# 8주차 — 조건문과 필요·충분조건

:::{admonition} 이 주의 길잡이
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**핵심 문장**: $P \Rightarrow Q$가 거짓이 되는 경우는 단 하나 — $P$는 참인데 $Q$가 거짓일 때.

**이 주의 위치**: 50주 과정의 8주차. "이면"에 진리표를 부여하고, 진리집합으로 논리와 집합의 다리를 완성한다. 고1 명제 단원(필요조건$\cdot$충분조건$\cdot$진리집합)과 가장 직결되는 주다.

**원서 대응**: BoP(Book of Proof) 2.3 (Conditional Statements), 2.4 (Biconditional Statements) — 원서 없이 읽을 수 있다.
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## 이번 주 목표

1. $P \Rightarrow Q$의 진리표를 백지에 쓰고, F$\Rightarrow$무엇이든 = T로 정할 수밖에 없는 이유를 설명할 수 있다.
1. "이면 / only if / 충분조건 / 필요조건"을 화살표 기호로 정확히 번역할 수 있다.
1. 진리집합으로 "$P \Rightarrow Q$ 참"과 "$P \subseteq Q$"를 연결할 수 있다 (집합 $\leftrightarrow$ 논리 다리의 완성).
1. $P \iff Q$(쌍조건문)가 화살표 두 개의 "그리고"임을 알고, 판정에 쓸 수 있다.

본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

## 준비 운동 (7주차 복습)

1. $\land, \lor, \neg$의 진리표를 백지에 그리시오.
1. $P$: 참, $Q$: 거짓일 때 $\neg(P \land Q) \lor Q$의 진리값은?
1. 논리–집합 대응표($\land$–$\cap$, $\lor$–$\cup$, $\neg$–$^c$)를 쓰시오.
1. (이번 주의 진단) "모든 실수 $x$에 대해, $x > 3$이면 $x^2 > 9$이다"는 참인 명제로 보인다.

그런데 $x = 1$을 넣으면 가정($1 > 3$)도 결론($1 > 9$)도 거짓이다. 이 $x = 1$에서 "$x > 3$이면 $x^2 > 9$"의 진리값은 무엇이라고 해야 하는가? 답을 노트에 적어 둔다.

### 자주 나오는 세 가지 답 — 4번 문항

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

- **유형 1 — "무관하다".** "$x = 1$은 가정에 해당하지 않으므로 무관하다"라고 적는다.

감각은 정확하다 — 가정 밖의 $x$가 명제를 흔들면 안 된다. 빠진 것은 처리다: 정의 7.1에 의해 명제는 참$\cdot$거짓 중 **정확히 하나**를 가져야 하므로 "무관"이라는 제3의 값은 허용되지 않는다. 이 감각을 둘 중 하나로 번역하는 것이 이번 주의 첫 임무다.

- **유형 2 — "판정 불능".** "가정이 성립하지 않으니 정할 수 없다"라고 적는다.

신중함은 옳다. 문제는 유형 1과 같다 — 진리값 미정인 문장은 명제가 아니게 되고, "모든 실수 $x$에 대해"라는 문장 전체의 진리값도 정할 수 없게 된다. 수학은 이 자리에 값을 **정해 둔다**. 무엇으로, 왜 그쪽인지를 §1.2에서 본다.

- **유형 3 — "거짓이다".** "가정이 안 맞으니 그 $x$에서는 거짓"이라고 적는다.

"성립하지 않는다 = 거짓"이라는 규칙을 적용한 것인데, 이 규칙을 채택하면 참이어야 마땅한 위 명제 자체가 $x = 1$ 때문에 거짓이 된다. 무엇이 무너지는지를 §1.2와 문제 20에서 정확히 추적한다.

## 개념 — "이면"의 진리표

### 1 일곱 주 동안 쓴 낱말, 아직 없는 규칙

1주차부터 지금까지 "이면"을 계속 써 왔다 — "$n$이 짝수**이면** $n^2$도 짝수". 7주차에서 $\land, \lor, \neg$에 진리표를 부여했지만, 정작 가장 많이 쓴 "이면"의 진리표는 아직 없다. 있는 도구로 조립이 되는지부터 시도해 보자.

:::{admonition} 시도 — $\land$로 조립하기
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$P(n)$: "$4 \mid n$", $Q(n)$: "$2 \mid n$"으로 두고, "4의 배수이면 짝수이다"를

$P \land Q$로 적어 보자. $n = 8$에서는 $P$ 참, $Q$ 참으로 $\land$가 참 — 좋아

보인다. 그런데 $n = 2$를 넣으면 …
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여기서 멈춘다.

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**확인 1.** $n = 2$에서 $P \land Q$의 진리값은 무엇인가. 그 값은 "4의 배수이면

짝수이다"라는 문장에 대한 판정으로 적절한가?
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:::{admonition} 답
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$P(2)$: "$4 \mid 2$"는 거짓, $Q(2)$: "$2 \mid 2$"는 참 — $\land$는 **거짓**이다.

그러나 2는 4의 배수가 아니어서 이 문장이 2에 대해 약속한 것이 없으므로,

"4의 배수이면 짝수"가 $n = 2$ 때문에 거짓이 될 수는 없다. $\land$는 "둘 다

참"의 주장이라 "이면"과 다르고, $\lor$도 $n = 3$(둘 다 거짓)에서 실패한다.

"이면"에는 자기만의 진리표가 필요하다.
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필요한 것이 분명해졌다. 진리값 네 조합(TT, TF, FT, FF) 각각에서 "$P$이면 $Q$"의 진리값을 정하는 표다. TT와 TF 두 행은 직관이 바로 정해 준다 — 가정이 실현됐는데 결론이 나오면 참, 안 나오면 거짓. 문제는 준비 운동 4번에서 만난 **F 행 둘**이다.

### 2 깨졌는가, 안 깨졌는가 — 표를 채우며 F 행 정하기

일상의 조건문 하나로 네 행을 전부 판정해 보자. 어떤 사람이 아이에게 말했다: "시험에 합격하면($P$) 자전거를 사 주마($Q$)." 네 상황 각각에 대해 "약속이 깨졌는가"를 채워 보자.

| **합격?** | **자전거?** | **약속은 깨졌는가** |
|---|---|---|
| 합격 (T) | 사 줌 (T) | 안 깨짐 |
| 합격 (T) | 안 사 줌 (F) | $\underline{\quad(1)\quad}$ |
| 불합격 (F) | 사 줌 (T) | $\underline{\quad(2)\quad}$ |
| 불합격 (F) | 안 사 줌 (F) | $\underline{\quad(3)\quad}$ |

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**확인 2.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, "깨짐"이 등장하는 행이 몇 개인지 세어 보자.
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:::{admonition} 답
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(1) **깨짐** — 합격했는데 자전거가 없다. 위반이 실제로 일어난 유일한 상황이다.

(2) 안 깨짐 — 약속에 없던 선물을 한 것일 뿐, 약속을 어긴 것은 아니다.

(3) 안 깨짐 — 불합격이면 약속이 요구하는 것이 없으므로 어길 방법 자체가 없다.

"깨짐"은 **한 행뿐**이다. 조건문은 "가정이 실현됐는데 결론이 안 나오는 일은

없다"는 보증이고, 가정이 실현되지 않으면 보증은 자동으로 유지된다.
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수학 문장에서도 같은 판정이 강제된다. 준비 운동 4번의 명제 "모든 실수 $x$에 대해, $x > 3 \Rightarrow x^2 > 9$"에 몇 개의 $x$를 대입해 보면 —

| **$x$** | **$x > 3$** | **$x^2 > 9$** | **이 $x$에서의 행** |
|---|---|---|---|
| $4$ | T | T | T$\Rightarrow$T |
| $1$ | F | F | F$\Rightarrow$F |
| $-5$ | F | T | F$\Rightarrow$T |

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**확인 3.** 이 명제가 "모든 실수 $x$에 대해" 참이려면, F$\Rightarrow$F 행과

F$\Rightarrow$T 행의 진리값을 무엇으로 정할 수밖에 없는가?
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:::{admonition} 답
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둘 다 **참**으로 정할 수밖에 없다. 어느 한쪽이라도 거짓으로 정하면 $x = 1$이나

$x = -5$가 명제를 무너뜨린다(준비 운동 유형 3의 결말). 명제가 "참"이라는 것은

**명제를 무너뜨리는 $x$ — T$\Rightarrow$F 행이 되는 $x$ — 가 하나도 없다**는

뜻이고, 가정에 해당하지 않는 $x$들은 전부 자동으로 통과시켜야 한다.
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이 판정에 정식 이름과 형식을 붙인다. 표 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 두 표에서 내린 판정을 네 행으로 굳혔을 뿐이다.

### 정의 8.1 — 조건문 (conditional statement) [백지 암기 대상]

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명제 $P, Q$에 대해, **조건문** $P \Rightarrow Q$("P이면 Q이다", if P then Q)는

$P$가 참이고 $Q$가 거짓일 때만 거짓이고, 나머지 경우에는 참인 명제이다.

$P$를 **가정**(hypothesis), $Q$를 **결론**(conclusion)이라 한다.
:::

| **$P$** | **$Q$** | **$P \Rightarrow Q$** |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | **F** $\leftarrow$ 유일한 거짓 |
| F | T | T $\leftarrow$ 공허한 참 |
| F | F | T $\leftarrow$ 공허한 참 |

기호 $\Rightarrow$는 "이면", 전체는 "$P$이면 $Q$이다"로 읽는다. 가정이 거짓이어서 자동으로 참이 되는 아래 두 행의 참을 **공허한 참**(vacuously true)이라 부른다 — 보증할 내용이 비어 있어서 얻는 참이라는 뜻이다. 읽는 법까지가 정의다.

### 3 정의 해부 — 행마다 하는 일

이 진리표는 네 행으로 되어 있고, 행마다 판정에서 맡는 역할이 다르다.

| **행(조각)** | **하는 일** | **판정에서의 역할** |
|---|---|---|
| T$\Rightarrow$T = T | 보증 이행의 확인 | 가정이 실현되고 결론이 나온 사례를 통과시킨다 |
| T$\Rightarrow$F = F | **보증 파기의 판정** | 조건문을 무너뜨리는 유일한 행 — 반례 탐색은 이 행만 찾는다 |
| F$\Rightarrow$T = T | 가정 밖 사례의 통과 | 가정에 해당하지 않는 대상이 명제를 훼방하지 못하게 막는다 |
| F$\Rightarrow$F = T | 가정 밖 사례의 통과 | 위와 같다 — "모든 $x$" 명제의 참을 지키는 안전판 |

**행 변경 실험.** 넷째 행 F$\Rightarrow$F를 F로 바꿔 보자. 그러면 "$4 \mid x \Rightarrow 2 \mid x$"가 $x = 3$(가정 거짓, 결론 거짓)에서 거짓이 된다.

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**확인 4.** F$\Rightarrow$F를 F로 바꾸는 순간 정확히 무엇이 무너지는가?

(1주차의 "홀수이면 $n^2$이 홀수" 같은 명제들은 어떻게 되는지 함께 생각해 보자.)
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가정과 결론이 **동시에 거짓**이 되는 대상이 하나라도 있는 "모든 $x$" 조건문이

전부 거짓이 된다. "$n$이 홀수이면 $n^2$이 홀수"는 $n = 2$(가정 거짓, 결론

거짓)에서, 추이성은 예컨대 $(a, b, c) = (2, 3, 5)$(가정 거짓 — $2 \nmid 3$,

결론 $2 \mid 5$도 거짓)에서 무너진다 — 1~2주차에 증명한 명제 상당수가 거짓이

되는 붕괴다. 진리표의 행 하나하나가 이 붕괴를 막는 조건이다.

(F$\Rightarrow$T 쪽은 확인 3의 $x = -5$가 같은 방식으로 강제했고, 문제 20에서

서술로 정리한다.)
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**공허한 참은 초면이 아니다.** 4주차의 $\emptyset \subseteq A$를 조건문으로 다시 쓰면 "모든 $x$에 대해, $x \in \emptyset \Rightarrow x \in A$" — 가정이 항상 거짓이므로 전부 공허한 참이다. "어길 원소가 없어서 참"이라던 그 논리의 정체가 이 진리표의 아래 두 행이다(문제 18에서 완성한다).

**진리표가 1주차의 첫 문장을 정당화한다.** 1주차 예제 2.1의 증명은 "$m$과 $n$을 짝수라 하자"로 시작했다 — 짝수가 아닌 정수는 검토조차 하지 않았다.

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**확인 5.** 조건문 "$m, n$이 짝수이면 $m + n$이 짝수"를 증명하면서 짝수가 아닌

$m, n$을 검토하지 않아도 되는 이유를, 진리표의 행으로 설명해 보자.
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:::{admonition} 답
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가정이 거짓인 대상들은 F 행이므로 **자동으로 참**이다(공허한 참). 거짓이 될

수 있는 행은 T$\Rightarrow$F뿐이므로, 증명이 할 일은 "가정이 참인 경우에

결론도 참"임을 보이는 것이 전부다. 그래서 조건문 증명의 첫 문장은 언제나

가정을 참이라 선언하고 시작한다 — 1주차부터 써 온 서식의 논리적 근거가 이

진리표다(증명 서식으로의 정식 승격은 15주차).
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### 4 조건문의 여러 표현 — 같은 화살표, 다른 문장

수학 문헌은 $P \Rightarrow Q$를 여러 문형으로 적는다. 다음은 **전부** 같은 명제다.

| **표현** | **예 ($P$: $n$은 4의 배수, $Q$: $n$은 짝수)** |
|---|---|
| P이면 Q | 4의 배수이면 짝수다 |
| Q if P | $n$ is even **if** $n$ is a multiple of 4 |
| **P only if Q** | 4의 배수인 것은 **오직** 짝수일 때뿐 |
| P는 Q이기 위한 **충분조건** | 4의 배수임은 짝수이기 위한 충분조건 |
| Q는 P이기 위한 **필요조건** | 짝수임은 4의 배수이기 위한 필요조건 |
| Q whenever P | whenever $n$ is a multiple of 4, it is even |

여섯 줄 중 두 곳에서 번역 사고가 집중적으로 일어난다. 하나씩 해부한다.

**only if.** "P only if Q"를 $Q \Rightarrow P$로 옮겨 적는 경우가 많다 — "if"가 보이니 if 규칙(if 뒤 = 가정)을 적용한 것인데, "only"가 규칙을 뒤집는다. "P only if Q" = "Q 없이 P 없다" = "P가 참인데 Q가 거짓일 수는 없다" — T$\Rightarrow$F의 금지이므로 정확히 $P \Rightarrow Q$다. if는 화살표가 들어오고, only if는 화살표가 나간다.

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**확인 6.** "정수 $n$이 8의 배수인 것은 only if $n$이 4의 배수일 때다"를

화살표로 번역해 보자. 화살표는 어느 쪽을 향하는가?
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:::{admonition} 답
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($n$은 8의 배수) $\Rightarrow$ ($n$은 4의 배수). only if 뒤가 **결론**이다.

검산: $8k = 4(2k)$이므로 이 번역은 참인 명제다. 반대 번역은 $n = 4$가

무너뜨리는 거짓 명제 — 번역이 옳은 명제를 주는지 검산하는 습관이 사고를 막는다.
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**충분과 필요.** $P \Rightarrow Q$가 참이라 하자. $P$를 확인하는 순간 $Q$는 따라 나온다 — $P$의 성립은 $Q$를 보장하기에 **충분**하다. 한편 $Q$가 거짓이면 T$\Rightarrow$F 금지에 의해 $P$도 참일 수 없다 — $Q$의 성립은 $P$이기 위해 **필요**하다. 두 용어가 화살표 하나에서 나온다.

**암기 문장:** 충분조건은 화살표의 **꼬리**, 필요조건은 화살표의 **머리**. ($P \Rightarrow Q$: $P$가 충분, $Q$가 필요)

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**확인 7.** "$x > 5$임은 $x > 0$이기 위한 $\underline{\quad}$조건이고,

$x > 0$임은 $x > 5$이기 위한 $\underline{\quad}$조건이다." 두 빈칸을 채우고,

어느 방향 화살표가 참이어서 그런지 적어 보자.
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:::{admonition} 답
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충분 / 필요. 참인 화살표는 ($x > 5$) $\Rightarrow$ ($x > 0$) 하나다 — $x > 5$는

꼬리이므로 충분조건, $x > 0$은 머리이므로 필요조건. 역방향은 $x = 1$(가정 참,

결론 거짓)이 무너뜨리는 거짓 명제다.
:::

### 5 진리집합 — 논리와 집합의 다리 완성

7주차에서 $\land$–$\cap$, $\lor$–$\cup$, $\neg$–$^c$의 대응을 세웠다. 화살표에 대응하는 집합 관계가 이 절의 주제다.

열린 문장 $P(x)$에 대해, $P(x)$를 참으로 만드는 원소 전체의 집합

$$
P = \{x \in U : P(x) \text{ 참}\}
$$

을 $P(x)$의 **진리집합**(truth set)이라 한다. 문장과 그 진리집합을 같은 문자로 적는 것이 관례다.

구체 사례로 채워 보자. $U = \mathbb{Z}$, $P(x)$: "$4 \mid x$", $Q(x)$: "$2 \mid x$".

| **$x$** | **$P(x)$** | **$Q(x)$** | **이 $x$에서 $P(x) \Rightarrow Q(x)$는** |
|---|---|---|---|
| $8$ | 참 | 참 | T$\Rightarrow$T = T |
| $6$ | 거짓 | 참 | $\underline{\quad(1)\quad}$ |
| $3$ | 거짓 | 거짓 | $\underline{\quad(2)\quad}$ |

:::{container} quotebox
**확인 8.** 빈칸 (1)(2)를 채우고, 두 진리집합 $P = \{x \in \mathbb{Z} : 4 \mid x\}$와

$Q = \{x \in \mathbb{Z} : 2 \mid x\}$를 원소 나열로 적은 뒤 포함 관계를 판정해 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(1) F$\Rightarrow$T = T  (2) F$\Rightarrow$F = T.

$P = \{\dots, -8, -4, 0, 4, 8, \dots\}$, $Q$ = 짝수 전체. 4의 배수 $4k$는 전부

$2(2k)$ 꼴이므로 $P \subseteq Q$이다. 그리고 어느 $x$에서도 T$\Rightarrow$F가

없었다 — 포함 관계와 "무너뜨리는 $x$ 없음"이 함께 성립하고 있다. 우연인지

필연인지를 다음 확인에서 따진다.
:::

:::{container} quotebox
**확인 9.** 다음 유도의 빈칸을 채워 보자.

"모든 $x$에 대해 $P(x) \Rightarrow Q(x)$"가 참 = T$\Rightarrow$F가 되는 $x$가

없다 = $P(x)$는 참인데 $Q(x)$는 $\underline{\quad(1)\quad}$인 $x$가 없다

= $P$의 원소 중 $Q$ $\underline{\quad(2)\quad}$에 있는 것이 없다

= $P\ \underline{\quad(3)\quad}\ Q$.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(1) 거짓  (2) 밖  (3) $\subseteq$.

조건문의 참(유일한 거짓 행의 부재)과 부분집합의 정의가 **같은 문장의 두

표기**임이 확인됐다. 고1 때 "충분조건 $\subseteq$ 필요조건"으로 외운 규칙이

이것이다 — 이제는 외울 필요가 없다. 정의 두 개를 붙이면 저절로 나온다.
:::

방금 유도한 것을 못 박아 둔다.

:::{admonition} 백지 암기 대상
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**진리집합의 다리**

$$
\text{"모든 } x \text{에 대해 } P(x) \Rightarrow Q(x)\text{"가 참} \iff P \subseteq Q
$$

좌변은 논리의 문장, 우변은 집합의 문장이다. 조건 판정 문제는 이 다리로

집합의 포함 판정 문제가 된다.
:::

### 6 쌍조건문 — 화살표 두 개의 "그리고"

양방향이 모두 참인 경우가 있다 — 확인 7의 사례와 달리 "$x = 3$"과 "$3x = 9$"는 서로가 서로를 함의한다. 이 관계에 이름을 붙인다.

### 정의 8.2 — 쌍조건문 (biconditional) [백지 암기 대상]

:::{container} quotebox
$P \iff Q$("P일 필요충분조건은 Q", P if and only if Q)는

$(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$의 축약이다.
:::

| **$P$** | **$Q$** | **$P \iff Q$** |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | **T** |

기호 $\iff$는 "필요충분" 또는 "동치"로 읽고, 영어 문헌은 **iff**로 줄여 쓴다. 이 진리표를 $\land$ 식에서 유도하는 작업은 문제 4에서 직접 한다.

:::{container} quotebox
**확인 10.** 위 표에서 $P \iff Q$가 참인 두 행의 공통점은 무엇인가.

그리고 진리집합의 다리(§1.5)를 양방향에 적용하면, "$P \iff Q$가 모든 $x$에서

참"은 진리집합 $P$와 $Q$의 어떤 관계로 번역되는가?
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

참인 행은 TT와 FF — $P$와 $Q$의 **진리값이 같은** 행이다. 양방향에 다리를

놓으면 $P \subseteq Q$와 $Q \subseteq P$가 동시에 성립하는 것 — 서로가 서로의

부분집합이면 상등이므로(5주차의 상등 판정) $P = Q$다. 필요충분 = 진리집합의 상등.
:::

### 7 근거 목록 갱신 — 판정 규칙이 늘었다

근거 ①~④(①정의 ②닫힘성 ③등식의 성질 ④이미 증명한 명제)는 증명에서 쓸 수 있는 것의 전체 목록이다. 이번 주의 갱신은 다음과 같다.

| **근거** | **이번 주의 갱신** |
|---|---|
| ① 정의 | 정의 8.1(조건문), 8.2(쌍조건문), 진리집합이 추가된다 |
| ② 닫힘성 | 변화 없음 |
| ③ 등식의 성질 | 변화 없음 |
| ④ 이미 증명한 명제 | 진리표로 확정한 사실들이 이후 주차의 부품이 된다 — $P \Rightarrow Q$와 $\neg P \lor Q$의 일치(문제 15)는 9주차 부정 계산의 재료다 |

칸의 개수는 늘지 않는다. 실제로 늘어난 것은 목록 밖의 기반 — 명제의 참$\cdot$거짓을 **계산**하는 규칙(진리표)이다.

:::{container} quotebox
**확인 11.** 어떤 판정 답안에 다음 두 근거 문장이 나왔다. 각각 허용되는가?

(가) "가정이 거짓이므로 이 행은 공허한 참이다"

(나) "가정이 성립 안 하니 말이 안 되는 문장이고, 따라서 거짓이다"
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(가) 허용 — 정의 8.1의 F 행(근거 ①)을 정확히 인용했다.

(나) 불허 — 정의 8.1에 없는 규칙이다. 준비 운동 유형 3의 규칙이고, 확인 4에서

본 대로 채택하는 순간 1~2주차의 명제 전부가 무너진다. 판정의 근거는 느낌이

아니라 진리표의 행이다.
:::