# 37주차 — 동치관계와 동치류

:::{admonition} 이 주의 길잡이
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**핵심 문장**: 같음의 기준을 느슨하게 잡으면, 무대는 겹침 없는 조각들로 나뉜다.

**이 주의 위치**: 50주 과정의 37주차. 8부(관계)의 둘째 주다. 36주차에서 세 칸(반사$\cdot$대칭$\cdot$추이)이 모두 ✓였던 관계들에 이름이 붙고, 그 관계가 무대를 자르는 방식이 정리로 확정된다.

**원서 대응**: BoP(Book of Proof) 11.3 (Equivalence Relations and Equivalence Classes) — 병행자 참고용이고, 이 교재는 원서 없이 읽을 수 있다.
:::

## 이번 주 목표

1. 동치관계$\cdot$동치류$\cdot$분할의 **정의**를 백지에 쓰고, 각 조각이 어느 정리의 어느 줄에서 쓰이는지 지목할 수 있다.
1. **핵심 정리** $x\,R\,y \iff [x] = [y]$와 그 따름정리("두 동치류는 같거나 서로소")를 처음부터 끝까지 재현할 수 있다.
1. 동치류 전체가 **분할**을 이룸을 증명하고, 역방향(분할 $\to$ 동치관계)도 증명할 수 있다.
1. 유리수가 순서쌍들의 동치류라는 것을 동치류 계산으로 확인한다.

본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

## 준비 운동 (36주차 복습)

1. 반사적$\cdot$대칭적$\cdot$추이적의 정의(정의 36.2)를 백지에 쓰시오.
1. $\mathbb{Z}$ 위의 $\equiv \pmod 3$이 세 성질을 모두 가짐을, 20주차 (C1)~(C3)을 근거로 밝히시오.
1. "대칭적이고 추이적이면 반사적이다"(36주차 문제 15)가 거짓인 이유를 한 문장으로 쓰고, 반례를 하나 제시하시오.

답을 노트에 적어 둔다. 3번의 반례가 이번 주 §1.2의 조각 삭제 실험에서 그대로 다시 쓰인다.

### 자주 나오는 세 가지 답 — 3번 문항

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

- **유형 1 — 판정만 적기.** "그 논증은 틀렸다"라고 적고 반례 칸을 비운다. 판정은

옳다. 빠진 것은 두 가지다 — 논증의 어느 문장이 무엇을 몰래 가정하는지, 그리고 실제로 대칭적$\cdot$추이적이지만 반사적이 아닌 관계 하나다. 36주차 §1.7의 기준대로, 거짓 주장의 반박은 반례를 제시해야 끝난다.

- **유형 2 — 오류를 대칭성에 돌리기.** "대칭성을 잘못 적용했다"라고 적는다. 논증에서

가장 의심스러운 줄을 고른 것은 자연스러운 반응이다. 다만 대칭성의 적용 자체는 정확하다 — $x\,R\,y$에서 $y\,R\,x$를 얻는 것은 정의 36.2 그대로다. 무너지는 자리는 그 앞, 첫 문장 "$x\,R\,y$라 하자"가 **그런 $y$의 존재를 가정한다**는 데 있다. 짝이 하나도 없는 원소에는 그 논증이 닿지 않는다.

- **유형 3 — 반례로 공관계만 제시.** $R = \emptyset$을 든다. 이 반례는 옳다 — 대칭$\cdot$추이의

가정이 한 번도 충족되지 않아 공허하게 참이고, $A \neq \emptyset$이면 반사적이 아니다. 다만 "짝이 아예 없다"는 극단이라 무엇이 어긋났는지가 잘 드러나지 않는다. $A = \{1,2,3\}$ 위의 $R = \{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}$처럼 **일부 원소만 고립된** 관계를 함께 들면, 원소 3이 어느 조에도 들어가지 못한다는 것이 눈에 보인다. 이번 주는 "모든 원소가 자기 조에 속한다"가 반사성에서 나온다는 것을 정리로 확인한다.

## 개념 — 동치관계, 동치류, 분할

### 1 세 칸이 모두 ✓인 다음에 무엇을 하는가

36주차의 작업은 판정이었다. 관계를 하나 받으면 세 칸(반사$\cdot$대칭$\cdot$추이)에 ✓ 또는 ✗를 매기고 성적표 한 줄을 남겼다. 그 줄로 무엇을 하는가.

목표를 하나 세워 보자. $\mathbb{Z}$를 $\equiv \pmod 3$의 기준으로 "같은 것끼리" 조로 나눈다. 36주차에서 얻은 도구는 두 원소를 받아 $x\,R\,y$의 참$\cdot$거짓을 답하는 것뿐이다. 그 도구만으로 밀어붙여 보자.

:::{admonition} 시도 — 판정 도구만으로 조 만들기
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"$1$과 $4$는 관계가 있으니 같은 조에 넣는다. $4$와 $7$도 관계가 있으니 같은 조다.

$2$와 $5$는 또 다른 조다. 그러면 '$1$의 조'는 $\{\dots, 1, 4, 7, \dots\}$이고

'$4$의 조'는 $\{\dots, 4, 7, 10, \dots\}$인데, 이 둘은 같은 조인가 다른 조인가.

그리고 어떤 정수가 두 조에 동시에 들어가는 일은 없다고 어떻게 보장하는가 … "
:::

여기서 멈춘다. "조"라는 말이 아직 정의되지 않았고, 두 조가 같은지를 판정할 기준도 없다. 판정 도구는 **원소 두 개**에 대해서만 답을 주고, **조 두 개**가 같은지에 대해서는 아무 말도 하지 않는다.

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**확인 1.** 멈춘 자리에서 다음 줄이 나오려면 무엇이 필요한가.

"$\underline{\quad}$ 차원의 정보와 $\underline{\quad}$ 차원의 정보를 잇는 문장"이라는

꼴로 한 구절 적어 보자.
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:::{admonition} 답
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**원소** 차원($x\,R\,y$)과 **집합** 차원(두 조가 같다)을 잇는 문장이 필요하다.

"조가 겹치지 않는다"라고 답했다면 그 관찰도 옳다. 다만 겹침 여부 역시 집합 차원의

문장이므로, 원소 차원의 정보에서 그것을 끌어내는 다리가 먼저 있어야 한다.

그 다리가 §1.4의 핵심 정리이고, 그 증명에서 반사$\cdot$대칭$\cdot$추이가 전부 소비된다 —

36주차의 검사 항목이 왜 하필 그 셋인지가 여기서 밝혀진다.
:::

:::{admonition} 이 주 전체의 기준
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세 성질은 검사 항목이 아니라 **부품**이다. 반사성이 각 원소를 자기 조에 넣고,

대칭성이 관계의 방향을 지우고, 추이성이 한 조 안의 원소들을 서로 잇는다.

셋이 모두 있어야 무대가 빠짐없이, 겹침 없이 잘린다.
:::

### 2 세 칸이 모두 ✓인 관계들 — 정의를 만들어 보기

36주차 §1.8의 성적표를 확장해 보자. 빈칸을 직접 채운다.

| **관계** | **반사** | **대칭** | **추이** |
|---|---|---|---|
| $\mathbb{Z}$ 위의 $=$ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $\mathbb{Z}$ 위의 $\equiv \pmod 3$ | ✓ | ✓ | $\underline{\quad(1)\quad}$ |
| $\mathbb{Z}$ 위의 $\le$ | ✓ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | ✓ |
| $\mathbb{Z}$ 위의 $<$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | ✗ | ✓ |
| $\mathbb{Z}$ 위의 "같은 홀짝" | ✓ | ✓ | $\underline{\quad(4)\quad}$ |
| 평면의 점 위의 "원점에서 같은 거리" | ✓ | ✓ | $\underline{\quad(5)\quad}$ |

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**확인 2.** 빈칸 (1)~(5)를 채우고, 세 칸이 모두 ✓인 행만 골라 그 관계들의 공통점을

한 구절로 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
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(1) ✓ (2) ✗ (3) ✗ (4) ✓ (5) ✓.

세 칸이 모두 ✓인 행은 $=$, $\equiv \pmod 3$, "같은 홀짝", "원점에서 같은 거리"의

네 개다. 넷 다 **"어떤 기준에서 같다"**로 읽힌다 — 값이 같다, 나머지가 같다,

홀짝이 같다, 거리가 같다. 탈락한 $\le$와 $<$는 "같다"가 아니라 "앞선다"로 읽히고,

실제로 대칭 칸에서 걸린다. 판정 결과가 낱말의 뜻과 일치한다.
:::

이 공통점에 정식 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 36주차의 세 칸을 한 낱말로 묶었을 뿐이다.

### 정의 37.1 — 동치관계 (equivalence relation) [백지 암기 대상]

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집합 $A$ 위의 관계 $R$이 반사적이고 대칭적이고 추이적일 때, $R$을 $A$ 위의

**동치관계**라 한다.
:::

$R$이 동치관계일 때 $x\,R\,y$는 "$x$와 $y$는 ($R$에 대해) 동치이다"로 읽는다. "같다"가 아니라 "동치이다"라고 읽는 이유는, 실제로 같은 것이 아니라 **정해진 기준에서만** 같기 때문이다. $4$와 $7$은 다른 정수이지만 $\equiv \pmod 3$의 기준에서는 동치다.

### 3 정의 37.1 해부 — 조각마다 하는 일

| **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** |
|---|---|---|
| "집합 $A$ 위의 관계 $R$이" | 무대의 선언 | 식이 같아도 무대가 바뀌면 동치류의 생김새와 개수가 바뀐다 (문제 2와 문제 12가 같은 식 $\equiv \pmod 4$, 다른 무대 $\mathbb{Z}$와 $\{1, \dots, 10\}$이다) |
| "반사적이고" | 모든 원소에 자기 고리 | 각 원소를 자기 조에 넣는다 — 핵심 정리 ($\Leftarrow$)의 첫 줄, 그리고 분할 조건 ①(비공)과 ③(덮음)의 근거 |
| "대칭적이고" | 관계의 방향을 지운다 | 관계 문장의 방향을 맞춘다 — 핵심 정리 ($\Rightarrow$)의 첫 포함과 ($\Leftarrow$)의 마지막 줄, 그리고 따름정리 |
| "추이적일 때" | 두 칸짜리 길에 지름길 | 두 칸짜리 사슬을 잇는다 — 핵심 정리 ($\Rightarrow$)의 두 포함과 따름정리 |

**조각 삭제 실험 A — "대칭적이고"를 지우면.** $\mathbb{Z}$ 위의 $\le$가 통과한다 (반사 ✓, 추이 ✓). $\le$로 조를 만들어 보면 "$1$의 조"는 $\{1, 2, 3, \dots\}$이고 "$2$의 조"는 $\{2, 3, 4, \dots\}$다.

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**확인 3.** 실험 A에서 만든 두 조를 나란히 놓으면 정확히 무엇이 무너지는가.

($1$과 $2$가 각각 어느 조에 들어가는지 세어 보자.)
:::

:::{admonition} 답
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**겹침 없음**이 무너진다. 두 조는 $2, 3, 4, \dots$를 공유하므로 서로소가 아닌데,

$1$이 앞의 조에만 있으므로 같지도 않다. 원소 $2$는 두 조에 동시에 속한다.

어떤 원소가 어느 조에 속하는지가 결정되지 않으므로 "나눈다"는 말 자체가 성립하지

않는다. (이 붕괴가 증명의 어느 줄에서 일어나는지는 문제 13에서 짚는다.)
:::

**조각 삭제 실험 B — "추이적일 때"를 지우면.** $A = \{1,2,3,4\}$ 위의 $R = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}$가 통과한다 (반사 ✓, 대칭 ✓). 이 관계로 조를 만들면 네 개가 나오고, 그중 셋($[1] = \{1,2\}$, $[2] = \{1,2,3\}$, $[3] = \{2,3\}$)이 서로 조금씩 겹친다. 넷째 조각 $[4] = \{4\}$는 나머지 전부와 서로소다 — 문제 18이 그 계산이다.

두 실험이 말하는 것은 같다. 정의 37.1의 세 조각 중 하나라도 빠지면, 조가 겹치거나 비면서 "무대를 나눈다"가 실패한다.

### 4 조에 이름 붙이기 — 정의를 만들어 보기

이제 "조"를 정의한다. 만드는 방법은 §1.1의 시도에 이미 있었다 — 대표를 하나 잡고, 그와 관계있는 원소를 전부 모은다. $A = \mathbb{Z}$, $R$은 $\equiv \pmod 3$으로 두고 표를 채워 보자.

| **대표로 잡은 수 $x$** | **$x$와 관계있는 정수 $z$ 전부** |
|---|---|
| $0$ | $\dots, -6, -3, 0, 3, 6, \dots$ |
| $1$ | $\dots, -5, -2, 1, 4, 7, \dots$ |
| $2$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ |
| $3$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ |
| $-1$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ |

:::{container} quotebox
**확인 4.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 다섯 행 중 **서로 다른** 목록이 몇 개인지 세어 보자.
:::

:::{admonition} 답
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(1) $\dots, -4, -1, 2, 5, 8, \dots$  (2) $\dots, -6, -3, 0, 3, 6, \dots$

(3) $\dots, -4, -1, 2, 5, 8, \dots$.

서로 다른 목록은 **세 개**다 — 넷째 행은 첫째 행과 같고, 다섯째 행은 셋째 행과 같다.

대표를 무엇으로 잡느냐에 따라 이름은 무한히 많아지지만 목록 자체는 세 종류뿐이다.

이 관찰이 §1.5의 핵심 정리가 답할 물음을 만든다.
:::

표의 오른쪽 칸에 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 채운 칸을 조건제시법으로 다시 적었을 뿐이다.

### 정의 37.2 — 동치류 (equivalence class) [백지 암기 대상]

:::{container} quotebox
$A$ 위의 동치관계 $R$과 $x \in A$에 대해, $x$의 **동치류**는

$$
[x] = \{z \in A : x\,R\,z\}
$$

이다. 이때 $x$를 이 동치류의 **대표원**(representative)이라 한다.
:::

기호 $[x]$는 "엑스의 동치류"로 읽는다. 조건제시법(3주차)으로 적힌 집합이므로 $[x]$는 수가 아니라 **집합**이다. 여러 관계를 동시에 다룰 때 어느 관계의 동치류인지 밝혀야 하면 $[x]_R$로 쓴다(문제 17에서 쓴다). 읽는 법까지가 정의다.

**정의 37.2 해부 — 조각마다 하는 일.**

| **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** |
|---|---|---|
| "$A$ 위의 동치관계 $R$과" | 전제의 선언 | $R$이 동치관계가 아니면 이 표기를 쓰지 않는다 (문제 18) |
| "$x \in A$에 대해" | 대표원의 자격 | 무대 밖의 대상에는 동치류가 없다 |
| "$\{z \in A : \cdots\}$" | 집합임의 선언 | $[x] = [y]$는 **집합 상등**이므로 양방향 포함으로 증명한다 (정의 27.1) |
| "$x\,R\,z$" | 소속 판정 조건 | "$z \in [x]$"와 "$x\,R\,z$"는 서로 번역된다 — 이번 주 모든 증명의 첫 줄이다 |

**조각 삭제 실험 — "동치관계"라는 전제를 지우면.** 임의의 관계에 $[x]$ 표기를 허용하면 $\le$나 실험 B의 $R$에도 "동치류"라는 말을 붙이게 된다. 그 순간 나오는 조들은 겹치고, 그 겹침을 보고 아래의 정리들이 틀렸다고 오독하게 된다. 전제가 빠진 표기는 정리의 반례를 만드는 것이 아니라 정리의 적용 대상에서 벗어날 뿐이다 (문제 13, 문제 18).

:::{container} quotebox
**확인 5.** $x$ 자신은 $[x]$에 속하는가. 느낌으로 답하지 말고 정의로 판정해 보자 —

$z$ 자리에 $x$를 넣으면 소속 조건은 어떤 문장이 되는가.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

소속 조건은 $x\,R\,x$가 되고, $R$이 동치관계이므로 반사성에 의해 참이다.

따라서 $x \in [x]$이며, 특히 $[x] \neq \emptyset$이다.

반사성이 없으면 이 한 줄이 무너지고 동치류가 빈 집합이 될 수 있다.

분할 조건 ①(비공)이 정확히 여기서 나온다.
:::

### 5 한 방에 이름이 여럿 — 핵심 정리

§1.4의 표에서 $[0] = [3]$이었고 $[2] = [-1]$이었다. 방은 셋인데 이름은 무한히 많다. 그렇다면 두 이름이 같은 방을 가리키는지를 무엇으로 판정하는가. 목록을 끝까지 비교하는 길은 무한집합에서는 끝나지 않는다.

:::{container} quotebox
**확인 6.** $[0]$과 $[3]$이 같은 방임을 §1.4의 표를 보지 않고 판정하려면,

$0$과 $3$ 사이의 어떤 사실 하나를 확인하면 되겠는가.
:::

:::{admonition} 답
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$0 \equiv 3 \pmod 3$, 곧 $0\,R\,3$이다. 원소 두 개의 관계만 확인하면 방의 상등이

결정된다는 짐작이고, 이 짐작을 정리로 확정하면 무한집합에서도 유한한 확인으로

판정이 끝난다. 이것이 §1.1에서 멈춘 자리를 메우는 다리다.
:::

### 핵심 정리 [백지 암기 대상]

:::{container} quotebox
$R$이 $A$ 위의 동치관계일 때, 임의의 $x, y \in A$에 대해

$$
x\,R\,y \iff [x] = [y]
$$

**따름정리.** 두 동치류는 같거나 서로소다 — $[x] \cap [y] \neq \emptyset$이면

$[x] = [y]$이다.
:::

왼쪽은 원소 차원의 문장이고 오른쪽은 집합 차원의 문장이다. 이 $\iff$가 두 차원 사이의 완전한 번역이며, 증명은 예제 2.1에서, 따름정리는 예제 2.2에서 만든다. 두 증명을 합치면 반사$\cdot$대칭$\cdot$추이가 전부 한 번 이상 쓰인다 — 정의 37.1이 왜 그 셋을 요구하는지의 해명이다.

### 6 나눈 결과에 이름 붙이기 — 분할

동치류가 무대를 "나눈다"고 하려면 "나눈다"부터 정의해야 한다. $A = \{1,2,3,4,5,6\}$의 부분집합 모임 네 개를 놓고, 나눔의 자격을 잃게 하는 사유를 찾아보자.

| **조각들의 모임** | **빠진 원소** | **두 조각이 공유하는 원소** | **빈 조각** |
|---|---|---|---|
| $\{1,2\},\ \{3,4\},\ \{5,6\}$ | 없음 | 없음 | 없음 |
| $\{1,2\},\ \{2,3\},\ \{4,5,6\}$ | 없음 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | 없음 |
| $\{1,2\},\ \{3,4\}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | 없음 | 없음 |
| $\{1,2,3\},\ \emptyset,\ \{4,5,6\}$ | 없음 | 없음 | $\underline{\quad(3)\quad}$ |

:::{container} quotebox
**확인 7.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 첫 행만 "빠짐없이 겹침 없이 나눈다"에 해당하는

이유를 조건 세 개로 정리해 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(1) $2$  (2) $5$와 $6$  (3) 있음(둘째 조각이 공집합).

첫 행만 ① 빈 조각 없음 ② 겹침 없음 ③ 빠짐 없음을 동시에 만족한다.

나머지 세 행은 각각 ②, ③, ①에서 걸린다. 이 세 조건이 곧 정의 37.3이다.
:::

### 정의 37.3 — 분할 (partition) [백지 암기 대상]

:::{container} quotebox
집합 $A$의 **분할**이란, $A$의 부분집합들의 모임 $\mathcal{P}$로서 다음 셋을 모두

만족하는 것이다.

① $\mathcal{P}$의 각 조각은 공집합이 아니다.

② $\mathcal{P}$의 서로 다른 두 조각은 서로소다.

③ $\mathcal{P}$에 속한 조각들의 합집합은 $A$이다.
:::

세 조건을 한 문장으로 줄이면 "$A$의 모든 원소가 **정확히 한** 조각에 속한다"이다. 조각별로 대응을 보면 이렇다.

| **정의 37.3의 조건** | **한 문장 판본의 어느 부분인가** |
|---|---|
| ③ 합집합이 $A$ | "적어도 한 조각에 속한다" (빠짐 없음) |
| ② 서로 다른 두 조각은 서로소 | "많아야 한 조각에 속한다" (겹침 없음) |
| ① 각 조각은 비공 | 원소가 하나도 없는 조각을 목록에서 배제한다 |

:::{container} quotebox
**확인 8.** 조건 ①을 지우면 정확히 무엇이 이상해지는가.

($\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\}$과 $\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\},\emptyset$을 비교해 보자.)
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

두 목록은 같은 나눔을 적은 것인데, ①이 없으면 공집합 조각을 붙인 판본이 따로 세어져

같은 나눔이 두 번 세어진다. (모임은 집합이므로 공집합을 여러 번 나열해도 조각이

늘지는 않는다 — 늘어나는 판본은 정확히 하나다.) 그 결과 $|A| = 3$일 때 분할이 5개가

아니라 10개가 되어, 문제 19에서 쓰는 "동치관계의 개수"와 "분할의 개수"의 1:1 대응이

깨진다. ①은 나눔의 뜻을 지키면서 동시에 세기를 동치관계 쪽과 맞춰 주는 조건이다.
:::

### 7 두 얼굴 — 분할 정리와 그 역

:::{admonition} 백지 암기 대상
:class: keybox

**분할 정리**

$R$이 $A$ 위의 동치관계이면, 서로 다른 동치류 전체의 모임은 $A$의 분할이다.
:::

세 조건이 각각 어디서 오는지는 이미 손에 있다. ①은 확인 5($x \in [x]$, 반사성), ②는 핵심 정리의 따름정리, ③도 확인 5(모든 $x$가 $[x]$에 속하므로 합집합이 $A$를 덮음)다. 증명을 문장으로 세우는 일은 문제 8이다.

역방향도 성립한다. 분할이 주어지면 "$x$와 $y$가 같은 조각에 속한다"로 정의한 관계가 동치관계다(문제 11). 그리고 두 변환은 서로를 되돌린다 — 문제 17이 한쪽(같은 분할을 만드는 두 동치관계는 같다)을 주고, 문제 11에서 만든 관계의 동치류를 직접 계산하는 일이 다른 쪽(그 관계가 다시 원래 분할을 만든다)을 준다. 따라서 **동치관계와 분할은 같은 정보의 두 표현**이다 — 관계는 "같음의 기준"을 적은 것이고, 분할은 "그 기준으로 자른 결과"를 적은 것이다.

:::{container} quotebox
**확인 9.** 20주차의 시계 산술에서 $\equiv \pmod{12}$는 $\mathbb{Z}$를 몇 조각으로

나누는가. 조각의 이름을 동치류 기호로 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

12조각이며, 이름은 $[0], [1], \dots, [11]$이다 — 12로 나눈 나머지가 같은 정수끼리

한 조각이다. 시계판의 눈금 12개가 이 조각들이고, 다음 주의 $\mathbb{Z}_{12}$는

이 조각들을 **원소**로 삼는 새 집합이다. 20주차에서 계산으로만 다루던 시계가

여기서 집합론의 대상이 된다.
:::

### 8 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개

칸의 개수는 늘지 않는다. ① 칸에 정의가 셋 추가되고, ④ 칸이 이번 주의 정리 세 개를 받는다.

| **근거** | **내용** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** |
|---|---|---|
| ① 정의 | 기존 정의 전부 + **정의 37.1, 37.2, 37.3** | "$z \in [x]$" $\leftrightarrow$ "$x\,R\,z$" 사이를 번역한다 |
| ② 닫힘성 | 정수의 합$\cdot$차$\cdot$곱은 정수 | 문제 15$\cdot$16의 계산에서 별도 설명 없이 쓴다 |
| ③ 등식의 성질 | 대입 / 전개 / 묶기 / 양변 연산 | $ad = bc$의 양변에 $f$를 곱한다 (문제 16) |
| ④ 이미 증명한 명제 | 36주차 정의 36.2와 성적표, 36주차 문제 19(원점에서 같은 거리의 판정), 20주차 (C1)~(C3), 27주차 정의 27.1(양방향 포함), 17주차 문제 8, 25주차 문제 13에 딸린 영인수 성질, 14주차 덧셈 원리(크기의 합으로 하는 검산), 4주차 $\vert \mathcal{P}(X)\vert  = 2^{\vert X\vert }$와 12주차 곱셈 원리(문제 19의 세기), **이번 주의 핵심 정리$\cdot$따름정리$\cdot$분할 정리** | "핵심 정리에 의해 $[x] = [y]$이다"로 한 줄에 끝낸다 |

목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 "그림을 그려 보니 두 원이 겹치지 않는다"는 목록에 없다 — 그림은 후보를 찾는 도구이고, 답안의 근거는 정의나 정리에 대입한 문장이어야 한다.

:::{container} quotebox
**확인 10.** 어떤 답안에 다음 두 문장이 나왔다. 각각 허용되는가.

허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) "$x \in [x]$이므로 $[x]$는 공집합이 아니다"

(나) "동치류를 원으로 그려 보면 서로 떨어져 있으므로 두 동치류는 서로소이다"
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(가) 허용 — 근거 ①과 반사성이다. 답안에 적을 때는 "반사성에 의해 $x\,R\,x$이므로

정의 37.2에 의해 $x \in [x]$이다"까지 적으면 완결된다.

(나) 불허 — 그림은 목록 밖이다. 같은 내용을 "두 동치류가 원소를 공유하면 따름정리에

의해 같아지므로, **서로 다른** 두 동치류는 서로소이다"로 적으면 근거 ④가 되어

허용된다. 내용이 아니라 **꼴**이 근거의 자격을 정한다.
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정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 문장을 통째로만 외우지 말고 §1.3과 §1.6의 해부 표를 함께 외운다. 조각을 잊어도 역할에서 재구성할 수 있다.