭인 이유를 "순서쌍 뒤집기"로 설명하시오: $(a, b) \in f \iff (b, a) \in f^{-1}$. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 그림은 근거 목록에 없다(§1.8 확인 8의 (나)). 답안은 두 부분이다 — ① 함수가 순서쌍 집합이고 $f^{-1}$이 그 뒤집기라는 정의 인용, ② 두 점 $(a,b)$와 $(b,a)$가 직선 $y=x$에 대해 대칭이라는 좌표 사실의 확인(중점과 기울기를 계산한다). ::: **13.** (유일성) $g_1, g_2 : B \to A$가 모두 역함수의 항등식($g_i \circ f = \mathrm{id}_A$, $f \circ g_i = \mathrm{id}_B$)을 만족하면 $g_1 = g_2$임을 증명하시오. (힌트: $g_1 = g_1 \circ \mathrm{id}_B = g_1 \circ (f \circ g_2) = \cdots$ — 결합법칙(42주차 문제 7)의 묘기) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 계산은 한 줄도 없다. 등호 다섯 개짜리 사슬을 만들고, 각 등호 위에 근거를 하나씩 얹는 것이 전부다. 쓸 수 있는 근거는 세 가지뿐이다 — $\mathrm{id}$의 흡수(42주차 문제 13), 결합법칙(42주차 문제 7), 그리고 $g_1$과 $g_2$의 항등식. 두 항등식이 각각 한 번씩 쓰이는지 확인한다. ::: **14.** $(f^{-1})^{-1} = f$임을 설명하시오. (역관계를 두 번 뒤집으면? — 순서쌍 차원에서 한 줄) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 두 길이 있다. 순서쌍 길은 $(a,b) \in (f^{-1})^{-1}$을 정의로 두 번 풀어 쓴다. 항등식 길은 특징짓기 정리 (ii)를 $f^{-1}$에 적용한다 — $f$가 그때의 $g$ 자리에 그대로 들어간다. 함수 상등은 정의역$\cdot$공역까지 확인해야 완결이다(40주차). ::: ### 도전 ●●● :::{admonition} 도전 구간의 새 도구 — 유일성을 근거로 쓰기 :class: quotebox 문제 15와 이후의 논증은 "후보 하나를 제시하고 항등식 두 개를 확인한 뒤, 유일성에 의해 그 후보가 곧 역함수라고 선언한다"는 형태를 쓴다. 이 선언을 정당화하는 것이 문제 13이므로, 문제 15 이후를 풀기 전에 문제 13을 먼저 푼다. 유일성이 없으면 논증은 "조건을 만족하는 후보가 하나 있다"까지만 말하고 멈추며, "그것이 역함수다"로 넘어가지 못한다. ::: **15.** (신발–양말 정리) $f : A \to B$, $g : B \to C$가 전단사일 때 $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$임을 증명하시오. (힌트: 특징짓기 정리 — $(f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = \mathrm{id}_A$와 $(g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = \mathrm{id}_C$를 결합법칙으로 확인하면 유일성에 의해 끝) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 먼저 $(g \circ f)^{-1}$이 존재하는지부터 말해야 한다 — 42주차 보존 정리 (iii)이 그 줄이다. 합성 계산은 괄호를 안쪽부터 지운다: 가운데의 $g^{-1} \circ g$가 먼저 $\mathrm{id}_B$가 되고, 그것이 흡수되면 $f^{-1} \circ f$만 남는다. ::: **16.** 예제 2.3의 절차로 $f(x) = x^2 - 4x + 5$ ($= (x-2)^2 + 1$)의 역함수를 만드시오: 적절한 정의역$\cdot$공역 제한을 선언하고, 역함수를 계산$\cdot$검증하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 괄호 안의 완전제곱 변형이 이미 주어져 있다. 그 꼴에서 어디를 잘라야 단사가 되는지, 치역이 어디서부터인지가 동시에 읽힌다. 검증에서 $\sqrt{(x-2)^2}$이 나오면 절댓값으로 바꾼 뒤(40주차 문제 9) 제한 조건으로 해제한다. ::: **17.** $f : A \to B$가 $g \circ f = \mathrm{id}_A$인 $g$를 가지지만 전단사가 아닌 예를 만드시오 (힌트: 42주차 문제 17 — 이런 $f$는 단사는 보장되지만 전사는 아닐 수 있다. $f : \{1\} \to \{1, 2\}$에서 $g$를 설계). 이 예가 "항등식 **한쪽만으로는** 역함수가 안 되는" 이유를 보여줌을 설명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 원소가 하나뿐인 집합에서 시작하면 확인할 것이 거의 없다. $A = \{1\}$이면 $g \circ f = \mathrm{id}_A$는 등식 한 개짜리 검산으로 끝난다. 그다음 반대쪽 항등식이 실제로 깨지는 입력을 하나 제시하면 설명이 완결된다. ::: **18.** (진단) 다음 답안의 결함을 지적하시오. :::{container} quotebox "$f(x) = \frac{1}{x}$ ($\mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R} - \{0\}$)의 역함수를 구한다. 역함수는 $f$를 뒤집은 것이므로 $f^{-1}(x) = \frac{1}{f(x)} = x$이다. 검증: $f^{-1}(f(x)) = x$ ✓. $\blacksquare$" (두 가지 결함: ① $f^{-1}$과 $\frac{1}{f}$의 혼동 — 우연히 어디까지 맞았고 어디서 개념이 틀렸는가? ② 검증이 왜 우연히 통과했는가 — 42주차 문제 14와 연결) ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 답안의 후보는 $g(x) = x$다. 검증이란 그 후보를 **그대로 합성**하는 것이므로 $g(f(x))$를 계산해야 하는데, 답안이 계산한 것은 $\frac{1}{f(x)}$다. 후보를 제대로 합성하면 어떤 값이 나오는지 $x = 2$에서 확인해 본다. ::: **19.** $f : \mathbb{Z}_7 \to \mathbb{Z}_7$, $f([a]) = [3a] + [2]$ ($= [3a + 2]$)의 역함수를 구하시오. (힌트: $y = [3a+2]$를 $[a]$에 대해 "풀기" — $[3]$의 역원 $[5]$(39주차 문제 13)로 곱하는 것이 "나누기". 검증 포함) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 실수에서 $3a+2 = y$를 푸는 순서 그대로다 — 먼저 $[2]$를 옮기고 그다음 $[3]$을 없앤다. 다만 $\mathbb{Z}_7$에는 나눗셈이 없으므로 "$[3]$으로 나누기"는 "$[5]$를 곱하기"로 수행한다(문제 10 앞 상자). ::: **20.** (서술) (a) "고1의 역함수 계산(풀고 바꾸기)"에서 숨겨져 있던 두 단계(①자격 심사, ④검증)가 왜 논리적으로 필수인지 두 문장 이내로. (b) 신발–양말 정리의 순서 뒤집힘을 일상 비유 하나와 수학 사례 하나로 설명하시오. ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다. **1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** 4단계 틀(§2 관찰)과 근거 목록(§1.8)만 펴 놓고, 예제 2.1을 처음부터 끝까지 적는다. 정의 상자와 본문은 보지 않는다. **2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다. - [ ] 정의 43.1을 자격 심사 조각까지 포함해 그대로 썼다. - [ ] 핵심 정리와 두 대응(전체성 $\leftrightarrow$ 전사, 유일성 $\leftrightarrow$ 단사)을 백지에 썼다. - [ ] 특징짓기 정리를 (i)(ii)(iii) 세 항목으로 진술했다. - [ ] 절차 ①~④로 역함수 하나를 완전하게 구했다 (예제 2.1 재현). - [ ] 예제 2.2(핵심 정리의 증명)를 다리 등식 $f(a) = b$부터 재현했다. - [ ] 예제 2.3($\sqrt{\ }$의 탄생)을 재현했다 — 정의역$\cdot$공역을 각각 왜 손보는지 포함. - [ ] 유일성 증명(문제 13)의 등호 다섯 개와 각 근거를 재현했다. - [ ] $f^{-1}$과 $\frac1f$의 차이(문제 18)를 한 문장으로 설명했다. - [ ] 신발–양말 정리를 진술하고, 순서가 뒤집히는 이유를 연결 조건으로 말했다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | 어디서 시작할지 모르겠다 | 예제 2.1의 설계 번역표 — 4단계 틀의 어느 칸에 있는지부터 정한다 | | 전단사 확인에서 손이 멈춘다 | 41주차 정의 41.1~41.3과 서식 4종. §1.6의 ①이 그 서식을 그대로 부른다 | | "$x$에 대해 푸는" 계산이 안 된다 | §1.6 확인 6 — 전사 증인 제작과 같은 계산이다. 40주차 문제 17, 41주차 예제 2.2 | | 검증에서 한쪽만 적게 된다 | §1.5 특징짓기 정리와 문제 17의 반례 — 조건이 두 개인 이유 | | 역함수가 없는 함수를 만났다 | 예제 2.3 — 정의역$\cdot$공역을 손봐 자격을 만든 뒤 ①로 되돌아간다 | | 합성이 얽힌 증명에서 막힌다 | 문제 13의 다섯 등호 — 42주차 문제 7(결합법칙)과 문제 13($\mathrm{id}$ 흡수) | | 정의는 외웠는데 왜 그런지 모르겠다 | §1.3 해부 표와 삭제 실험 — 조각의 이유와 함께 다시 외운다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) $a = a'$ (2) $4y + 3$ (3) $y$ (4) $4y + 3$ (5) $x$ (6) $y$ ※ (2)와 (4)가 같은 식인 것이 우연이 아니다. (2)는 전사 증명의 증인이고 (4)는 방정식의 해인데, 둘을 만드는 계산이 하나이기 때문이다(§1.6 확인 6). 증인을 만들어 두었다면 (4)에서 다시 계산할 것이 없다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) $3 - y$ (2) $x$ (3) $\mathrm{id}_\mathbb{R}$ (4) $y$ (5) 특징짓기 정리 (ii) ※ 이 길에는 ①②③이 없다. 후보를 어디선가 얻었다면 절차를 밟지 않고 항등식 두 개로 곧장 확정할 수 있다는 것이 특징짓기 정리 (ii)의 쓸모다. 대신 후보를 스스로 만들어야 할 때는 ①~④가 필요하다 — 두 길은 경쟁이 아니라 분업이다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) **자격 심사.** (단사) $f(a) = f(a')$이라 하자. $a^3 + 1 = a'^3 + 1$에서 양변에서 1을 빼면 $a^3 = a'^3$이고, 41주차 문제 8에 의해 $a = a'$이다. (전사) $y \in \mathbb{R}$이라 하자. $x = \sqrt[3]{y-1}$을 잡으면 $x$는 실수이고(모든 실수는 세제곱근을 가진다 — 인정하고 쓰는 사실), $f(x) = (\sqrt[3]{y-1})^3 + 1 = (y-1) + 1 = y$이다. 따라서 $f$는 전단사이고, 핵심 정리에 의해 가역이다. (2) **후보 제작.** $y = x^3 + 1$에서 $x^3 = y - 1$이므로 $x = \sqrt[3]{y-1}$이다. (3) **선언.** $f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y-1}$로 둔다. (4) **검증.** $f^{-1}(f(x)) = \sqrt[3]{(x^3+1) - 1} = \sqrt[3]{x^3} = x$이고, $f(f^{-1}(y)) = (\sqrt[3]{y-1})^3 + 1 = (y-1) + 1 = y$이다. $\blacksquare$ ※ 검산: $x = 2$이면 $f(2) = 9$이고 $f^{-1}(9) = \sqrt[3]{8} = 2$ ✓. $f(x) = x^3$과 다른 점은 $+1$뿐이며, 그 $+1$은 ②에서 $-1$로 되돌아온다. 문제 11이 $+1$ 없는 판이고, 문제 16이 짝수 거듭제곱이라 제한이 필요한 판이다. ### 문제 1 **접근.** 진술만 요구하는 문제이므로 증명은 필요 없다. 다만 두 정리 모두 부속 조항이 있고, 그 조항이 이번 주의 내용 대부분을 담고 있다 — 핵심 정리는 두 대응까지, 특징짓기는 역방향과 유일성까지 적어야 완결이다. **풀이.** (핵심 정리) $f : A \to B$에 대해, 역관계 $f^{-1}$가 $B$에서 $A$로의 함수인 것과 $f$가 전단사인 것은 동치이다. 두 대응은 다음과 같다 — $f^{-1}$의 전체성은 $f$의 전사성과 동치이고, $f^{-1}$의 유일성은 $f$의 단사성과 동치이다. (특징짓기 정리) (i) $f$가 전단사이면 $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A$이고 $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_B$이다. (ii) 거꾸로 $g \circ f = \mathrm{id}_A$이고 $f \circ g = \mathrm{id}_B$인 $g : B \to A$가 존재하면 $f$는 전단사이고 $g = f^{-1}$이다. (iii) 그런 $g$는 유일하다. 자가 채점 기준은 세 가지다. 핵심 정리에서 두 대응을 빠뜨렸는가, 특징짓기에서 항등식을 한쪽만 적었는가, (ii)의 결론에 "$f$가 전단사"와 "$g = f^{-1}$" 둘 다 있는가. 셋 중 하나라도 빠졌으면 §1.4와 §1.5를 다시 읽는다. ### 문제 2 **접근.** 핵심 정리에 의해 물을 것은 전단사 여부뿐이다. 있음을 주장하려면 단사와 전사를 각각 확보해야 하고, 없음을 주장하려면 둘 중 **하나가 깨지는** 반례 하나로 끝난다 — 비용이 크게 다르므로 없는 쪽부터 의심해 보는 것이 빠르다. **풀이.** (a) **있음.** 단사는 41주차 문제 8에서 증명했다. 전사는 임의의 $y \in \mathbb{R}$에 대해 $x = \sqrt[3]{y}$가 증인이며($f(x) = (\sqrt[3]{y})^3 = y$), "모든 실수는 세제곱근을 가진다"는 인정하고 쓰는 사실이다(10주차 문제 10(a) — 존재만 인정 사실이고, 유일은 41주차 문제 8에서 따라온다). 전단사이므로 핵심 정리에 의해 역함수가 있다. (b) **없음.** 전사가 아니다 — $1 \in \mathbb{Z}$에 대해 $2n = 1$인 정수 $n$이 없기 때문이다($n = \frac12$은 정수가 아니다). 치역은 짝수 전체이고 공역은 $\mathbb{Z}$이므로 홀수에 도달하지 못한다. 전체성이 깨지므로 역관계는 함수가 아니다. (c) **없음.** 단사가 아니다 — $h(1) = 2 = h(-1)$인데 $1 \neq -1$이다. (전사도 아니다: $h(x) = 0$이면 $x^2 = -1$인데 실수의 제곱은 음이 아니다.) 단사 하나만 깨져도 결론은 같다. **복기.** 판정 문제에서 근거의 비대칭을 기억한다 — "있음"은 두 성질을 각각 증명해야 하고, "없음"은 반례 하나면 끝난다. (b)에서 무대가 $\mathbb{R}$이었다면 $f(x) = 2x$는 전단사가 되어 답이 뒤집힌다. 무대 확인이 판정보다 먼저다. ### 문제 3 **접근.** 예제 2.1과 계수만 다르다. ①의 전사 증인을 만드는 계산이 곧 ②이므로 같은 식을 두 번 만들지 않는다. ④는 두 항등식을 각각 끝까지 계산한다. **풀이.** ① (단사) $f(a) = f(a')$이라 하자. $3a - 5 = 3a' - 5$의 양변에 5를 더하면 $3a = 3a'$이고, 양변을 3으로 나누면 $a = a'$이다. (전사) $y \in \mathbb{R}$이라 하자. $x = \frac{y+5}{3}$을 잡으면 $x \in \mathbb{R}$이고 $f(x) = 3 \cdot \frac{y+5}{3} - 5 = (y+5) - 5 = y$이다. 따라서 $f$는 전단사이고, 핵심 정리에 의해 가역이다. ② $y = 3x - 5$에서 $3x = y + 5$, 곧 $x = \frac{y+5}{3}$이다. ③ $f^{-1}(y) = \frac{y+5}{3}$으로 둔다. ④ $f^{-1}(f(x)) = \frac{(3x-5)+5}{3} = \frac{3x}{3} = x$이고, $f(f^{-1}(y)) = 3 \cdot \frac{y+5}{3} - 5 = (y+5) - 5 = y$이다. 따라서 $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_\mathbb{R}$, $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_\mathbb{R}$이므로 $f^{-1}(y) = \frac{y+5}{3}$은 $f$의 역함수이다. $\blacksquare$ (검산: $x = 4$이면 $f(4) = 7$이고 $f^{-1}(7) = \frac{12}{3} = 4$ ✓.) **복기.** $a \neq 0$인 일차함수 $f(x) = ax + b$는 언제나 전단사이고 $f^{-1}(y) = \frac{y - b}{a}$다. 예제 2.1($a=2$, $b=1$)과 이 문제($a=3$, $b=-5$), 훈련 1($a = \frac14$, $b = -\frac34$)이 같은 계산의 세 사례이며, $a = 0$이면 상수함수가 되어 단사가 깨진다 — $a \neq 0$이 자격 조건이다. ### 문제 4 **접근.** 세 훈련이 각각 다른 것을 시험한다. 훈련 1은 절차 ①~④의 계산 수행, 훈련 2는 특징짓기 정리 (ii)를 근거로 인용하는 능력, 훈련 3은 4단계 틀 자체를 백지에서 세우는 능력이다. 어느 칸에서 손이 멈추는지가 다시 볼 절을 알려 준다. **풀이.** 앞의 세 "빈칸 사다리" 항목과 대조해 자가 채점한다. 채점 기준은 답의 일치가 아니라 다음 세 가지다. ① 훈련 1에서 전사 증인과 ②의 해를 **같은 식**으로 적었는가. 다른 계산을 두 번 했다면 §1.6 확인 6을 다시 읽는다. ② 훈련 2에서 (5)에 "특징짓기 정리 (ii)"라는 **근거 이름**을 적었는가. "항등식이 성립하므로"까지만 적었다면 근거가 아니라 관찰을 적은 것이다. ③ 훈련 3에서 ①의 자격 심사를 단사$\cdot$전사 **각각** 썼는가. 그리고 세제곱근의 존재를 인정하고 쓴다는 것을 명시했는가 — 인정하는 사실은 인용할 때마다 명시하는 것이 이 교재의 규칙이다. ### 문제 5 **접근.** 유한집합이므로 모든 판정이 세기로 끝난다. 뒤집은 집합에서 $a, b, c$가 왼쪽 자리에 각각 몇 번 나오는지 세면 §1.2의 표와 같은 자격 심사가 되고, 합성은 42주차 문제 3처럼 화살표를 두 번 따라가면 된다. **풀이.** 먼저 자격 심사. $f$의 출력 목록은 $b, c, a$로 서로 다르므로 단사이고, 공역 $\{a,b,c\}$의 세 원소가 모두 나오므로 전사다. 따라서 전단사이고 핵심 정리에 의해 가역이다. 순서쌍을 뒤집으면 $$ f^{-1} = \{(b, 1), (c, 2), (a, 3)\} $$ 이다. $a, b, c$가 왼쪽 자리에 각각 정확히 한 번씩 나오므로 이 집합은 실제로 $\{a,b,c\}$에서 $A$로의 함수다. 합성을 추적하면 $1 \mapsto b \mapsto 1$, $2 \mapsto c \mapsto 2$, $3 \mapsto a \mapsto 3$이므로 $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A$다. 반대쪽도 확인하면 $a \mapsto 3 \mapsto a$, $b \mapsto 1 \mapsto b$, $c \mapsto 2 \mapsto c$이므로 $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_{\{a,b,c\}}$다. 두 항등식이 모두 성립하므로 특징짓기 정리와도 어긋나지 않는다. $\blacksquare$ **복기.** 유한집합에서는 §1.2의 표가 곧 계산 절차다 — 뒤집고, 왼쪽 자리의 출현 횟수를 세고, 전부 1이면 함수다. 무한집합에서는 셀 수 없으므로 그 세기를 단사$\cdot$전사 증명이 대신한다. 두 세계에서 하는 일은 같고 도구만 다르다. ### 문제 6 **접근.** 예제 2.1 완성본 표의 일곱 줄을 순서대로 복원한다. 특히 넷째 줄 ("따라서 전단사이므로 가역이다")이 빠지기 쉬운데, 그 줄이 없으면 다섯째 줄의 기호 $f^{-1}$이 무엇을 가리키는지 정해지지 않는다(§1.3 삭제 실험). **풀이.** $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 1$이라 하자. (단사) $f(a) = f(a')$이라 하자. 곧 $2a + 1 = 2a' + 1$이므로, 양변에서 1을 빼면 $2a = 2a'$이고 양변을 2로 나누면 $a = a'$이다. 따라서 $f$는 단사다. (전사) $y \in \mathbb{R}$이라 하자. $x = \frac{y-1}{2}$을 잡으면 $x$는 실수이므로 정의역에 속하고, $f(x) = 2 \cdot \frac{y-1}{2} + 1 = (y-1) + 1 = y$이다. 따라서 $f$는 전사다. $f$는 전단사이므로 핵심 정리에 의해 가역이다. $y = 2x + 1$을 $x$에 대해 풀면 $x = \frac{y-1}{2}$이므로 $f^{-1}(y) = \frac{y-1}{2}$로 둔다. 검증하면 $$ f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x+1) - 1}{2} = \frac{2x}{2} = x, \qquad f(f^{-1}(y)) = 2 \cdot \frac{y-1}{2} + 1 = y $$ 이므로 $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_\mathbb{R}$이고 $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_\mathbb{R}$이다. 따라서 $f^{-1}(y) = \frac{y-1}{2}$은 $f$의 역함수이다. $\blacksquare$ **복기.** 자가 채점에서 볼 것은 계산이 아니라 줄의 개수다 — 자격 심사 두 줄, 가역 선언 한 줄, 후보 제작$\cdot$선언 한 줄, 검증 두 줄, 마감 한 줄. 계산이 맞아도 가역 선언이나 검증 한쪽이 없으면 미완결이다. ### 문제 7 **접근.** 예제 2.2의 재현이므로 다리 등식부터 세운다. $(b,a) \in f^{-1} \iff f(a) = b$ 한 줄이 증명 전체를 굴리며, 나머지는 40주차의 두 조건과 41주차의 두 성질을 그 다리 위에서 번역하는 일이다. **풀이.** $f^{-1}$가 $B$에서 $A$로의 함수라는 것은 40주차 정의 40.1의 두 조건이 성립한다는 뜻이다. 다리 등식은 $(b,a) \in f^{-1} \iff (a,b) \in f \iff f(a) = b$다. (전체성 $\iff$ 전사) 전체성은 "모든 $b \in B$에 대해 $(b,a) \in f^{-1}$인 $a \in A$가 존재한다"이고, 다리에 의해 이는 "모든 $b \in B$에 대해 $f(a) = b$인 $a \in A$가 존재한다"와 같은 문장이다. 이것이 정의 41.2의 전사다. (유일성 $\iff$ 단사) 유일성은 "$(b,a), (b,a') \in f^{-1}$이면 $a = a'$"이고, 다리에 의해 이는 "$f(a) = b$이고 $f(a') = b$이면 $a = a'$"와 같은 문장이다. $b$가 임의였으므로 이는 "$f(a) = f(a')$이면 $a = a'$", 곧 정의 41.1의 단사다. 두 동치를 결합하면 "$f^{-1}$가 함수" $\iff$ "전사이고 단사" $\iff$ "$f$가 전단사"(정의 41.3)이다. $\blacksquare$ **복기.** 이 증명은 계산이 한 줄도 없고, 하는 일은 번역뿐이다. 그래서 재현이 어려운 지점은 논증이 아니라 **어느 조건과 어느 성질이 짝인지**를 기억하는 것이다. 짝을 잊었을 때는 §1.2의 표로 돌아간다 — $f_2$(단사 아님)에서 유일성이 깨지고 $f_3$(전사 아님)에서 전체성이 깨졌다는 사례가 짝을 복원해 준다. ### 문제 8 **접근.** ①은 인용 한 줄로 끝난다 — 41주차 예제 2.2가 이 $g$의 전단사성을 이미 증명했다(근거 ④). ②의 풀기는 분모를 없애고 $x$가 든 항을 한쪽에 모으는 것이며, 공역이 $\mathbb{R} - \{1\}$이라는 조건이 마지막 나눗셈을 허가한다. **풀이.** ① $g$는 전단사다 — 41주차 예제 2.2에서 증명했다. 핵심 정리에 의해 가역이다. ② 정의역이 $\mathbb{R} - \{2\}$이므로 $x - 2 \neq 0$이고, $y = \frac{x+1}{x-2}$의 양변에 $x-2$를 곱하면 $y(x-2) = x+1$, 곧 $xy - 2y = x + 1$이다. $x$가 든 항을 왼쪽에 모으면 $x(y-1) = 2y+1$이고, 공역이 $\mathbb{R} - \{1\}$이므로 $y - 1 \neq 0$이어서 양변을 $y-1$로 나눌 수 있다: $$ x = \frac{2y+1}{y-1} $$ (이 식은 40주차 문제 17에서 치역을 구할 때 만든 증인과 같다.) ③ $g^{-1} : \mathbb{R} - \{1\} \to \mathbb{R} - \{2\}$, $g^{-1}(y) = \frac{2y+1}{y-1}$로 둔다. 이 값이 2가 아님은 41주차 예제 2.2의 전사 증명에서 확인했다. ④ 검증. $t = \frac{x+1}{x-2}$라 두면 분자$\cdot$분모에 공통인 $\frac{1}{x-2}$이 약분되어 $$ g^{-1}(g(x)) = \frac{2t+1}{t-1} = \frac{\ \frac{2x+2+x-2}{x-2}\ }{\ \frac{x+1-x+2}{x-2}\ } = \frac{3x}{3} = x $$ 이고, $s = \frac{2y+1}{y-1}$이라 두면 같은 방식으로 $$ g(g^{-1}(y)) = \frac{s+1}{s-2} = \frac{\ \frac{2y+1+y-1}{y-1}\ }{\ \frac{2y+1-2y+2}{y-1}\ } = \frac{3y}{3} = y $$ 이다. 두 항등식이 모두 성립하므로 $g^{-1}(y) = \frac{2y+1}{y-1}$은 $g$의 역함수이다. $\blacksquare$ (검산: $g(3) = \frac{4}{1} = 4$이고 $g^{-1}(4) = \frac{9}{3} = 3$ ✓.) **복기.** 40주차에서 치역을 구하려고 푼 방정식, 41주차에서 전사 증인으로 쓴 식, 이번 주의 역함수식이 전부 같은 $\frac{2y+1}{y-1}$이다. 세 주차가 같은 계산을 서로 다른 이름으로 불렀고, 그 이름들을 통합하는 것이 이번 주의 일이다. ### 문제 9 **접근.** 무대가 $\mathbb{Z}$이므로 전사 증인을 만들 때 그 증인이 **정수인지**를 반드시 확인한다. 문제 2(b)에서 $2n$이 전사가 아니었던 것도 같은 검문에서 갈렸다. 41주차 문제 3($n+4$)이 같은 구조의 선행 사례다. **풀이.** ① (단사) $f(a) = f(a')$이라 하자. $a + 7 = a' + 7$의 양변에서 7을 빼면 $a = a'$이다. (전사) $m \in \mathbb{Z}$이라 하자. $n = m - 7$을 잡으면 정수의 차는 정수이므로(근거 ②) $n \in \mathbb{Z}$이고, $f(n) = (m-7) + 7 = m$이다. 따라서 $f$는 전단사이고 핵심 정리에 의해 가역이다. ② $m = n + 7$에서 $n = m - 7$이다. ③ $f^{-1}(m) = m - 7$로 둔다. ④ $f^{-1}(f(n)) = (n+7) - 7 = n$이고 $f(f^{-1}(m)) = (m-7) + 7 = m$이다. 따라서 $f^{-1}(m) = m-7$은 $f$의 역함수이다. $\blacksquare$ (검산: $f(3) = 10$, $f^{-1}(10) = 3$ ✓. $f(-2) = 5$, $f^{-1}(5) = -2$ ✓.) **복기.** 같은 규칙식이라도 무대가 바뀌면 결론이 바뀐다. $\mathbb{Z}$에서 $n \mapsto n+7$은 전단사이지만 $n \mapsto 2n$은 전사가 아니고(문제 2(b)), $\mathbb{R}$에서는 둘 다 전단사다. 증인이 정의역에 속하는지의 검문이 그 차이를 잡아내는 자리이며, 41주차 서식이 전사 증명에 검증 두 가지를 요구한 이유가 이것이다. ### 문제 10 **접근.** ①은 41주차 문제 12에서 값 전수 나열로 확인했으므로 인용한다. ②의 "풀기"는 $\mathbb{Z}_5$에 나눗셈이 없으므로 곱셈 역원으로 수행한다 — $[2]$의 역원이 $[3]$이다. 새로 선언한 대응이 $\mathbb{Z}_5$ 위에서 잘 정의되는지의 검문(40주차)도 통과해야 한다. **풀이.** ① $\psi$는 전단사다 — 41주차 문제 12에서 다섯 값을 전수 나열해 확인했다. 핵심 정리에 의해 가역이다. ② $[b] = [2a]$의 양변에 $[3]$을 곱하면 $[3b] = [6a] = [a]$이다($6 \equiv 1 \pmod 5$). ③ $\psi^{-1}([b]) = [3b]$로 둔다. (잘 정의됨) $[b] = [b']$이면 $5 \mid (b-b')$이므로 $5 \mid 3(b-b')$, 곧 $[3b] = [3b']$이다. 대표원을 어느 것으로 골라도 값이 같으므로 이 대응은 함수다. ④ 임의의 $[a]$에 대해 $\psi^{-1}(\psi([a])) = [3 \cdot 2a] = [6a] = [a]$이고, 임의의 $[b]$에 대해 $\psi(\psi^{-1}([b])) = [2 \cdot 3b] = [6b] = [b]$이다. 따라서 $\psi^{-1}([b]) = [3b]$는 $\psi$의 역함수이다. $\blacksquare$ 값 전수로 다시 확인하면 다음과 같다. | **$[a]$** | **$[0]$** | **$[1]$** | **$[2]$** | **$[3]$** | **$[4]$** | |---|---|---|---|---|---| | $\psi([a]) = [2a]$ | $[0]$ | $[2]$ | $[4]$ | $[1]$ | $[3]$ | | $\psi^{-1}(\psi([a])) = [6a]$ | $[0]$ | $[1]$ | $[2]$ | $[3]$ | $[4]$ | 다섯 칸 모두 원래의 $[a]$로 돌아온다 ✓. **복기.** "곱하기 $[c]$" 함수의 역함수는 "곱하기 $[c]^{-1}$"이다 — 38주차의 곱셈 역원(수)이 역함수(함수)로 승격했다. 승격의 조건도 같다: $[c]$가 곱셈 역원을 가질 때에만 그 함수가 전단사다. 41주차 예제 2.3에서 $\mathbb{Z}_4$ 위의 $[2a]$가 단사도 전사도 아니었던 것과 $[2]$가 $\mathbb{Z}_4$에서 역원을 갖지 않는 것은 같은 사실의 두 표현이다. ### 문제 11 **접근.** ①에서 단사는 41주차 문제 8을 인용하고, 전사는 인정하고 쓰는 사실을 근거로 증인 $\sqrt[3]{y}$를 제시한다. ④의 두 검증은 세제곱근의 정의를 양방향으로 읽는 것이며, 짝수 제곱과 달리 절댓값이 끼어들지 않는 이유까지 말하면 완결이다. **풀이.** ① (단사) 41주차 문제 8에서 $x^3$이 단사임을 증명했다. (전사) $y \in \mathbb{R}$이라 하자. 모든 실수는 세제곱근을 가지므로(10주차 문제 10(a)에서 기호로 옮긴 명제이며, 실수의 완비성이 필요하므로 이 교재에서는 존재를 인정하고 쓴다) $x = \sqrt[3]{y}$를 잡을 수 있다. $x$는 실수이므로 정의역에 속하고 $f(x) = (\sqrt[3]{y})^3 = y$이다. 따라서 전단사이고 핵심 정리에 의해 가역이다. ② $y = x^3$에서 $x = \sqrt[3]{y}$이다. ③ $f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$로 둔다. ④ 임의의 실수 $x$에 대해 $f^{-1}(f(x)) = \sqrt[3]{x^3} = x$이다 — $x^3$의 세제곱근은 $x$ 하나뿐이기 때문이며, 그 유일성은 인정 사실이 아니라 41주차 문제 8($x^3$이 단사)에서 따라온다. 임의의 실수 $y$에 대해 $f(f^{-1}(y)) = (\sqrt[3]{y})^3 = y$이다 — 세제곱근의 정의 그대로다. 따라서 $f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$는 $f$의 역함수이다. $\blacksquare$ (검산: $f(-2) = -8$이고 $\sqrt[3]{-8} = -2$ ✓ — 음수에서도 그대로 작동한다.) **복기.** $\sqrt{x^2} = |x|$였던 것(40주차 문제 9)과 대비된다. 짝수 거듭제곱은 부호를 지워 $x$와 $-x$를 같은 값으로 보내므로 단사가 깨지고, 그래서 예제 2.3처럼 정의역 제한이 필요했다. 홀수 거듭제곱은 부호를 보존하므로 제한 없이 전단사이고 절댓값도 끼어들지 않는다(41주차 문제 8의 복기). 지수의 홀짝 하나가 두 사정을 가른다. ### 문제 12 **접근.** 그림은 근거 목록에 없다(§1.8 확인 8의 (나)). 그러므로 답안은 두 부분이어야 한다 — ① 함수가 순서쌍 집합이고 $f^{-1}$이 그 뒤집기라는 정의 인용, ② 두 점 $(a,b)$와 $(b,a)$가 직선 $y=x$에 대해 대칭이라는 좌표 사실의 확인. ②는 중점과 기울기를 계산하면 나온다. **풀이.** 함수는 순서쌍의 집합이고(40주차 정의 40.1), 그래프는 그 집합을 좌표평면에 그린 것이다(40주차 문제 19). 정의 43.1에 의해 $f^{-1}$은 $f$의 모든 순서쌍을 뒤집은 집합이므로 $(a,b) \in f \iff (b,a) \in f^{-1}$이다. 이제 두 점 $(a,b)$와 $(b,a)$가 직선 $y = x$에 대해 대칭임을 확인한다. $a = b$이면 두 점이 일치하고 그 점은 직선 위에 있다. $a \neq b$이면 두 점의 중점 $\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}\right)$은 두 좌표가 같으므로 직선 $y=x$ 위에 있고, 두 점을 잇는 선분의 기울기는 $\frac{a-b}{b-a} = -1$이므로 기울기 1인 직선 $y=x$와 수직이다. 중점이 직선 위에 있고 선분이 직선과 수직이면 두 점은 그 직선에 대해 대칭이다. 따라서 $f$의 그래프의 모든 점을 직선 $y=x$에 대해 대칭이동하면 정확히 $f^{-1}$의 그래프가 된다. $\blacksquare$ (구체 확인: $f(x) = 2x+1$의 그래프 위의 점 $(0,1)$, $(1,3)$을 뒤집으면 $(1,0)$, $(3,1)$이고, 실제로 $f^{-1}(1) = 0$, $f^{-1}(3) = 1$이다 ✓.) **복기.** 고교에서 외운 "역함수의 그래프는 $y=x$ 대칭"이 순서쌍 뒤집기의 기하 번역이었다. 이 문제가 하는 일은 근거가 되지 못하는 관찰(그림)을 근거가 되는 꼴(순서쌍 등식과 좌표 계산)로 옮겨 적는 것이며, 2주차 §1.6에서 나눗셈 계산을 곱 등식으로 옮겨 적었던 것과 같은 작업이다. 내용이 아니라 꼴이 근거의 자격을 정한다. ### 문제 13 **접근.** 계산이 한 줄도 없는 증명이다. 등호 다섯 개짜리 사슬을 만들고 각 등호 위에 근거를 하나씩 얹는 것이 전부이며, 쓸 수 있는 근거는 셋뿐이다 — $\mathrm{id}$의 흡수(42주차 문제 13), 결합법칙(42주차 문제 7), 그리고 $g_1$과 $g_2$의 항등식. **풀이.** $g_1, g_2 : B \to A$가 각각 $g_i \circ f = \mathrm{id}_A$와 $f \circ g_i = \mathrm{id}_B$를 만족한다고 하자. 그러면 $$ g_1 = g_1 \circ \mathrm{id}_B = g_1 \circ (f \circ g_2) = (g_1 \circ f) \circ g_2 = \mathrm{id}_A \circ g_2 = g_2 $$ 이다. 각 등호의 근거는 다음과 같다. | **등호** | **근거** | |---|---| | $g_1 = g_1 \circ \mathrm{id}_B$ | 42주차 문제 13 — $g_1$의 정의역이 $B$이므로 $\mathrm{id}_B$를 뒤에 붙여도 같은 함수다 | | $\mathrm{id}_B = f \circ g_2$ | $g_2$의 항등식(가정)을 대입 — 근거 ③ | | $g_1 \circ (f \circ g_2) = (g_1 \circ f) \circ g_2$ | 합성의 결합법칙 — 42주차 문제 7 | | $g_1 \circ f = \mathrm{id}_A$ | $g_1$의 항등식(가정)을 대입 — 근거 ③ | | $\mathrm{id}_A \circ g_2 = g_2$ | 42주차 문제 13 — $g_2$의 공역이 $A$이므로 $\mathrm{id}_A$가 흡수된다 | 따라서 $g_1 = g_2$이다. $\blacksquare$ **복기.** 두 항등식이 정확히 한 번씩 쓰였다 — $g_2$의 것은 둘째 등호에서, $g_1$의 것은 넷째 등호에서다. 어느 하나가 없으면 사슬이 끊기며, 이것이 특징짓기 정리가 항등식을 양쪽 다 요구하는 또 하나의 이유다. 증명에 등장한 것은 결합법칙과 항등원뿐이고 $f$나 $g_i$의 구체적 성질은 한 번도 쓰이지 않았다 — 26주차의 유일성 서식("둘을 가정하고 같음을 보인다")을 구조만으로 수행한 판이며, 대학 대수학에서 "역원의 유일성"으로 글자 그대로 재등장한다. ### 문제 14 **접근.** 두 길이 있다. 순서쌍 길은 $(a,b) \in (f^{-1})^{-1}$을 정의로 두 번 풀어 쓰는 것이고, 항등식 길은 특징짓기 정리 (ii)를 $f^{-1}$에 적용하는 것이다 — $f$가 그때의 $g$ 자리에 그대로 들어간다. 함수 상등은 순서쌍뿐 아니라 정의역$\cdot$공역까지 확인해야 완결이다(40주차). **풀이.** $f : A \to B$가 전단사라 하자. 핵심 정리에 의해 $f^{-1} : B \to A$가 존재한다. **풀이 1 (순서쌍).** 임의의 $a \in A$, $b \in B$에 대해 $(a,b) \in (f^{-1})^{-1} \iff (b,a) \in f^{-1} \iff (a,b) \in f$이다. 두 동치 모두 역관계의 정의(정의 43.1의 둘째 조각)를 한 번씩 적용한 것이므로 두 순서쌍 집합이 같다. 또 $(f^{-1})^{-1}$의 정의역은 $f^{-1}$의 공역인 $A$이고 공역은 $f^{-1}$의 정의역인 $B$이므로 정의역$\cdot$공역도 $f$와 일치한다. 함수 상등의 세 기준(40주차)을 모두 만족하므로 $(f^{-1})^{-1} = f$이다. $\blacksquare$ **풀이 2 (항등식).** 특징짓기 정리 (i)에 의해 $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A$이고 $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_B$이다. 이 두 등식을 $f^{-1}$의 관점에서 읽으면, $f : A \to B$는 $f^{-1}$에 대해 특징짓기 정리 (ii)의 조건을 만족하는 $g$다. 따라서 $f^{-1}$은 전단사이고 그 역함수는 $f$이다. 곧 $(f^{-1})^{-1} = f$이다. $\blacksquare$ **복기.** 두 번 뒤집으면 제자리인 조작은 이번이 세 번째다 — 이중 부정 $\neg\neg P \equiv P$, 이중 여집합 $(A^c)^c = A$, 그리고 역관계$\cdot$역함수다. 42주차 문제 14의 대합과 헷갈리기 쉬운데, 대합은 $f$ **자신**이 $f^{-1}$과 같은 특수한 경우($f \circ f = \mathrm{id}$)이고 이 문제는 뒤집기라는 **연산**이 두 번이면 제자리라는 일반 사실이다. 풀이 2는 덤으로 "전단사의 역은 전단사"까지 준다 — 48주차에서 크기 같음의 대칭성으로 쓰인다. ### 문제 15 **접근.** 먼저 $(g \circ f)^{-1}$이 존재하는지부터 말해야 한다 — 42주차 보존 정리 (iii)이 그 줄이다. 그다음 후보 $h = f^{-1} \circ g^{-1}$을 잡고 항등식 두 개를 확인한다. 계산은 괄호를 안쪽부터 지워 나가면 되고, 마지막에 유일성(문제 13)이 "후보"를 "역함수"로 바꿔 준다. **풀이.** $f : A \to B$, $g : B \to C$가 전단사라 하자. 42주차 보존 정리 (iii)에 의해 $g \circ f : A \to C$도 전단사이므로 핵심 정리에 의해 $(g \circ f)^{-1}$이 존재한다. 한편 $g^{-1} : C \to B$, $f^{-1} : B \to A$이므로 연결 조건이 맞아 $h = f^{-1} \circ g^{-1} : C \to A$가 만들어진다. 이 $h$가 두 항등식을 만족함을 보인다. $$ h \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ \big((g^{-1} \circ g) \circ f\big) = f^{-1} \circ (\mathrm{id}_B \circ f) = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A $$ $$ (g \circ f) \circ h = g \circ \big((f \circ f^{-1}) \circ g^{-1}\big) = g \circ (\mathrm{id}_B \circ g^{-1}) = g \circ g^{-1} = \mathrm{id}_C $$ 각 단계의 근거는 세 가지뿐이다 — 괄호의 재배치는 결합법칙(42주차 문제 7), $g^{-1} \circ g = \mathrm{id}_B$와 $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_B$는 특징짓기 정리 (i), $\mathrm{id}$의 흡수는 42주차 문제 13이다. $h$가 $g \circ f$에 대한 양쪽 항등식을 모두 만족하므로, 특징짓기 정리 (ii)와 유일성 (iii)에 의해 $h = (g\circ f)^{-1}$이다. 곧 $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$이다. $\blacksquare$ (검산: $A = B = C = \mathbb{R}$, $f(x) = 2x$, $g(x) = x+1$이면 $(g \circ f)(x) = 2x+1$이고 그 역함수는 $\frac{y-1}{2}$이다. $f^{-1}(y) = \frac y2$, $g^{-1}(y) = y-1$이므로 $(f^{-1} \circ g^{-1})(y) = \frac{y-1}{2}$ ✓. 순서를 바꾼 $(g^{-1} \circ f^{-1})(y) = \frac y2 - 1$은 다른 함수다.) **복기.** 유일성이 없으면 이 증명은 "조건을 만족하는 후보가 하나 있다"까지만 말하고 멈춘다. 유일성이 있어야 "그 후보가 곧 역함수"로 닫힌다 — 문제 13을 먼저 푸는 이유다. 이 논증에는 $f$나 $g$의 구체적 성질이 한 번도 쓰이지 않았으므로, 합성과 항등원이 있는 어떤 구조에서도 그대로 성립한다. ### 문제 16 **접근.** 완전제곱 변형 $(x-2)^2 + 1$이 이미 주어져 있다. 그 꼴에서 어디를 잘라야 단사가 되는지(꼭짓점 $x = 2$를 경계로)와 치역이 어디서부터인지($y \ge 1$)가 동시에 읽힌다. 검증에서 $\sqrt{(x-2)^2}$이 나오면 절댓값으로 바꾼 뒤 제한 조건으로 해제한다. **풀이.** 정의역을 $[2, \infty)$로, 공역을 $[1, \infty)$로 제한해 $\tilde f : [2,\infty) \to [1,\infty)$, $\tilde f(x) = (x-2)^2 + 1$을 선언한다. ① (단사) $x, x' \ge 2$이고 $\tilde f(x) = \tilde f(x')$이라 하자. 양변에서 1을 빼면 $(x-2)^2 = (x'-2)^2$이고, $x - 2 \ge 0$이고 $x' - 2 \ge 0$이므로 19주차 문제 17의 대우("음이 아닌 두 실수의 제곱이 같으면 두 수가 같다")에 의해 $x - 2 = x' - 2$, 곧 $x = x'$이다. (전사) $y \ge 1$이라 하자. $y - 1 \ge 0$이므로 $\sqrt{y-1}$이 정의되고 음이 아니다. $x = 2 + \sqrt{y-1}$을 잡으면 $x \ge 2$이므로 정의역에 속하고, $\tilde f(x) = (\sqrt{y-1})^2 + 1 = (y-1)+1 = y$이다. 따라서 $\tilde f$는 전단사이고 핵심 정리에 의해 가역이다. ② $y = (x-2)^2 + 1$에서 $(x-2)^2 = y-1$이고, $x - 2 \ge 0$이므로 $x - 2 = \sqrt{y-1}$, 곧 $x = 2 + \sqrt{y-1}$이다. ③ $\tilde f^{-1}(y) = 2 + \sqrt{y-1}$로 둔다. ④ $\tilde f^{-1}(\tilde f(x)) = 2 + \sqrt{(x-2)^2} = 2 + |x-2| = 2 + (x-2) = x$이다($x \ge 2$이므로 절댓값이 해제된다 — 40주차 문제 9). $\tilde f(\tilde f^{-1}(y)) = (\sqrt{y-1})^2 + 1 = y$이다(전사 계산 그대로). $\blacksquare$ (검산: $\tilde f(5) = 9 + 1 = 10$이고 $\tilde f^{-1}(10) = 2 + 3 = 5$ ✓.) 왼쪽 가지를 골라 $\tilde f : (-\infty, 2] \to [1,\infty)$로 제한해도 된다. 그때는 $x - 2 \le 0$이므로 $x - 2 = -\sqrt{y-1}$이고 $\tilde f^{-1}(y) = 2 - \sqrt{y-1}$이 된다 — 제한의 선택은 하나가 아니고, 선택이 달라지면 역함수도 달라진다. **복기.** 완전제곱 변형이 먼저다. 꼭짓점 $(2,1)$이 드러나야 어디서 잘라야 단사가 되는지와 치역이 어디부터인지가 한꺼번에 보인다. 예제 2.3($x^2$, 꼭짓점 $(0,0)$)과 이 문제는 꼭짓점의 위치만 다른 같은 작업이다. ### 문제 17 **접근.** 원소가 하나뿐인 집합에서 시작하면 확인할 것이 거의 없다. $A = \{1\}$이면 $g \circ f = \mathrm{id}_A$는 등식 한 개짜리 검산으로 끝난다. 그다음 반대쪽 항등식이 실제로 깨지는 입력을 하나 제시하면 설명이 완결된다. **풀이.** $A = \{1\}$, $B = \{1, 2\}$로 두고 $f : A \to B$를 $f(1) = 1$로, $g : B \to A$를 $g(1) = g(2) = 1$로 정의한다. (검증 1: $g \circ f = \mathrm{id}_A$) $A$의 원소는 1뿐이고 $(g\circ f)(1) = g(f(1)) = g(1) = 1 = \mathrm{id}_A(1)$이므로 두 함수는 모든 입력에서 값이 같고 정의역$\cdot$공역도 같다. 따라서 $g \circ f = \mathrm{id}_A$이다. (검증 2: $f$는 전단사가 아니다) $2 \in B$에 대해 $f(a) = 2$인 $a \in A$가 없다 — $A$의 유일한 원소 1에서 $f(1) = 1 \neq 2$이기 때문이다. 따라서 $f$는 전사가 아니고, 전단사가 아니므로 핵심 정리에 의해 역함수가 없다. 실제로 반대쪽 항등식이 깨진다: $(f \circ g)(2) = f(1) = 1 \neq 2 = \mathrm{id}_B(2)$이므로 $f \circ g \neq \mathrm{id}_B$이다. **설명.** 한쪽 항등식 $g \circ f = \mathrm{id}_A$가 주는 것은 42주차 문제 17대로 "$f$는 단사, $g$는 전사"뿐이다. 이 예에서도 $f$는 단사이고($A$의 원소가 하나뿐이므로 자동으로 성립) $g$는 전사다($1 \in A$가 $g(1)$로 도달된다). 빠진 것은 $f$의 전사성이며, 그것을 주는 것이 반대쪽 항등식 $f \circ g = \mathrm{id}_B$다 — 같은 정리를 $f \circ g$에 적용하면 $g$는 단사, $f$는 전사가 된다. 특징짓기 정리가 조건을 두 개 요구하는 이유가 이것이다. $\blacksquare$ **복기.** 이 반례가 §1.8 확인 8의 (가)가 왜 불허인지의 실물이다. 검증 ④에서 한쪽 항등식만 적은 답안은 이 반례와 구별되지 않으므로 미완결이다. ### 문제 18 **접근.** 답안의 후보는 $g(x) = x$다. 검증이란 그 후보를 **그대로 합성**하는 것이므로 $g(f(x))$를 계산해야 하는데, 답안이 계산한 것은 $\frac{1}{f(x)}$다. 두 식이 우연히 같은 값을 냈을 뿐이다. 진짜 역함수는 훈련 2와 같은 구조로 나온다. **풀이.** **결함 ①: 기호 $^{-1}$의 두 용법 혼동.** $f^{-1}$은 합성에 대한 역, 곧 역함수이고(정의 43.1) $\frac{1}{f}$는 값의 역수다. 답안은 "역함수는 뒤집은 것"이라는 말을 값의 역수로 옮겨 $f^{-1}(x) = \frac{1}{f(x)}$라고 적었다. 계산 $\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{1/x} = x$ 자체는 맞다. 그러나 이 계산이 말해 주는 것은 $f(f(x)) = x$, 곧 $f$가 대합이라는 사실이지(42주차 문제 14) $f^{-1}(x) = x$가 아니다. 진짜 역함수는 다음과 같이 나온다. $g = f$로 두면 임의의 $x \neq 0$에 대해 $(f \circ f)(x) = \frac{1}{1/x} = x$이므로 $f \circ f = \mathrm{id}$이고, 특징짓기 정리 (ii)에 의해 $f$는 전단사이며 $f^{-1} = f$, 곧 $f^{-1}(x) = \frac1x$이다 — 답안이 적은 $x$가 아니다. **결함 ②: 검증이 검증이 아니다.** 검증은 후보 $g$를 그대로 합성해 $g(f(x))$와 $f(g(x))$를 계산하는 절차인데, 답안은 $\frac{1}{f(x)}$를 계산했다. 후보 $g(x) = x$로 제대로 검증하면 $g(f(x)) = g\left(\frac1x\right) = \frac1x$이고, $x = 2$에서 $\frac12 \neq 2$이므로 즉시 실패한다. 게다가 한쪽만 확인했다 — 특징짓기 정리는 양쪽을 요구하며, 한쪽으로 부족한 이유가 문제 17의 반례다. **복기.** 두 결함의 뿌리는 하나다 — 기호를 계산 규칙으로만 읽고 정의로 돌아가지 않은 것이다. 검증 단계는 바로 이런 착오를 잡으라고 있는 절차이며(25주차 무연근 검산과 같은 자리), 절차의 형식만 흉내 내면 착오를 그대로 통과시킨다. 검증에서 무엇을 합성해야 하는지를 정의로 확인하는 것이 ④의 실질이다. ### 문제 19 **접근.** 실수에서 $3a + 2 = y$를 푸는 순서 그대로다 — 먼저 $[2]$를 옮기고 그다음 $[3]$을 없앤다. 다만 $\mathbb{Z}_7$에는 나눗셈이 없으므로 "$[3]$으로 나누기"는 "$[5]$를 곱하기"로 수행한다. 계수를 0 이상 6 이하로 줄여 적는 것까지가 답안이다. **풀이.** ① (자격 심사) $[3][5] = [15] = [1]$이므로 $[5]$가 $[3]$의 곱셈 역원이다(38주차 문제 9, 39주차 문제 13). (단사) $f([a]) = f([a'])$이라 하자. $[3a+2] = [3a'+2]$의 양변에서 $[2]$를 빼면 $[3a] = [3a']$이고, 양변에 $[5]$를 곱하면 $[15a] = [15a']$, 곧 $[a] = [a']$이다($15 \equiv 1 \pmod 7$). (전사) $[y] \in \mathbb{Z}_7$이라 하자. $[a] = [5(y-2)]$를 잡으면 $f([a]) = [3 \cdot 5(y-2) + 2] = [15(y-2) + 2] = [(y-2)+2] = [y]$이다. 따라서 $f$는 전단사이고 핵심 정리에 의해 가역이다. ② $[y] = [3a+2]$에서 $[3a] = [y-2]$이고, 양변에 $[5]$를 곱하면 $[a] = [15a] = [5(y-2)] = [5y - 10] = [5y + 4]$이다($-10 \equiv 4 \pmod 7$). ③ $f^{-1}([y]) = [5y+4]$로 둔다. (잘 정의됨) $[y] = [y']$이면 $7 \mid (y - y')$이므로 $7 \mid 5(y-y')$, 곧 $[5y+4] = [5y'+4]$이다. ④ $f^{-1}(f([a])) = [5(3a+2)+4] = [15a + 14] = [a]$이고($15 \equiv 1$, $14 \equiv 0 \pmod 7$), $f(f^{-1}([y])) = [3(5y+4)+2] = [15y + 14] = [y]$이다. 따라서 $f^{-1}([y]) = [5y+4]$는 $f$의 역함수이다. $\blacksquare$ (검산: $f([1]) = [5]$이고 $f^{-1}([5]) = [29] = [1]$ ✓ — $29 = 4 \times 7 + 1$이다.) **복기.** $\mathbb{Z}_7$은 법이 소수라 $[0]$이 아닌 모든 방이 곱셈 역원을 가지고(39주차 문제 13), 그래서 일차식 $[3a+2]$가 실수에서처럼 풀린다. 법이 소수가 아니면 사정이 달라진다 — $\mathbb{Z}_4$에서 $[2a]$는 역원이 없어 전단사가 아니다(41주차 예제 2.3). 문제 10과 이 문제를 나란히 놓으면 "일차함수 $[ca + d]$가 가역일 조건은 $[c]$가 곱셈 역원을 가질 조건"임이 보인다. ### 문제 20 **접근.** (a)는 §1.6에서 ①과 ④가 각각 무엇을 막는지를 두 문장으로 압축한다 — ①이 없으면 후보가 함수가 아닐 수 있고, ④가 없으면 계산 착오가 걸러지지 않는다. (b)는 §1.7 확인 7의 연결 조건 논증을 사례로 바꿔 적는다. **풀이.** (예시 답안) (a) 자격 심사(①)가 없으면 "푼 식"이 함수라는 보장이 없다 — 전사가 아니면 값이 정의되지 않는 입력이 생기고 단사가 아니면 한 입력에 후보 값이 둘 생겨, 역관계가 함수가 되지 못한다(핵심 정리). 검증(④)이 없으면 "$x$에 대해 풀었다"와 "그 식이 역함수다" 사이의 간격이 남는다 — 풀이 도중의 계산 착오와 비동치 변형(제곱 등, 25주차 무연근)을 걸러 주는 것이 두 항등식이며, 그것이 특징짓기 정리가 요구하는 완결 조건이다. (b) 일상 사례: 양말을 신고 신발을 신었다면 벗을 때는 신발부터 벗는다 — 나중에 한 일을 먼저 되돌린다. 수학 사례: $h(x) = 2x+1$은 $f(x) = 2x$를 적용한 뒤 $g(x) = x+1$을 적용한 것, 곧 $h = g \circ f$다. 되돌리기는 $g^{-1}(y) = y - 1$을 먼저, $f^{-1}(y) = \frac y2$를 나중에 적용해 $h^{-1}(y) = \frac{y-1}{2} = (f^{-1} \circ g^{-1})(y)$가 된다. 순서를 바꾼 $g^{-1} \circ f^{-1}$을 계산하면 $\frac y2 - 1$이고, $h(1) = 3$인데 $\frac 32 - 1 = \frac12 \neq 1$이므로 역함수가 아니다. **복기.** (b)의 순서 뒤집힘은 취향이 아니라 연결 조건이 강제한 결과다(§1.7 확인 7) — $f^{-1} : B \to A$와 $g^{-1} : C \to B$를 $C$에서 출발해 이어 붙일 수 있는 순서는 하나뿐이다. 진술을 잊었을 때 화살표만 그려 보면 순서가 복원된다. --- **다음 주 예고.** 9부의 마무리로 상 $f(X)$와 원상 $f^{-1}(Y)$를 다룬다. 특히 원상 기호 $f^{-1}(Y)$는 **역함수가 없어도 정의된다**는 것이 최대 함정이다 — 이번 주의 기호 $f^{-1}$과 글자가 같지만 다른 대상이며, $f(x) = x^2$처럼 역함수가 없는 함수에서도 $f^{-1}(\{4\}) = \{2, -2\}$는 멀쩡한 집합이다. 상$\cdot$원상이 $\cup$, $\cap$과 어떻게 어울리는지(하나는 반쪽만 성립한다)를 증명하고, 9부 백지 시험으로 함수 부분을 수료한다.