# 40주차 — 함수의 엄밀한 정의 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 함수는 규칙이 아니라 순서쌍의 집합이다 — "모든 입력에 정확히 하나의 출력"이라는 조건을 만족하는 관계. **이 주의 위치**: 50주 과정의 40주차. 9부(함수)의 첫 주다. 36~39주차에서 쌓은 관계 위에 조건 하나($\exists!$)를 얹어 함수를 정의하고, 중2~고1에서 배운 '함수'를 다시 세운다. 26주차의 $\exists!$와 38주차의 잘 정의됨이 여기서 다시 일한다. **원서 대응**: BoP(Book of Proof) 12.1 (Functions), 12.2 도입부 — 병행자 참고용이고, 이 교재는 원서 없이 읽을 수 있다. ::: ## 이번 주 목표 1. 함수의 집합론적 정의($f \subseteq A \times B$ + $\exists!$ 조건)를 백지에 쓰고, 각 조각이 무엇을 막는지 설명할 수 있다. 1. 정의역$\cdot$공역$\cdot$치역을 구분하고, 치역을 **집합 상등 증명**(양방향 포함)으로 계산할 수 있다. 1. 함수 상등의 세 기준을 쓰고, "같은 식이라도 정의역이 다르면 다른 함수"를 판정할 수 있다. 1. 전체성$\cdot$유일성 위반을 순서쌍 수준에서 지목하고, $\mathbb{Z}_n$ 위의 규칙에 잘 정의됨 검문을 적용할 수 있다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (39주차 복습) 1. 관계의 정의를 쓰시오 — $A$에서 $B$로의 관계 $R$은 무엇의 부분집합인가. 1. $\exists!\, x,\ P(x)$가 요구하는 두 의무를 각각 쓰시오 (26주차 정의 26.4). 1. 39주차 문제 19에서 $h([a]) = [2^a]$가 잘 정의되지 않았음을 보이는 반례를 하나 제시하시오 (39주차와 다른 이름 쌍이어도 좋다). (거듭제곱이 정수가 되도록, 이 규칙에서 대표원은 음이 아닌 정수로 잡는다.) :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown **1.** $R \subseteq A \times B$ — 곱집합의 부분집합이다(6주차의 $A \times B$, 36주차의 관계). 관계는 그림이나 화살표가 아니라 순서쌍들의 **집합**이다. **2.** 존재("$P(x)$인 $x$가 적어도 하나 있다")와 유일("그런 $x$가 둘이면 사실은 같다"). 두 의무는 서로 독립이므로 각각 따로 증명해야 한다. **3.** $\mathbb{Z}_4$에서 $[0] = [4]$이다(같은 방의 두 이름). 그런데 $2^0 = 1$이므로 $[2^0] = [1]$이고, $2^4 = 16 = 4 \cdot 4$이므로 $[2^4] = [0]$이다. $[1] \neq [0]$이므로 같은 입력에 두 출력이 나온다. (39주차 해설은 $[1] = [5]$ 쌍을 썼다 — $h([1]) = [2]$이고 $h([5]) = [32] = [0]$이다. 반례는 이름 쌍을 어떻게 잡아도 된다.) ::: ### 자주 나오는 세 가지 답 — 3번 문항 방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 값 하나만 계산.** $h([0]) = [1]$까지 적고 멈춘다. 계산은 옳다. 빠진 것은 **두 번째 이름**이다 — 한 값만으로는 "같은 입력에 두 출력"이라는 문장 자체가 만들어지지 않으므로, 잘 정의되지 않음을 보이려면 이름 두 벌이 반드시 필요하다. - **유형 2 — 크기로 설명.** "$2^a$는 $a$가 커지면 무한히 커지니까 안 된다"고 적는다. 지수가 빠르게 커진다는 관찰은 사실이지만 크기는 판정 기준이 아니다 — 무대가 $\mathbb{Z}_4$이므로 아무리 큰 수도 방 네 개 중 하나에 들어간다. 실제로 문제 16에서 같은 지수 꼴인데 **잘 정의되는** 규칙을 만난다. - **유형 3 — 정수 세계에서 비교.** $2^0 = 1 \neq 16 = 2^4$이라고 적고 끝낸다. 두 이름을 잡은 것까지는 정확하다. 빠진 것은 마지막 한 걸음이다 — 비교할 것은 정수 $1$과 $16$이 아니라 **방** $[1]$과 $[16]$이고, 그 둘이 다른 방임을 확인해야 반례가 닫힌다. ## 개념 — 관계 위에 조건 하나 ### 1 "대응 규칙"만으로 판정하려다 막히는 자리 중2에서 배운 함수는 "$x$가 정해지면 $y$가 하나 정해지는 대응 규칙"이었다. 이 말만으로 다음 두 규칙을 판정해 보자. :::{admonition} 시도 — 규칙의 생김새로 판정하기 :class: quotebox $\mathbb{Z}_4$ 위의 두 규칙: $$ g([a]) = [a^2], \qquad h([a]) = [2^a] $$ "둘 다 $[a]$를 넣으면 값이 하나 나온다. 그러므로 둘 다 함수이다." (거듭제곱이 정수가 되도록, $h$에서는 대표원을 음이 아닌 정수로 잡는다. $g$는 임의의 정수 대표원에 대해 뜻을 가진다.) ::: 여기서 멈춰야 한다. 준비 운동 3번에서 확인한 대로 $h$는 함수가 아니고 $g$는 함수인데(39주차 문제 19(a)), 두 규칙은 생김새가 똑같다 — 대괄호 안에 $a$의 식이 들어간 꼴이다. 문제는 "규칙"이라는 말이 집합이 아니라는 데 있다. 집합이 아니면 원소를 셀 수도, 두 개가 같은지 비교할 수도, 조건을 검사할 수도 없다. :::{container} quotebox **확인 1.** 위의 $h$를 순서쌍의 집합으로 적으면 어떤 순서쌍들이 들어가는가. $[0]$이라는 입력에서 나오는 순서쌍을 두 개 적어 보자: $([0], \underline{\quad})$와 $([0], \underline{\quad})$. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $([0], [1])$과 $([0], [0])$. 앞의 것은 대표원 $0$으로, 뒤의 것은 대표원 $4$로 계산한 결과다($[0] = [4]$이므로 입력은 같다). 순서쌍으로 적는 순간 두 순서쌍이 나란히 놓이고, 규칙이라는 말로는 보이지 않던 "한 입력에 출력 둘"이 **눈에 보이는 조건**이 된다. ::: :::{admonition} 이 주 전체의 기준 :class: quotebox 함수의 자격은 규칙의 생김새가 아니라, 그 규칙이 만드는 **순서쌍 집합**이 조건을 만족하는지로 판정한다. 그러므로 함수는 관계의 일종으로 정의한다. ::: ### 2 순서쌍을 세어 보기 — 정의를 만들어 보기 $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{5, 7\}$로 두고, $A$에서 $B$로의 관계 네 개를 놓는다. 각 관계에서 **입력마다 순서쌍이 몇 개씩 있는지** 세어 표를 채워 보자. | **관계** | **입력 1의 개수** | **입력 2의 개수** | **입력 3의 개수** | **중2 기준 함수인가** | |---|---|---|---|---| | $S_1 = \{(1,5), (2,5), (3,7)\}$ | $1$ | $1$ | $1$ | 예 | | $S_2 = \{(1,5), (2,7)\}$ | $1$ | $1$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad}$ | | $S_3 = \{(1,5), (1,7), (2,5), (3,7)\}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | $1$ | $1$ | $\underline{\quad}$ | | $S_4 = \{(1,7), (2,7), (3,7)\}$ | $1$ | $1$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | $\underline{\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 2.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 함수인 행과 아닌 행을 가르는 조건을 **개수**의 언어로 한 문장으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $0$ — 아니오. (2) $2$ — 아니오. (3) $1$ — 예. 가르는 조건: **모든 입력에서 개수가 정확히 1일 때에만 함수다.** $0$이면 출력이 없어서 탈락하고, $2$이면 어느 것이 값인지 정해지지 않아 탈락한다. $S_4$처럼 출력이 겹쳐도 개수는 각각 1이므로 통과한다 — 조건은 **입력** 쪽에만 걸려 있다. ::: "개수가 정확히 하나"는 26주차에서 이미 이름을 붙여 둔 조건이다: $\exists!$. 이 관찰에 정식 이름과 형식을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 센 것을 문장으로 굳혔을 뿐이다. ### 정의 40.1 — 함수 (function) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 집합 $A$에서 $B$로의 **함수** $f$란, 다음 조건을 만족하는 관계 $f \subseteq A \times B$이다: $$ \text{모든 } a \in A \text{에 대해, } (a, b) \in f \text{인 } b \in B \text{가 유일하게 존재한다 } (\exists!) $$ 이때 $f : A \to B$로 쓰고, $(a, b) \in f$인 유일한 $b$를 $f(a)$로 표기한다. $A$를 **정의역**(domain), $B$를 **공역**(codomain)이라 한다. ::: 기호 $f : A \to B$는 "에프는 에이에서 비로 가는 함수"로 읽고, $f(a)$는 "에프 에이" 로 읽는다. 화살표 $\to$는 정의역에서 공역으로 가는 방향을 가리킨다. 읽는 법까지가 정의다. $f(a)$라는 표기가 성립하는 근거도 정의 안에 들어 있다 — "유일하게"가 없으면 $f(a)$는 여러 값 중 어느 것인지 정해지지 않아 표기 자체가 무의미해진다. 함수의 **선언**은 세 정보로 이루어진다 — 정의역 $A$, 공역 $B$, 그리고 순서쌍 집합 $f \subseteq A \times B$. 정의 40.1의 $f$는 그중 셋째이고, 앞의 둘은 $f : A \to B$라는 표기가 함께 싣고 있다. 그러므로 두 함수의 상등은 이 세 정보의 상등이며, 그 기준을 §1.6에서 정리한다. ### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일 이 한 문장은 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 판정에서 맡는 역할이 다르다. | **조각** | **하는 일** | **판정에서의 역할** | |---|---|---| | "관계 $f \subseteq A \times B$이다" | 무대의 선언 | 함수는 집합이다 — 원소를 세고, 순서쌍의 목록을 집합 상등으로 비교한다 | | "모든 $a \in A$에 대해" | 요구를 입력 전체에 건다 | 입력이 하나라도 빠지면 탈락(전체성) | | "$b \in B$가 존재한다" | 출력의 존재와 소속 | 출력은 반드시 **공역 안**에 있어야 한다 | | "유일하게" | 출력의 단일성 | 한 입력에 출력이 둘이면 탈락(유일성). $f(a)$ 표기의 근거 | **조각 삭제 실험 1.** 넷째 조각의 "유일하게"를 지워 보자. 그러면 위 표의 $S_3$도 함수가 되고, $f(1)$이 $5$인지 $7$인지 정해지지 않는다. :::{container} quotebox **확인 3.** "유일하게"를 지우는 순간 정확히 무엇이 무너지는가? ($S_3$만의 문제인지, $f(1)$이라는 표기는 어떻게 되는지 함께 생각해 보자.) ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $f(a)$라는 **표기 전체**가 무너진다. $f(1)$이 두 값 중 어느 것을 가리키는지 정해지지 않으므로 "$f(1) + f(2)$" 같은 식은 값을 갖지 못하고, 이후의 모든 계산이 성립하지 않는다. 그 확정을 주는 조각이 정확히 "유일하게"다. ::: **조각 삭제 실험 2.** 둘째 조각의 "모든"을 "어떤"으로 바꿔 보자. :::{container} quotebox **확인 4.** "모든"을 "어떤"으로 바꾸면 $S_2$의 판정과 정의역이라는 말은 각각 어떻게 되는가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $S_2$도 함수가 되고, $f(3)$이 없는데도 $f : A \to B$라고 선언할 수 있게 된다. 그러면 정의역이라는 말이 아무것도 가리키지 못한다 — $A$를 정의역이라 부르는 이유가 $A$의 원소 전부가 입력으로 쓰인다는 데 있기 때문이다. 실제로는 그럴 때 정의역을 "출력이 있는 부분"으로 줄여 잡는다(문제 12의 수리법). ::: ### 4 두 조건에 이름 붙이기 — 전체성과 유일성 $\exists!$는 26주차에서 두 의무로 쪼갠 기호다. 함수 정의에서도 그대로 쪼갠다. | **이름** | **조건** | **위반의 모습** | |---|---|---| | **전체성**(totality) | 모든 $a \in A$에 대해 $(a, b) \in f$인 $b$가 **적어도 하나** | 입력 $a$의 순서쌍이 하나도 없다 | | **유일성**(single-valued) | 그런 $b$가 **많아야 하나** | $(a, b)$와 $(a, b')$이 공존하고 $b \neq b'$ | :::{container} quotebox **확인 5.** 위 표의 $S_2$와 $S_3$은 각각 어느 조건을 어겼는가. 그리고 그 조건은 $\exists!$의 두 의무 중 어느 쪽에 해당하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $S_2$는 전체성 위반(입력 3의 순서쌍 부재) — $\exists!$의 **존재** 의무 쪽이다. $S_3$은 유일성 위반($(1,5)$와 $(1,7)$ 공존) — $\exists!$의 **유일** 의무 쪽이다. 두 의무가 독립이므로 위반도 각각 따로 일어나고, 둘 다 어기는 관계도 있다. ::: **수직선 테스트의 정체.** 고1에서 "세로선이 그래프와 두 번 만나면 함수가 아니다"라고 배운 규칙은 위 두 조건의 기하 번역이다. 세로선 $x = c$와의 교점 개수가 곧 입력 $c$의 순서쌍 개수이므로, 교점이 둘 이상이면 유일성 위반이고 하나도 없으면 전체성 위반이다. 새 규칙이 아니라 §1.2에서 센 개수를 눈으로 세는 방법이다. :::{container} quotebox **확인 6.** $\mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로의 관계 $\{(x, y) : y = x^3\}$을 세로선의 언어로 판정해 보자. 임의의 실수 $c$에 대해 세로선 $x = c$와의 교점은 몇 개인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 정확히 한 개 — 점 $(c, c^3)$뿐이다. 실수 $c$마다 $c^3$은 하나로 확정되므로 개수가 $1$이고, 모든 $c$에서 그러하므로 두 조건을 모두 통과한다. 함수다. ::: ### 5 정의역·공역·치역 — 선언된 범위와 실제 출력 정의 40.1은 $A$와 $B$의 이름만 정했다. 실제로 출력되는 값들의 집합에는 따로 이름이 필요하다. ### 정의 40.2 — 치역 (range) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 함수 $f : A \to B$에 대해, $f$의 **치역**은 $$ f(A) = \{f(a) : a \in A\} \subseteq B $$ — 실제로 출력되는 값 전부의 집합이다. 언제나 **치역 $\subseteq$ 공역**이며, 일반적으로 둘은 같지 않다. ::: 기호 $f(A)$는 "에프 오브 에이"로 읽는다. 괄호 안에 원소가 들어간 $f(a)$와 집합이 들어간 $f(A)$는 다른 대상이다 — 앞의 것은 공역의 **원소**이고, 뒤의 것은 공역의 **부분집합**이다. 공역은 함수를 선언할 때 "출력이 이 집합 안에 있다"고 미리 정해 둔 범위이고, 치역은 실제로 출력되는 값 전부의 집합이다. 선언은 넉넉하게 해도 되므로 둘이 갈릴 수 있다. :::{container} quotebox **확인 7.** $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(n) = 2n$의 치역을 조건제시법으로 적어 보자: $f(\mathbb{Z}) = \{\underline{\qquad}\}$. 공역과 같은가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $f(\mathbb{Z}) = \{2k : k \in \mathbb{Z}\}$ — 짝수 전체다(정의 1.1의 꼴 그대로). 공역은 $\mathbb{Z}$이므로 같지 않다. 홀수는 공역에는 있지만 치역에는 없다. 치역과 공역이 언제 일치하는가는 41주차의 **전사**가 다루는 주제다. ::: ### 6 함수의 상등 — 기준이 세 개인 이유 정의 40.1 뒤에서 확인한 대로 함수의 선언은 세 정보(정의역, 공역, 순서쌍 집합)로 이루어지므로, 두 함수의 상등도 이 세 정보의 상등이다. 셋째 정보인 순서쌍 집합의 상등은 집합 상등(3주차)이고, 정의역이 같을 때 그것은 "모든 입력에서 값이 일치한다"와 같은 말이다 — 곧 아래 기준의 셋째에 해당한다. 공역은 순서쌍만 봐서는 복원되지 않는다 — 정의역이 $\mathbb{Z}$이고 $f(n) = 2n$인 함수는 공역을 $\mathbb{Z}$로 선언하든 짝수 전체의 집합 $E$로 선언하든 순서쌍 집합이 똑같다. 공역이 기준에 따로 들어가는 것은 조건을 하나 더 얹기 때문이 아니라 애초에 선언의 일부이기 때문이다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **함수의 상등** $f = g$ $\iff$ 정의역이 같고, 공역이 같고, 정의역의 모든 $a$에 대해 $f(a) = g(a)$이다. ::: 따름. **식이 같아도 정의역이 다르면 다른 함수다** — 정의역이 달라지면 순서쌍의 목록 자체가 달라진다. 거꾸로 **식이 달라 보여도 같은 함수일 수 있다** — 식의 생김새는 기준 세 개에 들어 있지 않기 때문이다(문제 9). :::{container} quotebox **확인 8.** $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$과 $g : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x^2$은 같은 함수인가. 세 기준 중 어느 것부터 검사하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 다른 함수다. 첫째 기준(정의역)에서 이미 갈린다 — $\mathbb{R} \neq \mathbb{N}$이다. 순서쌍으로 확인해도 같은 결론이 나온다: $(-1, 1) \in f$이지만 $-1 \notin \mathbb{N}$이므로 $(-1, 1) \notin g$이다. 값 비교($f(x) = g(x)$)는 정의역이 같은 뒤에나 할 일이므로, 검사는 언제나 **정의역 $\to$ 공역 $\to$ 값**의 순서로 한다. ::: ### 7 $\mathbb{Z}_n$ 위의 함수 — 잘 정의됨 검문이 다시 필요한 자리 정의역의 원소가 동치류일 때는 사정이 하나 더 있다. 입력 하나에 이름이 여러 개 붙어 있기 때문이다($[0] = [4] = [8] = \cdots$). "대표원을 골라 계산한다"는 규칙은 고른 대표원에 따라 답이 갈릴 수 있고, 갈리는 순간 한 입력에 두 출력이 된다. 따라서 $\mathbb{Z}_n$ 위의 규칙은 **잘 정의됨 검문**(38주차 정의 38.2)을 통과해야 비로소 함수 자격을 얻는다. 절차는 38주차의 왕복 서식 그대로다: ① 이름 두 벌을 잡는다 $\to$ ② 합동으로 번역한다 $\to$ ③ (C4)/(C5) 등으로 보존을 확인한다 $\to$ ④ 방의 언어로 역번역한다. :::{container} quotebox **확인 9.** 준비 운동 3번의 $h([a]) = [2^a]$가 함수가 아니라는 결론을, 정의 40.1의 **어느 조각**을 어겼다고 말해야 하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "유일하게"를 어겼다 — 유일성 위반이다. $[0]$과 $[4]$는 표기만 다른 **같은 입력**이므로, $([0], [1])$과 $([0], [0])$이 둘 다 $h$에 들어가는 것이 되어 한 입력에 출력이 둘이다. 잘 정의됨 검문은 새 조건이 아니라 이름이 여러 개인 세계에서 유일성 조건을 확인하는 절차다(문제 20(b)가 이 문장을 직접 쓰는 자리다). ::: ### 8 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개 증명에서 쓸 수 있는 것은 여전히 네 칸이다. 늘어나는 것은 칸이 아니라 내용물이다. | **근거** | **내용** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | 1~39주차의 정의 전부 + **정의 40.1(함수), 40.2(치역), 함수 상등의 세 기준** | "$y \in f(A)$"를 "$y = f(a)$인 $a \in A$가 존재"로 푼다 | | ② 닫힘성 | 정수의 합$\cdot$차$\cdot$곱은 정수 | "$2k+1$의 $k$는 정수이므로"를 별도 설명 없이 쓴다 | | ③ 등식의 성질 | 대입 / 전개 / 묶기 / 양변에 같은 것을 연산 | $y = \frac{x+1}{x-2}$의 양변에 $x - 2$를 곱해 $x$에 관해 푼다 | | ④ 이미 증명한 명제 | 27주차의 집합 상등 서식, 37주차 문제 8(분할 정리), 37주차 핵심 정리, 20주차 (C1)~(C5), 38주차 정의 38.2(잘 정의됨), 31주차 문제 13(거듭제곱 보존), 25주차 문제 17(합동 mod 2와 홀짝), 17주차 나눗셈 정리, 16주차 §1.2 인정 사실(제곱근의 존재와 유일), 16주차 (W1)(모든 실수 $x$에 대해 $x^2 \ge 0$), 12주차 곱셈 원리 + **이번 주의 예제와 문제** | "분할 정리에 의해 $n$이 속하는 동치류는 하나뿐이다"가 문제 13의 표준 문구다 | 목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 **그래프의 모양**은 목록에 없다 — "그려 보니 세로선과 한 번 만난다"는 관찰은 "$(c, b)$와 $(c, b')$이 둘 다 관계에 속하면 $b = b'$이다"라는 순서쌍 문장으로 바꿔 적어야 근거가 된다. :::{container} quotebox **확인 10.** 어떤 답안에 다음 세 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) "$y \in f(\mathbb{Z})$이므로 $y = f(n)$인 정수 $n$이 존재한다." (나) "그래프를 그려 보니 예쁜 곡선이므로 함수이다." (다) "$[a] = [a']$이므로 37주차 핵심 정리에 의해 $a \equiv a' \pmod n$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 허용 — 근거 ① 정의. 정의 40.2를 그대로 푼 것이다. (나) 불허 — 그림의 인상은 목록 밖이다. 같은 내용을 세로선의 교점 개수로, 다시 순서쌍의 개수로 바꿔 적으면 근거 ①이 되어 허용된다. (다) 허용 — 근거 ④. 37주차에서 증명이 끝난 정리이므로 이름으로 인용한다. ::: 정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 문장만 외우지 말고 §1.3의 조각별 이유와 함께 외운다. 조각을 잊어도 이유에서 재구성할 수 있다.