# 18주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

## 백지 시험 (15~17주차 중심 + 1~2주차 소재, 20문항)

:::{admonition} 시험 규칙
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교재$\cdot$노트를 완전히 덮고 120분. 증명 문항은 서식(오프닝~마감)과 글쓰기 규범

준수까지 채점 대상이다. 끝난 뒤에는 해설의 **접근**만 보고 재시도한 다음,

**풀이**로 최종 확인한다.
:::

### 기본 ●○○

**1.** [정의 백지 테스트] 짝수, $a \mid b$, 소수, 유리수, $|x|$의 정의를 쓰시오.

**2.** 직접 증명의 서식(오프닝~마감)과 글쓰기 규범 3가지를 쓰시오.

**3.** 다음 명제의 If–Then 분해표를 만드시오 (증명 불필요). (a) $x, y$가 유리수이면 $x - 2y$는 유리수이다. (b) $n$이 홀수이면 $n^2 + 2n$은 홀수이다.

**4.** $n$이 홀수이면 $n^2 + 2n$이 홀수임을 증명하시오.

**5.** $a \mid b$이면 $a \mid (b^2 + 7b)$임을 증명하시오.

**6.** 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 + 9 \ge 6x$임을 증명하시오 (등호 조건 포함).

### 표준 ●●○

**7.** $x$가 유리수이면 $3x + 1$도 유리수임을 증명하시오.

**8.** $m, n$이 모두 홀수이면 $3m + 5n$은 짝수임을 증명하시오.

**9.** $a > 0$, $b > 0$이면 $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2$임을 증명하시오 (등호 조건 포함).

**10.** 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 + 3n + 4$는 짝수임을 증명하시오. (분할 또는 보조정리 — 어느 길이든)

**11.** 실수 $x$에 대해 $|x - 3| < 2 \iff 1 < x < 5$임을 증명하시오. (17주차 문제 11의 보조정리 사용 가능)

**12.** 합이 999인 연속한 세 정수가 존재함을 증명하시오.

**13.** 모든 정수 $n$에 대해, $n^2$을 5로 나눈 나머지는 0, 1, 4 중 하나임을 증명하시오.

**14.** $x > 0$일 때 $x + \dfrac{4}{x}$의 최솟값이 4임을 증명하시오 (2단 구성 필수).

### 도전 ●●●

**15.** $n$이 홀수이면 $n^2 + 7$은 8의 배수임을 증명하시오. (힌트: 17주차 문제 15를 보조정리로)

**16.** [백지 재현] 삼각부등식 $|x + y| \le |x| + |y|$를 증명하시오.

**17.** 다음 답안의 결함을 **모두** 지적하시오 (수학 내용과 서술 규범 양면에서).

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"명제: $x$가 유리수이면 $2x^2 + 1$은 유리수이다.

증명: $2x^2 + 1 = \frac{p}{q}$라 하자. $x = \frac{a}{b}$니까 $2 \cdot \frac{a^2}{b^2} + 1 = \frac{2a^2 + b^2}{b^2} = \frac{p}{q}$. 맞으므로 증명 끝."
:::

**18.** $x, y$가 모두 홀수이면 $x + y$는 짝수이고 $xy$는 홀수임을 증명하시오. (결론이 "그리고"로 묶인 명제 — 두 부분을 각각)

**19.** 모든 실수 $a, b$에 대해 $\dfrac{a+b}{2} \le \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$임을 증명하시오. (힌트: 좌변이 음수인 경우와 아닌 경우를 나누고, 후자에서는 "0 이상인 두 수는 제곱 비교 가능"(16주차 문제 17의 원리)을 사용)

**20.** (서술) 다음 두 명제는 직접 증명이 잘 막힌다. 각각 **어디서 왜 막히는지** 한두 문장으로 진단하시오 (증명은 하지 말 것 — 19$\cdot$21주차에서 다룬다). (a) $n^2$이 3의 배수이면 $n$은 3의 배수이다. (b) $\sqrt{2}$는 무리수이다.

## 백지 복습 체크리스트 (시험 후)

- [ ] 정의 5종(1번)을 조건까지 빠짐없이 썼다.
- [ ] 증명 문항(4~16, 18~19)에서 오프닝$\cdot$마감 서식을 지켰다.
- [ ] 등호 조건(6, 9, 14번)을 빠짐없이 썼다.
- [ ] 17번에서 결함을 3개 이상 찾았다.
- [ ] 20번에서 "막힘의 이유"를 자기 언어로 설명했다.

## 해설

틀린 문제는 **접근**만 읽고 재시도 $\to$ 그다음 풀이 확인.

### 문제 1

**접근.** 정의는 낱말의 뜻풀이가 아니라 등식과 조건까지가 본체다. 다섯 정의의 출처는 1주차 정의 1.1(짝수), 2주차 정의 2.1($a \mid b$), 15주차 정의 15.2(소수), 15주차 정의 15.1(유리수), 17주차 정의 17.1(절댓값)이다. 채점 지점은 네 곳 — "존재한다"라는 낱말, 유리수의 $b \neq 0$, 소수의 $n \ge 2$, 절댓값의 케이스 구분.

**풀이.** ① **짝수.** 정수 $n$이 짝수라는 것은, $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다는 뜻이다. ② **나누어떨어짐.** 정수 $a, b$에 대해 $a \mid b$라는 것은, $b = ac$인 정수 $c$가 존재한다는 뜻이다. ③ **소수.** $n \ge 2$인 정수 $n$이 소수라는 것은, $n$의 양의 약수가 $1$과 $n$뿐이라는 뜻이다. ④ **유리수.** 실수 $x$가 유리수라는 것은, $x = \dfrac{a}{b}$인 정수 $a, b$ ($b \neq 0$)가 존재한다는 뜻이다. ⑤ **절댓값.** $x \ge 0$이면 $|x| = x$이고, $x < 0$이면 $|x| = -x$이다.

**복기.** ①②④는 "~인 정수가 존재한다" 꼴이라 증명에서 곧바로 등식을 내어 준다. ③⑤는 등식을 내어 주지 않고 판정 기준으로 쓰이며, 특히 ⑤는 정의 자체가 케이스이므로 절댓값 증명이 경우 나누기가 되는 이유가 된다. 하나라도 틀렸다면 해당 주차의 정의 상자를 다시 암기한 뒤 이 문항만 재시험한다.

### 문제 2

**접근.** 서식은 15주차 §1.6, 규범은 15주차 §1.8에서 나온다. 서식은 답안의 **뼈대**를 정하고 규범은 답안의 **문장**을 정한다 — 둘은 다른 층위이므로 각각 써야 답이 닫힌다 — 서식만 쓰면 문장 층위가, 규범만 쓰면 뼈대가 비어 남는다.

**풀이.** 서식은 세 부분이다. **오프닝**: "$P$라 가정하자"(전칭 명제이면 "임의의 ~라 하자"). **몸통**: 정의 풀기, 가정 사용, 대수 변형, 이미 증명한 정리 인용 — 이 네 가지(근거 ①~④)만 쓴다. **마감**: "따라서 $Q$이다. $\blacksquare$". 글쓰기 규범 세 가지는 다음과 같다. ① **문장으로 쓴다** — 수식은 문장의 일부이고, "그러면$\cdot$이므로$\cdot$따라서"가 없으면 어느 줄이 어느 줄의 근거인지 복원되지 않는다. ② **모든 문자는 등장할 때 소개한다** — "~인 정수 $k$가 존재한다", "$m$을 임의의 정수라 하자" 없이 쓰인 문자는 임의인지 특정 값인지 정해지지 않는다. ③ **결론을 가정하지 않는다** — 오프닝에 놓을 수 있는 것은 가정 $P$뿐이며, $Q$에서 출발한 논증은 순환이다.

**복기.** 이 세 규범은 문제 17의 채점 기준과 그대로 겹친다. 규범을 외운다는 것은 남의 답안을 채점할 수 있게 된다는 뜻이다.

### 문제 3

**접근.** If–Then 분해는 명제를 가정 $P$와 결론 $Q$로 자른 뒤 각각을 수식으로 옮기는 작업이다. 핵심은 결론 쪽을 "이미 참인 사실"이 아니라 **만들어야 할 목표 꼴**로 적는 것이다. 목표 꼴이 적혀 있어야 몸통의 변형을 어디서 멈출지 알 수 있다.

**풀이.** (a) 가정: $x$와 $y$가 유리수이다. 정의 15.1로 옮기면 $x = \dfrac{a}{b}$, $y = \dfrac{c}{d}$인 정수 $a, b, c, d$ ($b \neq 0$, $d \neq 0$)가 존재한다. 결론: $x - 2y$가 유리수이다. 목표 꼴로 옮기면 $x - 2y = \dfrac{(\text{정수})}{(\text{0이 아닌 정수})}$ 꼴로 쓸 수 있음을 보이는 것이다. (b) 가정: $n$이 홀수이다. 정의 1.2로 옮기면 $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재한다. 결론: $n^2 + 2n$이 홀수이다. 목표 꼴은 $n^2 + 2n = 2(\text{정수}) + 1$이다.

**복기.** 분해표를 만들어 두면 (b)의 답안은 "$2(\quad) + 1$의 괄호를 채우는 일"로 축소된다. 문제 4가 정확히 그 채우기다.

### 문제 4

**접근.** 짝수/홀수 행이므로 첫수는 정의 전개다. 가정을 $n = 2k+1$로 풀고, 전개한 뒤 상수항에서 $1$만 남기고 나머지를 2로 묶어 목표 꼴 $2(\text{정수}) + 1$에 맞춘다.

**풀이.** $n$이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 $n = 2k+1$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면

$$
n^2 + 2n = (2k+1)^2 + 2(2k+1) = 4k^2 + 4k + 1 + 4k + 2 = 4k^2 + 8k + 3 = 2(2k^2 + 4k + 1) + 1
$$

이고, 정수의 합$\cdot$곱은 정수이므로(근거 ②) $2k^2 + 4k + 1 \in \mathbb{Z}$이다. 따라서 $n^2 + 2n$은 홀수이다. $\blacksquare$

**복기.** 상수 $3$을 $2 + 1$로 쪼개는 자리가 이 증명의 유일한 기술이다. $4k^2 + 8k + 3$에서 멈추면 정의의 꼴이 아니므로 아직 증명이 끝나지 않은 상태다.

### 문제 5

**접근.** 배수 행이므로 가정을 $b = ak$로 푼다. 목표는 $b^2 + 7b$를 $a \times (\text{정수})$ 꼴로 쓰는 것이므로, 대입한 뒤 모든 항에서 $a$가 하나씩 살아남는지 확인해 묶는다.

**풀이.** $a \mid b$라 가정하자. 정의 2.1에 의해 $b = ak$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면

$$
b^2 + 7b = (ak)^2 + 7(ak) = a^2k^2 + 7ak = a(ak^2 + 7k)
$$

이고 $ak^2 + 7k \in \mathbb{Z}$이다. 따라서 정의 2.1에 의해 $a \mid (b^2 + 7b)$이다. $\blacksquare$

**복기.** $b$가 들어간 모든 항이 $a$의 배수이므로 묶기가 성공했다. 만약 식이 $b^2 + 7b + 3$이었다면 상수항 $3$에서 $a$가 나오지 않아 이 전략이 그 자리에서 멈춘다 — 어디서 멈추는지를 보는 것이 전략 점검이다.

### 문제 6

**접근.** 부등식 행이므로 차 $A - B$를 계산한다. $x^2 + 9 - 6x$가 완전제곱이 되는지 확인하고, (W1) "모든 실수 $x$에 대해 $x^2 \ge 0$"을 근거로 인용한다. 등호 조건은 (W1)의 등호 조건을 그대로 따라간다.

**풀이.** $x$를 임의의 실수라 하자. 차를 계산하면

$$
x^2 + 9 - 6x = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2
$$

이고, $x - 3$은 실수이므로 (W1)에 의해 $(x-3)^2 \ge 0$이다. 즉 $x^2 + 9 - 6x \ge 0$이고, 양변에 $6x$를 더하면 (W2) $x^2 + 9 \ge 6x$이다. 등호는 $(x-3)^2 = 0$일 때, 곧 $x = 3$일 때에만 성립한다. $\blacksquare$

**복기.** 차–제곱 전략에서는 등호 조건이 따로 계산되지 않고 (W1)의 등호 조건에서 자동으로 나온다. 등호 조건이 없으면 부등식은 증명되었지만 "등호가 언제인가"라는 물음에 답이 없어 명제가 절반만 닫힌다.

### 문제 7

**접근.** 유리수 행이므로 가정을 분수 표현으로 풀고, 결과를 하나의 분수로 통분한 뒤 분자가 정수인지와 분모가 0이 아닌지를 각각 확인한다. 분모 확인을 빠뜨리는 답안이 많다.

**풀이.** $x$가 유리수라 가정하자. 정의 15.1에 의해 $x = \dfrac{a}{b}$인 정수 $a, b$ ($b \neq 0$)가 존재한다. 그러면

$$
3x + 1 = \frac{3a}{b} + 1 = \frac{3a + b}{b}
$$

이다. 정수의 합$\cdot$곱은 정수이므로 $3a + b \in \mathbb{Z}$이고, 가정에서 $b \in \mathbb{Z}$이며 $b \neq 0$이다. 따라서 정의 15.1에 의해 $3x + 1$은 유리수이다. $\blacksquare$

**복기.** 유리수 증명의 마지막 문장은 언제나 세 항목의 점검이다 — 분자가 정수, 분모가 정수, 분모가 0이 아님. 세 항목이 모두 적혀 있어야 정의를 만족했다고 말할 수 있다.

### 문제 8

**접근.** 홀수가 둘이므로 문자를 **서로 다른** 두 벌로 잡는다. 같은 문자를 재사용하면 $m = n$인 경우만 증명한 셈이 된다(1주차 문제 6의 오류). 계수 3과 5가 홀수라는 점은 상수항 $3 + 5 = 8$이 짝수로 떨어지는 지점에서 작동한다.

**풀이.** $m$과 $n$이 모두 홀수라 가정하자. 정의에 의해 $m = 2a+1$, $n = 2b+1$인 정수 $a, b$가 존재한다. 그러면

$$
3m + 5n = 3(2a+1) + 5(2b+1) = 6a + 3 + 10b + 5 = 6a + 10b + 8 = 2(3a + 5b + 4)
$$

이고 $3a + 5b + 4 \in \mathbb{Z}$이다. 따라서 $3m + 5n$은 짝수이다. $\blacksquare$

**복기.** 상수항이 $3 + 5 = 8$로 짝수였기 때문에 전체가 2로 묶였다. 계수를 $3, 4$로 바꾸면 상수항이 $3 + 4 = 7$이 되어 결론이 홀수로 바뀐다 — 계수의 홀짝이 결론을 정한다.

### 문제 9

**접근.** 이미 증명한 정리를 부품으로 재사용하는 길이 가장 짧다. 16주차 예제 2.3이 "$t > 0$이면 $t + \frac1t \ge 2$, 등호는 $t = 1$"이므로 $t = \frac{a}{b}$를 대입하면 된다. 인용 전에 $t > 0$을 확인하는 한 줄이 필요하다. 부품 없이 차–제곱으로 처음부터 가도 정답이다.

**풀이.** $a > 0$, $b > 0$이라 가정하자. $t = \dfrac{a}{b}$라 두면 양수를 양수로 나눈 값이므로 $t > 0$이고, $\dfrac1t = \dfrac{b}{a}$이다. 16주차 예제 2.3에 의해 $t + \dfrac1t \ge 2$, 곧 $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2$이다. 등호는 $t = 1$일 때에만 성립하므로 $\dfrac{a}{b} = 1$, 곧 $a = b$일 때에만 성립한다. $\blacksquare$

**별해 (차–제곱).** $a > 0$, $b > 0$이라 가정하자. 차를 통분하면

$$
\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab}
$$

이다. (W1)에 의해 $(a-b)^2 \ge 0$이고 $a > 0$, $b > 0$이므로 $ab > 0$이다(W4). 따라서 이 분수는 0 이상이고, 양변에 2를 더하면(W2) $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2$이다. 등호는 $(a-b)^2 = 0$일 때, 곧 $a = b$일 때에만 성립한다. $\blacksquare$

**복기.** 두 길의 차이는 부품을 인용하느냐 다시 만드느냐뿐이다. 인용하는 길에서는 부품의 가정($t > 0$)을 확인하는 문장이 반드시 있어야 하고, 그 문장이 없으면 인용이 성립하지 않는다.

### 문제 10

**접근.** 두 길이 있다. 길 1은 이미 증명한 부품을 쓰는 것 — $n^2 + 3n + 4 = (n^2 + n) + (2n + 4)$로 쪼개면 앞 덩어리는 연속한 두 정수의 곱(1주차 문제 16)이고 뒤 덩어리는 눈에 보이는 짝수다. 길 2는 짝/홀 분할이다. 어느 길이든 정답이므로 두 길을 모두 확인해 둔다.

**풀이 (길 1).** $n$을 임의의 정수라 하자. 식을 두 덩어리로 쪼개면

$$
n^2 + 3n + 4 = (n^2 + n) + (2n + 4)
$$

이다. $n^2 + n = n(n+1)$은 연속한 두 정수의 곱이므로 짝수이다(1주차 문제 16). 또 $2n + 4 = 2(n+2)$이고 $n + 2 \in \mathbb{Z}$이므로 짝수이다. 짝수와 짝수의 합은 짝수이므로(1주차 예제 2.1) $n^2 + 3n + 4$는 짝수이다. $\blacksquare$

**풀이 (길 2).** $n$을 임의의 정수라 하자. 나눗셈 정리에 의해 $n$은 짝수이거나 홀수이고, 두 경우가 정수 전체를 덮는다. **경우 1: $n = 2k$ ($k \in \mathbb{Z}$).** 그러면 $n^2 + 3n + 4 = 4k^2 + 6k + 4 = 2(2k^2 + 3k + 2)$이고 $2k^2 + 3k + 2 \in \mathbb{Z}$이므로 짝수이다. **경우 2: $n = 2k+1$ ($k \in \mathbb{Z}$).** 그러면 $n^2 + 3n + 4 = (4k^2 + 4k + 1) + (6k + 3) + 4 = 4k^2 + 10k + 8 = 2(2k^2 + 5k + 4)$이고 $2k^2 + 5k + 4 \in \mathbb{Z}$이므로 짝수이다. 두 경우가 빠짐없이 전체를 덮으므로 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 + 3n + 4$는 짝수이다. $\blacksquare$

**복기.** 길 2에서 "두 경우가 전체를 덮는다"는 문장이 빠지면 17주차 채점 기준 1(빠짐없음)에 걸린다. 결론이 옳아도 그 문장 하나가 없으면 증명이 아니다.

### 문제 11

**접근.** 동치이므로 양방향을 각각 증명한다. ($\Longrightarrow$) 방향은 파생 사실 $-|a| \le a \le |a|$(17주차 문제 5와 그 파생 — 문제 5의 $x \le |x|$에 $-x$를 대입해 얻는 $-|x| \le x$를 합친 것)로 절댓값을 벗기고, ($\Longleftarrow$) 방향은 $x - 3$의 부호로 케이스를 나눈다. 양쪽 모두 마지막에 각 변에 3을 더하거나 빼는 이항이 붙는다(W2).

**풀이.** $x$를 임의의 실수라 하자. ($\Longrightarrow$) $|x - 3| < 2$라 가정하자. $x - 3 \le |x - 3| < 2$이므로 $x - 3 < 2$이다. 또 $-(x-3) \le |x-3| < 2$이므로 $-(x-3) < 2$, 곧 $x - 3 > -2$이다. 둘을 합치면 $-2 < x - 3 < 2$이고, 각 변에 3을 더하면 (W2) $1 < x < 5$이다. ($\Longleftarrow$) $1 < x < 5$라 가정하자. 각 변에서 3을 빼면 (W2) $-2 < x - 3 < 2$이다. **경우 1: $x - 3 \ge 0$.** 절댓값의 정의에 의해 $|x-3| = x-3 < 2$이다. **경우 2: $x - 3 < 0$.** 정의에 의해 $|x-3| = -(x-3)$인데, $x - 3 > -2$의 양변에 $-1$을 곱하면 부등호 방향이 뒤집혀(W3) $-(x-3) < 2$이므로 $|x-3| < 2$이다. 두 경우가 전체를 덮으므로 $|x-3| < 2$이다. 양방향을 모두 보였으므로 $|x - 3| < 2 \iff 1 < x < 5$이다. $\blacksquare$

**복기.** 17주차 문제 11의 보조정리 $|a| \le b \iff -b \le a \le b$는 $\le$를 $<$로 바꿔도 위의 논증이 그대로 작동하므로, 그 보조정리를 $a = x-3$, $b = 2$로 인용하고 이항만 하는 짧은 답안도 정답이다. 또 $|x-3|$은 $x$와 3 사이의 거리이므로 이 명제는 "3에서 거리가 2 미만인 점의 모임이 구간 $(1,5)$"라는 뜻이다 — 45주차 $\varepsilon$ 논법이 쓰는 바로 그 언어다.

### 문제 12

**접근.** 존재 결론이므로 증인을 제작해 검증하는 서식이다. 답안에 적을 것은 증인과 검증뿐이지만, 증인을 어떻게 찾았는지는 따로 계산해야 한다. 연속한 세 정수를 $n-1, n, n+1$로 두면 합이 $3n$이 되므로 $3n = 999$를 역산한다.

**풀이.** (설계) 연속한 세 정수를 $n-1$, $n$, $n+1$이라 두면 그 합은 $(n-1) + n + (n+1) = 3n$이다. $3n = 999$에서 $n = 333$을 얻는다. (답안) 증인으로 $332$, $333$, $334$를 제시한다. 이 세 수는 정수이고 $333 = 332 + 1$, $334 = 333 + 1$이므로 연속한 세 정수이다. 또 그 합은 $332 + 333 + 334 = 999$이다. 따라서 합이 999인 연속한 세 정수가 존재한다. $\blacksquare$

**복기.** 설계는 초고에 두고 답안에는 증인과 검증만 적어도 완전한 증명이 된다 — 존재 명제는 어떻게 찾았는지를 요구하지 않는다. 검산: $332 + 334 = 666$, $666 + 333 = 999$ ✓.

### 문제 13

**접근.** "모든 정수 $n$" + 나머지 성질이므로 mod 5 분할이다. 다섯 경우를 각각 전개하는 대신, $n = 5q + r$을 제곱해 $5(\cdot) + r^2$ 꼴로 정리하면 "$n^2$의 나머지 = $r^2$의 나머지"가 되어 계산이 다섯 번의 제곱으로 줄어든다.

**풀이.** $n$을 임의의 정수라 하자. 나눗셈 정리에 의해 $n = 5q + r$, $r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$인 정수 $q, r$이 존재하고, 이 다섯 경우가 전체를 덮는다. 그러면

$$
n^2 = (5q + r)^2 = 25q^2 + 10qr + r^2 = 5(5q^2 + 2qr) + r^2
$$

이고 $5q^2 + 2qr \in \mathbb{Z}$이므로, $n^2$을 5로 나눈 나머지는 $r^2$을 5로 나눈 나머지와 같다. 다섯 경우를 각각 계산하면 $r = 0$일 때 $r^2 = 0$이라 나머지 0, $r = 1$일 때 $r^2 = 1$이라 나머지 1, $r = 2$일 때 $r^2 = 4$라 나머지 4, $r = 3$일 때 $r^2 = 9 = 5 \cdot 1 + 4$라 나머지 4, $r = 4$일 때 $r^2 = 16 = 5 \cdot 3 + 1$이라 나머지 1이다. 따라서 가능한 나머지는 $0, 1, 4$뿐이다. $\blacksquare$

**복기.** 이 표에서 중요한 것은 나온 값이 아니라 **나오지 않은 값**이다. 나머지 2와 3이 불가능하다는 사실이 19주차 문제 15("$5 \mid n^2$이면 $5 \mid n$")의 대우 증명에서 그대로 재활용된다.

### 문제 14

**접근.** 최솟값 주장이므로 2단 구성이다. ① 모든 $x > 0$에서 $x + \frac4x \ge 4$(하계) ② 등호를 실제로 달성하는 $x$가 존재함. ②가 없으면 "4 이상이다"만 보인 것이어서 최솟값이 4라는 주장이 미완성이다(16주차 문제 18의 요구 사항).

**풀이.** ① $x > 0$이라 하자. 그러면 $\dfrac4x > 0$이므로 두 양수 $x$와 $\dfrac4x$에 AM–GM(16주차 예제 2.2)을 적용할 수 있고,

$$
x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4
$$

이다. ② 등호는 $x = \dfrac4x$일 때, 곧 $x^2 = 4$일 때 성립하는데 $x > 0$이므로 $x = 2$이다. 실제로 $x = 2$를 대입하면 $2 + \dfrac42 = 2 + 2 = 4$이다. ①에서 값이 항상 4 이상이고 ②에서 값 4가 실제로 달성되므로, $x + \dfrac4x$의 최솟값은 4이다. $\blacksquare$

**별해 (차–제곱).** $x > 0$이라 하자. 차를 통분하면 $x + \dfrac4x - 4 = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x} = \dfrac{(x-2)^2}{x}$이고, (W1)에 의해 $(x-2)^2 \ge 0$이며 $x > 0$이므로 이 분수는 0 이상이다. 따라서 $x + \dfrac4x \ge 4$이고, 등호는 $x = 2$에서만 성립한다. $\blacksquare$

**복기.** 별해는 하계와 등호 조건을 한 번에 내어 주므로 2단 구성이 자동으로 채워진다. AM–GM을 인용하는 길에서는 두 수가 모두 0 이상이라는 확인이 인용의 전제다.

### 문제 15

**접근.** 보조정리를 그대로 쓰는 문제다. 17주차 문제 15가 "모든 홀수 $n$에 대해 $n^2$을 8로 나눈 나머지는 1"이므로 $n^2 = 8m + 1$을 얻고, 여기에 7을 더하면 상수항이 8이 되어 8로 묶인다.

**풀이.** $n$이 홀수라 가정하자. 17주차 문제 15에 의해 $n^2$을 8로 나눈 나머지는 1이므로, $n^2 = 8m + 1$인 정수 $m$이 존재한다. 그러면

$$
n^2 + 7 = (8m + 1) + 7 = 8m + 8 = 8(m + 1)
$$

이고 $m + 1 \in \mathbb{Z}$이다. 따라서 정의 2.1에 의해 $8 \mid (n^2 + 7)$, 곧 $n^2 + 7$은 8의 배수이다. $\blacksquare$

**복기.** 보조정리를 쓰지 않고 $n = 2k+1$부터 전개하면 $n^2 + 7 = 4k^2 + 4k + 8 = 4k(k+1) + 8$이 되고, 여기서 다시 "$k(k+1)$은 짝수"(1주차 문제 16)를 인용해 $4k(k+1) = 8 \cdot (\text{정수})$를 얻어야 한다. 곧 보조정리는 이 두 단계를 한 줄로 접어 둔 것이다.

### 문제 16

**접근.** 케이스 네 개($x, y$의 부호 조합)로 밀어붙일 수도 있지만, 파생 사실 두 벌을 변끼리 더한 뒤 보조정리로 절댓값을 씌우는 길이 짧고 안전하다. 필요한 재료는 $-|x| \le x \le |x|$(17주차 문제 5와 그 파생)와 $|a| \le b \iff -b \le a \le b$(17주차 문제 11)이다.

**풀이.** $x, y$를 임의의 실수라 하자. 절댓값의 정의에서 $-|x| \le x \le |x|$이고 $-|y| \le y \le |y|$이다. 두 부등식을 변끼리 더하면 (W2)

$$
-(|x| + |y|) \le x + y \le |x| + |y|
$$

이다. 이제 $b = |x| + |y|$라 두면 $|x| \ge 0$, $|y| \ge 0$이므로 $b \ge 0$이고, 두 부등식을 더해 얻은 식은 $-b \le x+y \le b$이다. 여기에 절댓값의 정의로 케이스를 나눈다. **경우 1: $x + y \ge 0$.** 그러면 $|x+y| = x+y \le b$이다. **경우 2: $x + y < 0$.** 그러면 $|x+y| = -(x+y)$인데, $-b \le x+y$의 양변에 $-1$을 곱하면 방향이 뒤집혀(W3) $-(x+y) \le b$이므로 $|x+y| \le b$이다. 두 경우가 전체를 덮으므로 $|x+y| \le b = |x| + |y|$이다. $\blacksquare$

**복기.** 마지막 두 경우가 곧 17주차 문제 11의 ($\Longleftarrow$) 방향이므로, 그 보조정리를 이미 증명해 두었다면 "$b \ge 0$이고 $-b \le x+y \le b$이므로 문제 11에 의해 $|x+y| \le b$"라고 한 줄로 마감해도 된다. 채점 지점은 세 곳 — ① 파생 사실 두 벌 ② 변끼리 더하기(W2) ③ 보조정리 또는 그에 해당하는 케이스 마감.

### 문제 17

**접근.** 15주차 규범 세 가지에 하나씩 대조하고, 거기에 정의의 조건 점검 누락을 더한다. 결함을 나열하는 데서 끝내지 말고 **고쳐 쓰면 살아나는지**까지 확인하는 것이 이 문항의 완결이다.

**풀이.** 결함은 네 가지다. ① **결론에서 출발(규범 3 위반, 치명적).** 첫 문장 "$2x^2 + 1 = \frac{p}{q}$라 하자"는 증명해야 할 결론을 가정한 것이다. 오프닝에 놓을 수 있는 것은 가정 "$x$가 유리수이다"뿐이며, 결론에서 출발한 이후의 모든 계산은 순환이 되어 결론의 참을 전혀 보태지 못한다. ② **문자 미소개(규범 2 위반).** $p, q, a, b$가 모두 선언 없이 등장한다. 특히 $x = \frac{a}{b}$는 "유리수의 정의에 의해 $x = \frac{a}{b}$인 정수 $a, b$($b \neq 0$)가 존재한다"로 도입해야 한다. ③ **정의의 조건 점검 누락.** $b \neq 0$이 선언되지 않았고, 결과의 분모가 $b^2$이므로 $b^2 \neq 0$까지 확인해야 유리수의 정의를 만족한다. ④ **문장 규범과 마감 부재(규범 1 위반).** "니까", "맞으므로 증명 끝"은 논리 연결이 아니라 구어이고, "따라서 ~이다. $\blacksquare$" 꼴의 마감이 없다. **올바른 재작성.** "$x$가 유리수라 가정하자. 정의 15.1에 의해 $x = \dfrac{a}{b}$인 정수 $a, b$($b \neq 0$)가 존재한다. 그러면 $2x^2 + 1 = \dfrac{2a^2}{b^2} + 1 = \dfrac{2a^2 + b^2}{b^2}$이다. $2a^2 + b^2 \in \mathbb{Z}$이고 $b^2 \in \mathbb{Z}$이며 $b \neq 0$이므로 $b^2 \neq 0$이다. 따라서 $2x^2 + 1$은 유리수이다. $\blacksquare$"

**복기.** 계산 $\frac{2a^2 + b^2}{b^2}$는 원래 답안에도 이미 들어 있었다. 곧 이 답안이 증명이 되지 못한 이유는 계산이 아니라 서술의 순서와 선언에 있다 — 같은 식이라도 어디서 출발했는지가 증명 여부를 가른다.

### 문제 18

**접근.** 결론이 $A \land B$ 꼴이므로 "그리고"의 증명은 두 증명이다(7주차 정의 7.3의 $\land$ — 둘 다 참일 때만 참). 가정은 한 번만 풀고, 그 재료로 두 결론을 각각 만든다. 두 부분 모두 1주차에서 이미 증명한 유형의 재활용이다.

**풀이.** $x, y$가 모두 홀수라 가정하자. 정의에 의해 $x = 2a+1$, $y = 2b+1$인 정수 $a, b$가 존재한다. (합이 짝수) $x + y = (2a+1) + (2b+1) = 2a + 2b + 2 = 2(a+b+1)$이고 $a + b + 1 \in \mathbb{Z}$이므로 $x+y$는 짝수이다. (곱이 홀수) $xy = (2a+1)(2b+1) = 4ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1$이고 $2ab + a + b \in \mathbb{Z}$이므로 $xy$는 홀수이다. 따라서 $x + y$는 짝수이고 $xy$는 홀수이다. $\blacksquare$

**복기.** 두 부분을 각각 마감한 뒤 마지막에 "따라서 A이고 B이다"로 한 번 더 묶는 형식까지가 $\land$ 결론의 서식이다. 이 요령은 25주차의 동치 증명과 36주차 합동식에서 그대로 재사용된다.

### 문제 19

**접근.** 우변은 제곱근이므로 항상 0 이상이지만 좌변 $\frac{a+b}{2}$는 음수일 수 있다. 부호가 갈리므로 좌변의 부호로 케이스를 나눈다. 음수 경우는 "음수 < 0 이하가 아닌 수"로 즉시 끝나고, 비음수 경우에만 "0 이상인 두 수는 제곱해서 비교해도 된다"(16주차 문제 17의 원리)를 쓴다.

**풀이.** $a, b$를 임의의 실수라 하자. $\dfrac{a^2+b^2}{2} \ge 0$이므로 우변 $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$는 실수이고 0 이상이다. **경우 1: $a + b < 0$.** 그러면 좌변 $\dfrac{a+b}{2} < 0 \le \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$이므로 부등식이 성립한다. **경우 2: $a + b \ge 0$.** 양변이 모두 0 이상이므로 제곱을 비교하면 충분하다(16주차 문제 17의 원리). 차를 계산하면

$$
\frac{a^2+b^2}{2} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - (a^2 + 2ab + b^2)}{4} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \frac{(a-b)^2}{4} \ge 0
$$

이다((W1) 적용). 따라서 $\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2 \le \dfrac{a^2+b^2}{2}$이고, 제곱 비교 원리에 의해 $\dfrac{a+b}{2} \le \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$이다. 두 경우가 전체를 덮으므로 모든 실수 $a, b$에 대해 부등식이 성립한다. 경우 1에서는 좌변 $< 0 \le$ 우변이므로 등호가 성립하지 않는다. 따라서 등호는 경우 2에서 $(a-b)^2 = 0$인 때, 곧 $a = b\ (\ge 0)$일 때에만 성립한다. $\blacksquare$

**복기.** 케이스를 나누지 않고 곧바로 제곱하면 경우 1에서 논증이 무너진다 — 음수는 제곱하면 대소가 뒤집히기 때문이다. 우변은 제곱평균(RMS)이므로 이 명제는 "산술평균 $\le$ 제곱평균"이고, AM–GM과 나란한 평균 부등식의 한 항목이다.

### 문제 20

**접근.** 진단 문항이므로 각 명제에서 직접 증명의 첫수를 실제로 적어 보고, 어느 줄에서 다음 줄이 나오지 않는지를 지목한다. §1의 두 신호 중 어느 쪽인지까지 말하면 완결이다.

**풀이.** (예시 답안) (a) 직접 증명의 오프닝은 "$n^2$이 3의 배수라 가정하자"이고, 정의를 풀면 $n^2 = 3k$인 정수 $k$가 존재한다는 등식까지는 얻는다. 그러나 결론은 $n$에 대한 진술이므로 $n = 3(\cdot)$ 꼴을 만들어야 하는데, $n^2 = 3k$에서 $n$을 꺼내려면 제곱근을 취해야 하고 $\sqrt{3k}$가 정수라는 보장을 다룰 도구가 아직 없다. 곧 **가정에서 정보를 꺼낼 수 없는 막힘**이다. 대우 "$3 \nmid n$이면 $3 \nmid n^2$"으로 뒤집으면 가정이 나머지 정보가 되어 17주차 문제 8의 케이스 계산으로 풀린다 — 19주차의 소재다. (b) 결론 "무리수이다"는 정의상 "유리수가 아니다"라는 부정형이다. 직접 증명의 몸통은 결론의 목표 꼴을 만들어 가는 과정인데, 부정형에는 만들 목표 꼴 자체가 없으므로 오프닝 다음 줄이 나오지 않는다. 곧 **부정형 결론의 막힘**이다. 결론의 부정("$\sqrt2$가 유리수이다")을 가정으로 삼아 모순을 끌어내는 귀류법이 필요하며 — 21주차의 소재다. 그 첫 두 줄은 11주차 문제 20에서 이미 작성해 보았다.

**복기.** 두 막힘은 위치가 다르다. (a)는 가정 쪽이 빈약해 생기고 (b)는 결론 쪽이 부정형이라 생긴다. 어느 쪽이 막혔는지를 먼저 정하면 다음에 꺼낼 기법이 정해진다.

### 채점 가이드

- 1, 2번을 빠짐없이 쓰고 + 증명 문항 10개 이상에서 서식$\cdot$논리 무결 $\to$ **4부 수료**, 19주차로.
- 등호 조건 누락이 반복되면 $\to$ 16주차 재복습.
- 분할의 "빠짐없음" 문장 누락 $\to$ 17주차 재복습.
- 17번에서 결함을 2개 이하로 찾음 $\to$ 15주차 규범 절 재독.
- 20번은 정답이 하나로 정해지지 않는 진단 문제 — 막힌 지점을 언어화했다면 통과.

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**다음 주 예고:** 5부 개막 — 대우 증명(contrapositive proof). 1주차 문제 11 해설의 예고에서 막혔던 "$n^2$이 홀수이면 $n$은 홀수"(19주차 문제 4)와 그 짝수판 "$n^2$이 짝수이면 $n$은 짝수"(19주차 예제 2.1)를 드디어 증명한다. 9주차에서 확인한 동치 $P \Rightarrow Q \equiv \neg Q \Rightarrow \neg P$를 증명 기법으로 사용한다.