# 7주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

## 예제 — 판정과 진리표를 함께 만들기

1~2주차의 예제가 증명을 한 줄씩 만들었다면, 이번 주의 예제는 판정을 한 칸씩 만든다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다.

### 예제 2.1 — 진리값 계산

**문제.** $P$: "$3 \mid 12$", $Q$: "$5 \mid 12$"일 때 다음의 진리값을 구한다. (a) $P \land Q$  (b) $P \lor Q$  (c) $\neg Q$  (d) $\neg P \land Q$

**설계 — 계산 전에 정하는 두 가지.** 증명의 번역표(가정 $\to$ 출발점, 목표 $\to$ 도착점)와 같은 순서다. 주어진 것과 만들 것을 먼저 확정한다.

|  | **말** | **처리 방식** |
|---|---|---|
| 주어진 것 (출발점) | 원자 명제 $P$, $Q$ | 각각의 진리값을 2주차 정의 2.1로 판정해 확정한다 |
| 만들 것 (도착점) | (a)~(d)의 진리값 | 정의 7.3의 규칙을 안쪽부터 적용해 T/F 하나를 판독한다 |

:::{container} quotebox
**확인 10.** 출발점부터 처리해 보자. $12 = 3 \times \underline{\quad}$이고 그 수가

정수이므로 $P$는 $\underline{\quad}$이다. $12 = 5c$인 정수 $c$는 $\underline{\quad}$하므로

$Q$는 $\underline{\quad}$이다.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

$12 = 3 \times 4$이고 $4 \in \mathbb{Z}$이므로 $P$는 **참**(T)이다. $12 = 5c$이려면

$c = \frac{12}{5}$인데 정수가 아니므로 그런 정수는 **존재하지 않고**, $Q$는

**거짓**(F)이다. 원자의 진리값 판정에 쓴 것은 2주차 정의 2.1(근거 ①)이다 — 논리

계산은 언제나 원자 판정 위에 선다.
:::

:::{container} quotebox
**확인 11.** (a)~(c)를 판정해 보자. (a) $P \land Q$ — 적용할 규칙은

"$\underline{\qquad}$일 때만 참"이므로 값은 $\underline{\quad}$.

(b) $P \lor Q = \underline{\quad}$.  (c) $\neg Q = \underline{\quad}$.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(a) "둘 **다** 참일 때만 참"이 $\land$의 규칙이다. $Q$ 하나가 F인 순간 조건이

무너지므로 $P$를 볼 것도 없이 **F** — 하나의 거짓이 전체를 거짓으로 만든다.

(b) $\lor$는 "적어도 하나가 참이면 참" — $P$가 T이므로 **T**. 하나의 참이 전체를

참으로 만든다 — $\land$과 정확히 반대 방향이다.

(c) $\neg$는 진리값을 뒤집는다 — $Q$가 F이므로 $\neg Q$는 **T**.
:::

:::{container} quotebox
**확인 12.** (d) $\neg P \land Q$는 연산이 두 개다. §1.6의 절차대로 안쪽부터:

$\neg P = \underline{\quad}$이고, 따라서 $\neg P \land Q = \underline{  } \land

\underline{  } = \underline{  }$이다.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

안쪽 $\neg P$부터: $P$가 T이므로 $\neg P$ = **F**. 바깥 $\land$: $\neg P \land Q$ =

F $\land$ F = **F**. ($\neg$는 바로 뒤의 $P$에만 붙는다 — $\neg(P \land Q)$였다면

값이 T로 달라진다. 괄호의 유무가 명제를 바꾼다.)
:::

**완성본.** 방금 만든 판정을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다.

| 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
| $12 = 3 \times 4$, $4 \in \mathbb{Z}$이므로 $P$는 T. $12 = 5c$인 정수 $c$는 없으므로 $Q$는 F. | 원자 명제의 진리값 확정(정의 2.1, 근거 ①). 복합 명제의 계산은 원자의 값에서 시작한다. |
| (a) $Q$가 F이므로 $P \land Q$ = F. | $\land$는 둘 다 T일 때만 T(정의 7.3) — 하나의 F가 전체를 F로 확정한다. |
| (b) $P$가 T이므로 $P \lor Q$ = T. | $\lor$는 하나만 T여도 T — 하나의 T가 전체를 T로 확정한다. |
| (c) $Q$가 F이므로 $\neg Q$ = T. | $\neg$는 진리값을 뒤집는다. |
| (d) $\neg P$ = F이고, F $\land$ F = F. | 안쪽 연산부터 계산한다(§1.6의 절차 ②③). |

### 예제 2.2 — $\neg(P \land Q)$의 진리표

이번에는 특정 진리값이 아니라 **모든** 진리값 조합에 대한 판정 — 진리표 — 을 만든다. 설계만 함께 하고, 표는 완성본으로 본다.

:::{container} quotebox
**확인 13.** §1.6의 절차대로 설계해 보자. ① 변수가 $\underline{\quad}$개이므로

$\underline{\quad}$행. ② 안쪽 연산의 열, 곧 원자 열 다음에 먼저 추가할 열은

$\underline{\qquad}$이다.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

① 변수 2개($P$, $Q$) $\to$ $2^2 = 4$행. ② 괄호 안의 $P \land Q$ 열을 먼저 만들고,

그 열을 뒤집어 $\neg(P \land Q)$ 열을 완성한다. 부정의 범위가 괄호로 $P \land Q$

전체에 걸려 있다 — $\neg P \land Q$(예제 2.1 (d))와는 다른 명제다.
:::

| **$P$** | **$Q$** | **$P \land Q$** | **$\neg(P \land Q)$** |
|---|---|---|---|
| T | T | T | F |
| T | F | F | T |
| F | T | F | T |
| F | F | F | T |

**관찰.** 마지막 열이 T인 행은 둘째~넷째 행 — "$P$ 그리고 $Q$"가 거짓이 되는 것은 **적어도 하나가 거짓**일 때다. 그렇다면 마지막 열은 $\neg P \lor \neg Q$의 열과 같아 보인다. 이 예감은 문제 4에서 행별 대조로 확인하고, 정식 이름(드모르간 법칙)과 선언은 9주차에서 한다 — 5주차에 벤 다이어그램으로 관찰만 해 둔 그 법칙의 논리 버전이다.

### 예제 2.3 — 수학 문장 분해

**문제.** "$6 \le x \le 10$"을 논리 연산으로 분해하시오.

이번에는 설계부터 혼자 한다 — 원자 문장이 무엇인지, 접속사가 무엇인지를 스스로 정한 뒤 아래 풀이와 대조한다.

**풀이.** 부등식 연쇄 $6 \le x \le 10$은 두 조건이 동시에 성립한다는 뜻이므로, 원자는 "$6 \le x$"와 "$x \le 10$" 두 개이고 접속사는 "그리고"다:

$$
(6 \le x) \land (x \le 10)
$$

부등식 연쇄는 "그리고"의 축약 표기다. 반면 "$x^2 = 4$의 해는 $x = 2$ 또는 $x = -2$"는 두 등식 중 적어도 하나가 성립한다는 뜻이므로 $(x = 2) \lor (x = -2)$로 분해된다. 고1에서 외운 "연립부등식의 해는 교집합, 방정식의 해 모으기는 합집합"의 논리적 정체가 이것이다 — $\land$가 $\cap$으로, $\lor$가 $\cup$으로 나타난 것뿐이다(정의 7.3 아래의 논리–집합 대응표). 각 원자가 열린 문장(정의 7.2)이므로 분해 결과도 열린 문장이다.

### 관찰 — 세 예제의 같은 뼈대

예제 2.1(값 계산), 2.2(진리표), 2.3(문장 분해)은 소재가 다르지만 뼈대가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

:::{container} quotebox
**확인 14.** 각 예제에서 다음 세 단계에 해당하는 대목을 찾아 보자.

① 원자 확정 — 2.1에서는 $P, Q$의 진리값 판정, 2.3에서는 $\underline{\qquad}$

② 안쪽부터 규칙 적용 — 2.1(d)에서는 $\neg P$ 먼저, 2.2에서는 $\underline{\qquad}$ 먼저

③ 결과 판독 — 2.1은 T/F 하나, 2.2는 $\underline{\qquad}$ 전체
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

① 2.3에서는 원자 문장 두 개("$6 \le x$", "$x \le 10$")를 찾아내는 일이다.

② 2.2에서는 괄호 안 $P \land Q$ 열을 먼저 만든다.

③ 2.2의 결과는 마지막 열 전체 — 조합마다의 판정 목록이다.

세 예제 모두 정확히 이 세 걸음이다.
:::

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

:::{admonition} 백지 암기 대상
:class: keybox

**복합 명제 처리의 3단계 틀**

① 원자 명제로 쪼개고 진리값(또는 변수)을 확정한다 $\to$ ② 안쪽 연산부터 정의 7.3의 규칙을 하나씩 적용한다 $\to$ ③ 마지막 값(또는 열)을 판독한다
:::

이 틀은 8주차의 조건문, 9주차의 동치 계산에서도 그대로 쓰는 기본형이다.

## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며

필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

### 훈련 1 ●○○ — 값 빈칸

$P$가 참, $Q$가 거짓일 때 두 명제의 진리값을 계산한다.

**계산.** $P \lor Q$는 $P$가 참이므로 $\underline{\quad(1)\quad}$이고, 부정은 진리값을 뒤집으므로 $\neg(P \lor Q) = \underline{\quad(2)\quad}$이다. 한편 $\neg P = \underline{\quad(3)\quad}$, $\neg Q = \underline{\quad(4)\quad}$이므로 $\neg P \land \neg Q = \underline{\quad(5)\quad}$이다.

(두 결과가 같은지 관찰해 둔다 — 예제 2.2의 예감과 짝을 이루는 관찰이고, 문제 18(b)에서 표 전체로 확인한다.)

### 훈련 2 ●●○ — 값과 근거를 함께

$P$와 그 부정을 연산으로 묶은 두 명제의 진리표다. 빈칸을 채운다.

| **$P$** | **$\neg P$** | **$P \land \neg P$** | **$P \lor \neg P$** |
|---|---|---|---|
| T | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ |
| F | $\underline{\quad(4)\quad}$ | $\underline{\quad(5)\quad}$ | $\underline{\quad(6)\quad}$ |

마지막 두 열을 읽으면 — $P \land \neg P$는 진리값이 항상 $\underline{\quad(7)\quad}$이고, $P \lor \neg P$는 항상 $\underline{\quad(8)\quad}$이다. 근거: 어느 행에서든 $P$와 $\neg P$는 진리값이 서로 $\underline{\quad(9)\quad}$이기 때문이다.

이렇게 모든 행에서 거짓인 명제를 **모순**(contradiction), 모든 행에서 참인 명제를 **항진명제**(tautology)라 한다. "$P \land \neg P$는 항상 거짓" 위에 21주차 귀류법이 선다 — 지금 확인한 두 행짜리 표가 그 기초 공사다. 문제 16의 (a)(b)가 이 훈련의 결과를 재사용한다.

### 훈련 3 ●●● — 절차의 뼈대만

**명제.** $\neg P \lor (Q \land R)$의 진리표를 작성한다.

§1.6의 절차 세 걸음을 각 칸에 통째로 채운 뒤, 실제 표를 완성해 해설과 대조한다.

- ① 행 수와 원자 열 나열 방식: $\underline{\quad(1)\quad}$
- ② 원자 열 다음에 추가할 중간 열(안쪽부터 순서대로): $\underline{\quad(2)\quad}$
- ③ 완성 후 판독 — 마지막 열이 T가 되는 행의 특징: $\underline{\quad(3)\quad}$

(이 훈련이 문제 3, 19(8행 진리표)의 예행연습이다.)

## 연습문제 (20문항)

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 진리표 문제는 §1.6의 절차(행 수 $\to$ 원자 열 $\to$ 안쪽 열 $\to$ 바깥 열) 순서로 쓴다.

:::{admonition} 이번 주의 채점 기준
:class: quotebox

답이 아니라 **근거**가 점수다. "(b)는 T(맞음)"는 0점이고, "$P$가 참이므로 $\lor$의

규칙(하나만 참이어도 참)에 의해 T"가 만점이다. 진리표 문제는 중간 열을 생략하지 않는

것까지가 근거다. 난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.
:::

### 기본 ●○○

**1.** 명제인지 판별하고, 명제면 진리값을 쓰시오. (a) $17 \in \mathbb{N}$  (b) $x^2 \ge 0$  (c) $\{1\} \subseteq \{1,2\}$  (d) 소수는 아름다운 수이다.  (e) $0.5 \in \mathbb{Z}$

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

기준은 하나 — 진리값이 정확히 하나로 확정되는가(정의 7.1). 변수가 살아 있으면

열린 문장, 주관$\cdot$명령이면 명제 아님. (b)에서 $x$의 지위를 먼저 확인한다.
:::

**2.** $P$: "$2$는 짝수" (참), $Q$: "$7$은 짝수" (거짓), $R$: "$9 = 3^2$" (참)일 때 진리값을 구하시오. (a) $P \land R$  (b) $Q \lor R$  (c) $\neg P \lor Q$  (d) $(P \land Q) \lor R$  (e) $P \land (Q \lor \neg R)$

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

원자의 값(T, F, T)을 먼저 적어 놓고, 괄호 안 $\to$ 밖의 순서로 규칙을 기계 적용한다.

$\land$는 "둘 다 T여야 T", $\lor$는 "하나만 T여도 T"다.
:::

**3.** $P \lor (Q \land R)$의 진리표를 작성하시오. (8행)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

변수 3개 $\to$ $2^3 = 8$행. 원자 열은 §1.6 절차 ①의 반씩 쪼개기로 나열하고, 괄호 안

$Q \land R$ 열을 먼저 만든 뒤 $P$와 $\lor$한다.
:::

:::{admonition} 두 명제가 "같다"는 것 — 문제 4$\cdot$7$\cdot$13$\cdot$15$\cdot$18의 판정 기준
:class: quotebox

두 복합 명제를 비교하라는 문제가 이어진다. 비교 기준은 하나 — 진리표의 마지막

열이 **모든 행에서** 일치하는가다. 일치하면 두 명제는 어떤 진리값 조합에서도 같은

판정을 내리므로 서로 바꿔 쓸 수 있다. 이 관계의 정식 이름(논리적 동치)과 기호는

9주차에서 도입한다 — 지금은 판정만 한다.
:::

**4.** $\neg P \lor \neg Q$의 진리표를 작성하고, 예제 2.2의 $\neg(P \land Q)$ 열과 비교하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$\neg P$ 열과 $\neg Q$ 열을 각각 만든 뒤 $\lor$한다. 완성되면 예제 2.2의 마지막 열

(F, T, T, T)과 행별로 대조한다 — 표를 다시 만들 필요는 없다(근거 ④).
:::

**5.** 다음 문장을 $P(x)$ 꼴 열린 문장과 논리 연산으로 분해하시오. (a) "$x$는 짝수이고 3의 배수이다"  (b) "$x < -2$ 또는 $x > 2$"  (c) "$x$는 10 이상 20 미만"

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

접속사("이고", "또는")를 찾아 원자 문장으로 쪼갠다 — 예제 2.3의 절차다. (c)는

접속사가 숨어 있다: "이상"과 "미만"이 각각 부등식 하나씩이다.
:::

**6.** 다음 문장을 [참인 명제 / 거짓인 명제 / 열린 문장 / 명제 아님(기타)]으로 분류하시오. (a) $3 < 2$  (b) $x$는 소수이다  (c) 답을 말해라.  (d) $\emptyset \subseteq \emptyset$  (e) $n^2 = 2$인 정수 $n$이 존재한다

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

문제 1과 같은 기준에 더해, (e)는 "존재한다"가 변수 $n$을 묶는다는 점에 주의한다 —

§1.4의 확인 4에서 본 "열린 문장을 명제로 만드는 둘째 방법"이다.
:::

### 표준 ●●○

**7.** $\neg(\neg P)$의 진리표를 만들어 $P$와 같음을 확인하시오. 이 사실("이중부정")이 집합에서 무엇에 대응하는지 쓰시오.

**8.** $(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)$의 진리표를 작성하시오. 이 명제가 참이 되는 조건을 일상어로 표현하면 무엇인가? (힌트: "짜장 또는 짬뽕"의 그 '또는')

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

중간 열 셋 — $P \lor Q$, $P \land Q$, $\neg(P \land Q)$ — 을 차례로 쌓고 마지막에

$\land$한다. 완성되면 T인 행이 어떤 행인지 말로 옮겨 본다.
:::

**9.** 두 열린 문장 $P(n)$: "$2 \mid n$", $Q(n)$: "$3 \mid n$"에 대해, $P(n) \land Q(n)$이 참이 되는 $n$의 집합을 조건제시법과 생성형으로 각각 쓰시오. (5주차 문제 9의 재방문. "2로도 3으로도 나누어떨어지면 6의 배수"는 지금은 나열 관찰로 인정하고 쓴다 — 20주차에서 증명한다.)

**10.** $(P \land Q) \lor \neg P$의 진리표를 작성하시오.

**11.** 식당 메뉴에 "식사 주문 시 커피 또는 차를 드립니다"라고 쓰여 있다. (a) 일상어 해석과 (b) 논리학의 $\lor$ 해석이 어떻게 다른지 쓰고, (c) 5주차의 $A \cup B$가 어느 쪽 해석을 따르는지 답하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

"둘 다 받겠다"가 허용되는지가 두 해석의 분기점이다 — §1.5에서 수학이 어느 쪽을

택했고 왜 택했는지를 되짚는다.
:::

**12.** 다음을 논리 연산으로 분해하시오. (a) $|x| > 3$ (절댓값의 뜻을 부등식 두 개로)  (b) $0 < x \le 5$  (c) "$n$은 4의 배수도 6의 배수도 아니다"

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

(a) $|x| > 3$은 수직선에서 두 구간이다 — 잇는 접속사가 $\land$인지 $\lor$인지

헷갈리면, 원 문장을 만족하는 값 하나(예: $x = 4$)를 골라 그 독법의 판정이 원

문장과 갈리는지 검사한다. (c) "~도 ~도 아니다"는 부정 두 개를 어느 접속사로

잇는지가 관건이다.
:::

**13.** $P \lor (\neg P \land Q)$의 진리표를 작성하고, 이것이 $P \lor Q$와 같음을 확인하시오.

**14.** 집합 기호를 논리 기호로 번역하시오. (a) $x \in A - B$  (b) $x \in (A \cup B)^c$  (c) $x \in A \cap (B \cup C)$

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

각 연산의 정의문("그리고 / 또는 / 아니다")을 그대로 옮겨 적는다. (a)는 5주차

$A - B$의 정의문부터 소리 내어 읽어 본다.
:::

### 도전 ●●●

**15.** 진리표를 사용해 다음을 판정하시오: $P \land (Q \lor R)$와 $(P \land Q) \lor (P \land R)$는 모든 진리값 조합에서 일치하는가? 일치한다면, 이것은 집합의 어떤 법칙($\cap, \cup$의 관계식)에 대응하는가?

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

8행짜리 표 두 개가 부담스러우면 행을 묶는다 — $P$ = F인 네 행과 $P$ = T인 네 행에서

두 식이 각각 무엇이 되는지를 따로 본다. 집합 대응은 대응표로 번역하면 나온다.
:::

:::{admonition} 목표 열에서 명제를 역산하기 — 문제 16의 새 도구
:class: quotebox

지금까지는 명제에서 열을 계산했다. 문제 16은 방향이 반대다 — 열이 주어지고 그

열을 만드는 명제를 조립한다. 요령: 목표 열이 T인 행을 찾아, 그 행의 진리값 조합을

$\land$로 적는다(예: $P$ = T, $Q$ = F인 행 $\to$ $P \land \neg Q$). 그런 행이 여럿이면

각각을 $\lor$로 잇는다. 항상 참$\cdot$항상 거짓인 열은 훈련 2가 이미 만들어 두었다.
:::

**16.** 명제 변수 $P, Q$로 만든 복합 명제의 진리표 마지막 열은 (T/F 4칸이므로) 최대 $2^4 = 16$가지가 가능하다. 다음 각 목표 열을 만드는 복합 명제를 하나씩 제시하시오. (a) T, T, T, T (항상 참)  (b) F, F, F, F (항상 거짓)  (c) F, T, T, F ($P, Q$의 진리값이 다를 때만 참)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

(a)(b)는 훈련 2의 두 열이 그대로 답이다. (c)에서 T인 행은 둘째 행($P$=T, $Q$=F)과

셋째 행($P$=F, $Q$=T) — 각각을 $\land$로 적고 $\lor$로 잇는다. 또는 문제 8의

완성표에서 같은 열을 이미 만들었다(근거 ④).
:::

:::{admonition} 참$\cdot$거짓 두 가정으로 나누기 — 문제 17의 도구
:class: quotebox

명제라면 진리값은 참이거나 거짓, 정확히 하나다. 그러므로 "참이라면 어떻게

되는가"와 "거짓이라면 어떻게 되는가"를 각각 검토하면 전체를 빠짐없이 덮는다 —

1주차 문제 16에서 쓴 경우 나누기와 같은 틀이고, 채점 기준도 같다(빠짐없이

덮는가, 각 경우가 완결되는가). 양쪽 모두에서 충돌이 나면 "어느 진리값도 배정할

수 없다"는 결론이 남는다. 이 사고가 21주차 귀류법으로 자란다.
:::

**17.** (서술) "이 문장은 거짓이다"가 명제가 될 수 없는 이유를, 참이라 가정한 경우와 거짓이라 가정한 경우로 나누어 각각 한 문장으로 쓰시오. (귀류법식 사고의 첫 연습이다.)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

각 경우에서 "가정한 진리값"과 "문장이 주장하는 내용"을 나란히 놓는다 — 이 문장은

자기 자신의 진리값을 주장하므로 둘이 충돌하는지 검사할 수 있다.
:::

**18.** (a) $\neg(P \land P)$의 진리표를 만들어 $\neg P$와 같음을 확인하시오. (b) $\neg(\neg P \land \neg Q)$의 진리표를 만들어 $P \lor Q$와 같음을 확인하시오. — (b)는 "$\lor$는 $\neg$와 $\land$만으로 조립 가능"이라는 뜻이다.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

(a)는 2행, (b)는 4행. (b)는 안쪽 $\neg P \land \neg Q$ 열부터 쌓는다 — 훈련 1에서

한 값 계산의 표 버전이다. 완성되면 $P \lor Q$ 열과 행별 대조한다.
:::

**19.** $(P \lor Q) \land (\neg P \lor R)$의 진리표(8행)를 작성하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

두 괄호의 열을 각각 만들고 $\land$한다. $P$ = T인 행에서는 왼쪽 괄호가 자동으로

T이므로 전체 값은 오른쪽 괄호가 정하고, $P$ = F인 행에서는 반대다 — 이 관찰이

계산을 절반으로 줄인다.
:::

**20.** (서술) "거짓인 명제도 명제다"라는 사실이 수학에서 왜 중요한지, 다음 두 상황을 예로 들어 설명하시오: ① 어떤 추측(conjecture)이 거짓으로 판명되는 경우 ② 귀류법(21주차)에서 일부러 거짓일 수도 있는 가정을 세우는 경우. (각 두 문장 이내)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

거짓인 문장이 명제가 아니라고 해 보자 — ①에서는 "그 추측은 거짓이다"라는 판정이,

②에서는 가정을 세우고 논리 연산을 적용하는 일이 각각 어떻게 되는지 따라가 본다.

1주차 문제 18의 반박 경험이 ①의 재료다.
:::

## 백지 재현 — 복습 프로토콜

권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

**1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** 3단계 틀(§2 관찰)과 논리–집합 대응표만 펴 놓고, $\land, \lor, \neg$의 진리표 세 개와 예제 2.2의 진리표를 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다.

**2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다:

- [ ] 명제의 정의를 "정확히 하나"라는 조각까지 그대로 쓰고, 거짓인 문장도 명제인 이유를 예와 함께 설명했다.
- [ ] $\land, \lor, \neg$의 진리표 세 개를 백지에 그렸다.
- [ ] 수학의 "또는"과 일상어 "또는"의 차이를, 5주차 합집합과의 정합성을 근거로 설명했다.
- [ ] 논리–집합 대응표($\land$–$\cap$, $\lor$–$\cup$, $\neg$–$^c$)를 썼다.
- [ ] 예제 2.2($\neg(P \land Q)$)의 4행 진리표를 절차대로 재현했다.
- [ ] $P \land \neg P$가 항상 거짓임을 진리표 없이 한 문장으로 설명했다.
- [ ] 열린 문장이 명제가 아닌 이유와, 명제로 만드는 두 가지 방법을 말했다.

**막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

| **막힌 지점** | **처방** |
|---|---|
| 명제 판별이 흔들린다 | §1.3 해부 표 — "정확히 하나"의 역할과 삭제 실험 |
| 진리표의 행을 빠뜨린다 | §1.6 절차 ① — 반씩 쪼개는 기계적 나열 |
| $\neg$의 적용 범위가 헷갈린다 | §1.6 절차 ② — 괄호 유무 비교(확인 7) |
| 중간 열 없이 한 번에 쓰려다 막힌다 | 예제 2.2의 설계 — 안쪽 연산부터 열 하나씩 |
| "또는" 판정이 갈린다 | §1.5 — 포함적 or의 선택과 그 이유 |

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

## 해설

각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 1

(1) T ($P$가 참이므로 하나만 참이어도 참)  (2) F (T를 뒤집음) (3) F  (4) T  (5) F (F $\land$ T — 둘 다 참이 아니므로)

※ $\neg(P \lor Q)$와 $\neg P \land \neg Q$가 이 값 조합에서 같은 F로 떨어졌다. 예제 2.2의 예감과 짝을 이루는 관찰이고, 문제 18(b)가 표 전체로 확정한다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 2

(1) F  (2) F  (3) T  (4) T  (5) F  (6) T (7) 거짓(F)  (8) 참(T)  (9) 반대 (한쪽이 T이면 다른 쪽은 반드시 F)

※ $\land$는 둘 다 참을 요구하는데 $P$와 $\neg P$는 동시에 참일 수 없으므로 $P \land \neg P$는 어느 행에서도 F다. $\lor$는 하나만 참이면 되는데 둘 중 하나는 반드시 참이므로 $P \lor \neg P$는 어느 행에서도 T다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 3

(1) 변수 3개이므로 $2^3 = 8$행. $P$ 열은 T 4개$\cdot$F 4개, $Q$ 열은 TTFF 반복, $R$ 열은 TF 반복. (2) 안쪽부터 — $\neg P$ 열, $Q \land R$ 열을 만든 뒤 마지막에 둘을 $\lor$한다. (3) 완성표는 다음과 같다.

| **$P$** | **$Q$** | **$R$** | **$\neg P$** | **$Q \land R$** | **$\neg P \lor (Q \land R)$** |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | T | T |
| T | T | F | F | F | F |
| T | F | T | F | F | F |
| T | F | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T |
| F | F | T | T | F | T |
| F | F | F | T | F | T |

마지막 열이 T인 행의 특징: $P$가 거짓이거나, $Q$와 $R$가 둘 다 참인 행이다. ($P$ = F인 네 행은 $\neg P$ = T로 자동 통과하고, $P$ = T인 행은 $Q \land R$가 값을 정한다.)

### 문제 1

**접근.** 판별 기준은 하나 — "진리값이 정확히 하나로 확정되는가"(정의 7.1). 변수가 살아 있으면 열린 문장, 주관$\cdot$명령$\cdot$질문이면 명제 아님. 명제로 판정되면 진리값까지 근거와 함께 적는다.

**풀이.** (a) 명제, 참 — 17은 자연수이므로 $17 \in \mathbb{N}$은 참으로 확정된다. (b) 명제 아님(열린 문장) — $x$가 정해지지 않아 진리값이 미정이다. ※ "모든 실수 $x$에 대해 $x^2 \ge 0$"으로 양화하면 참인 명제가 된다(10주차). 지금 상태로는 아직 문장에 변수가 살아 있다. (c) 명제, 참 — $\{1\}$의 원소 1이 $\{1, 2\}$에 속하므로(4주차 $\subseteq$의 정의) 참으로 확정된다. (d) 명제 아님 — "아름답다"는 객관적 판정 기준이 없는 주관 서술이다. (e) 명제, 거짓 — $0.5$는 정수가 아니므로 거짓으로 **확정**된다. 거짓이어도 확정이므로 명제의 자격은 충분하다.

**복기.** (b)와 (e)의 대비가 핵심이다 — (b)는 진리값 미정(명제 아님), (e)는 진리값 확정$\cdot$거짓(명제). "틀린 문장"과 "판정 안 되는 문장"은 다른 범주다.

### 문제 2

**접근.** 원자의 값 $P$ = T, $Q$ = F, $R$ = T를 먼저 적어 놓고, 괄호 안부터 정의 7.3의 규칙을 기계 적용한다. $\land$는 "둘 다 T여야 T", $\lor$는 "하나만 T여도 T", $\neg$는 뒤집기다.

**풀이.** (a) $P \land R$ = T $\land$ T = **T** (둘 다 참). (b) $Q \lor R$ = F $\lor$ T = **T** ($R$ 하나가 참이므로 충분). (c) 안쪽부터: $\neg P$ = F. 따라서 $\neg P \lor Q$ = F $\lor$ F = **F** (어느 쪽도 참이 아니다). (d) 괄호부터: $P \land Q$ = T $\land$ F = F. 따라서 $(P \land Q) \lor R$ = F $\lor$ T = **T**. (e) 괄호 안의 안쪽부터: $\neg R$ = F, $Q \lor \neg R$ = F $\lor$ F = F. 따라서 $P \land (Q \lor \neg R)$ = T $\land$ F = **F**.

### 문제 3

**접근.** 변수 3개 $\to$ $2^3 = 8$행. 원자 열은 §1.6 절차 ①의 반씩 쪼개기로 나열하고, 괄호 안 $Q \land R$ 열을 먼저 만든 뒤 $P$와 $\lor$한다. $P$ = T인 행은 계산 없이 T다 — 하나의 참이 $\lor$ 전체를 참으로 만들기 때문이다.

**풀이.**

| **$P$** | **$Q$** | **$R$** | **$Q \land R$** | **$P \lor (Q \land R)$** |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T |
| T | F | T | F | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F |
| F | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F |

**검산.** $P$ = T인 위 네 행은 전부 T, $P$ = F인 아래 네 행은 $Q \land R$ 열과 값이 같다 — $\lor$의 규칙에서 예상되는 패턴 그대로다.

**복기.** 이 명제는 5주차 문제 14에서 수치로 관찰한 $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$의 논리 쪽 재료다 — 문제 15의 쌍둥이 분배법칙과 함께 9주차에서 정식 선언된다.

### 문제 4

**접근.** $\neg P$, $\neg Q$ 열을 각각 만든 뒤 $\lor$한다. 완성되면 예제 2.2의 $\neg(P \land Q)$ 열과 행별로 대조한다 — 이미 만든 표의 재사용이 근거 ④다.

**풀이.**

| **$P$** | **$Q$** | **$\neg P$** | **$\neg Q$** | **$\neg P \lor \neg Q$** |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F |
| T | F | F | T | T |
| F | T | T | F | T |
| F | F | T | T | T |

예제 2.2의 $\neg(P \land Q)$ 열은 위에서부터 F, T, T, T — 네 행 전부에서 일치한다. 따라서 두 명제는 모든 진리값 조합에서 같은 판정을 내린다. "그리고의 부정 = 각각의 부정을 또는으로" — 드모르간 법칙의 진리표 확인이고, 정식 선언은 9주차에서 한다 (5주차에서 벤 다이어그램으로 관찰한 그 법칙이다).

**복기.** 두 명제의 "같음" 판정은 마지막 열의 행별 대조가 전부다 — §4의 상자에서 세운 기준 그대로이고, 이 대조가 9주차에서 논리적 동치라는 이름을 얻는다.

### 문제 5

**접근.** 접속사("이고", "또는")와 범위 표현을 찾아 원자 문장으로 쪼갠다 — 예제 2.3의 절차다. 각 원자는 $x$가 살아 있는 열린 문장이므로 분해 결과도 열린 문장이다.

**풀이.** (a) 원자는 "$x$는 짝수"($2 \mid x$)와 "$x$는 3의 배수"($3 \mid x$), 접속사는 "이고": $(2 \mid x) \land (3 \mid x)$. (b) 원자는 "$x < -2$"와 "$x > 2$", 접속사는 "또는": $(x < -2) \lor (x > 2)$. 접속사 검산 — $x = 3$은 원 문장을 만족하지만, $(x < -2) \land (x > 2)$는 어떤 $x$도 만족하지 못하는 항상 거짓인 문장이다. 원 문장에 해가 실재하므로 항상 거짓이 되는 $\land$-독법은 원 문장의 뜻일 수 없고, $\lor$가 맞는 접속사다. (c) "10 이상"은 $x \ge 10$, "20 미만"은 $x < 20$이고 두 조건이 동시에 성립해야 하므로: $(x \ge 10) \land (x < 20)$. "이상/미만"에서 등호의 유무가 갈린다 — $\ge$에는 등호가 붙고 $<$에는 붙지 않는다.

**복기.** 일상어 문장의 분해는 ① 원자 찾기 ② 접속사 판별의 두 걸음이다. 접속사가 숨은 (c) 같은 문장은 범위의 양 끝을 각각 부등식으로 꺼내면 "그리고"가 드러난다.

### 문제 6

**접근.** 문제 1과 같은 기준으로 네 범주에 배정한다. (e)만 함정이 있다 — "존재한다"가 변수 $n$을 묶으므로, 변수가 보여도 열린 문장이 아니다(§1.4 확인 4의 둘째 방법).

**풀이.** (a) **거짓인 명제** — $3 < 2$는 거짓으로 확정된다. (b) **열린 문장** — $x$가 정해지지 않아 진리값 미정이다 ($x = 7$이면 참, $x = 8$이면 거짓). (c) **명제 아님(기타)** — 명령문에는 참$\cdot$거짓을 물을 수 없다. (d) **참인 명제** — $\emptyset \subseteq \emptyset$은 공허한 참(4주차 §1.4)이다: $\emptyset$의 원소 중 $\emptyset$에 속하지 않는 것이 하나도 없으므로 $\subseteq$의 조건이 성립한다. (e) **거짓인 명제** — "존재한다"까지 붙어 있으므로 진리값이 확정된다. 거짓인 이유: 정수 $n$이 $|n| \le 1$이면 $n^2 \le 1$이고 $|n| \ge 2$이면 $n^2 \ge 4$이므로, $n^2 = 2$인 정수는 없다. 열린 문장으로 분류하면 안 되는 항목이다.

**복기.** 변수가 보인다고 곧 열린 문장이 아니다 — 변수가 **묶여 있는가**를 본다. (b)의 $x$는 자유롭고 (e)의 $n$은 "존재한다"에 묶여 있다. 10주차 양화사의 예고편이다.

### 문제 7

**접근.** 변수 1개 $\to$ 2행. $\neg P$ 열을 만들고 한 번 더 뒤집는다. 집합 대응은 대응표에서 $\neg \leftrightarrow {}^c$를 두 번 적용해 본다.

**풀이.**

| **$P$** | **$\neg P$** | **$\neg(\neg P)$** |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |

$\neg(\neg P)$ 열이 $P$ 열과 두 행 모두에서 일치한다 — 두 번 뒤집으면 원래 값으로 돌아온다(이중부정). 집합 대응: $\neg \leftrightarrow {}^c$이므로 $(A^c)^c = A$ — 5주차 문제 5에서 $U = \{1, \dots, 10\}$의 수치로 확인한 그 사실의 논리적 정체다.

**복기.** 5주차에서는 원소 나열로, 이번 주에는 2행짜리 진리표로 같은 사실을 확인했다 — 집합의 사실을 논리로 계산하는 27주차 방식의 첫 맛보기다.

### 문제 8

**접근.** 중간 열 셋 — $P \lor Q$, $P \land Q$, $\neg(P \land Q)$ — 을 차례로 쌓고 마지막에 $\land$한다. 완성되면 T인 행의 공통점을 말로 옮긴다.

**풀이.**

| **$P$** | **$Q$** | **$P \lor Q$** | **$P \land Q$** | **$\neg(P \land Q)$** | **전체** |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | F | F |
| T | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | T | T |
| F | F | F | F | T | F |

T인 행은 둘째$\cdot$셋째 행 — **정확히 하나만 참일 때** 참이다. 이것이 일상어의 배타적 '또는'(exclusive or, XOR)이다: "짜장 또는 짬뽕"은 하나만 고르라는 뜻이고, 둘 다인 첫째 행을 $\neg(P \land Q)$ 조각이 걸러 낸다. 수학은 포함적 or($\lor$)를 기본으로 쓰되, 배타적 or가 필요하면 이렇게 기본 연산으로 조립해서 쓴다.

**복기.** "일상어 뜻을 기본 연산으로 조립한다"가 이식 가능한 패턴이다. 이 열 (F, T, T, F)은 문제 16(c)에서 재사용되고, 27주차에서 대칭차 $A \triangle B$라는 집합 버전으로 다시 만난다.

### 문제 9

**접근.** $\land \leftrightarrow \cap$ 대응을 그대로 쓴다 — 5주차 문제 9에서 집합 기호로 다룬 것을 논리 기호로 다시 쓰는 문제다. 생성형은 두 조건을 동시에 만족하는 수를 나열해 규칙을 찾는다.

**풀이.** 조건제시법: $P(n) \land Q(n)$이 참인 $n$의 집합이므로

$$
\{n \in \mathbb{Z} : (2 \mid n) \land (3 \mid n)\}
$$

생성형: 두 조건을 모두 만족하는 정수를 나열하면 $0, \pm 6, \pm 12, \dots$ — 6의 배수와 일치하므로 $\{6k : k \in \mathbb{Z}\}$이다. (2와 3의 공배수 = 6의 배수. "$2 \mid n$이고 $3 \mid n$이면 $6 \mid n$"의 엄밀한 증명은 20주차 소재이고, 지금은 5주차 문제 9와 같은 나열 관찰로 인정하고 쓴다.)

**복기.** 같은 집합의 세 표기 — 5주차의 $A \cap B$, 이번 주의 $\{n : P(n) \land Q(n)\}$, 생성형 $\{6k\}$ — 가 전부 연결됐다. 논리 기호는 새 대상이 아니라 기존 대상의 새 표기다.

### 문제 10

**접근.** 변수 2개 $\to$ 4행. $P \land Q$ 열과 $\neg P$ 열을 각각 만들고 $\lor$한다 — 절차대로면 계산할 것이 없는 문제다.

**풀이.**

| **$P$** | **$Q$** | **$P \land Q$** | **$\neg P$** | **$(P \land Q) \lor \neg P$** |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | F | T | T |
| F | F | F | T | T |

**복기.** 이 마지막 열(T, F, T, T)은 8주차에서 $P \Rightarrow Q$의 진리표로 다시 나타난다 — 그때 이 표를 인용할 수 있도록 결과를 기억해 둘 만하다.

### 문제 11

**접근.** "둘 다 받겠다"가 허용되는지가 두 해석의 분기점이다. (c)는 §1.5에서 수학이 포함적 독법을 택한 이유(5주차 합집합과의 정합)를 회수하는 자리다.

**풀이.** (a) 일상어(식당) 해석: 커피와 차 중 **하나만** 선택하라는 뜻이다 — 둘 다 받는 것은 허용되지 않는 배타적 '또는'이고, 문제 8에서 조립한 XOR가 그 정체다. (b) 논리학의 $\lor$ 해석: 커피만 받아도, 차만 받아도, **둘 다 받아도** 참이다 — 포함적 or. 거짓이 되는 경우는 아무것도 받지 않을 때뿐이다. (c) $A \cup B$는 **포함적** 해석을 따른다 — $x$가 양쪽 집합에 다 속해도 합집합의 원소다. 합집합이 교집합 부분을 빼지 않는 이유가 정확히 이것이고, $\lor$의 정의가 $\cup$과 어긋나지 않도록 포함적으로 선택된 사정을 §1.5에서 보았다.

### 문제 12

**접근.** 절댓값$\cdot$범위$\cdot$"~도 ~도 아니다"를 각각 알맞은 접속사로 잇는다. 접속사 선택이 헷갈리면 원 문장을 만족하는 값 하나를 골라, 그 독법의 판정이 원 문장과 갈리는지 검사한다(문제 5 (b)의 요령).

**풀이.** (a) $|x| > 3$은 "원점에서 거리가 3보다 크다"이므로 수직선의 두 구간 — $x > 3$ 또는 $x < -3$ — 이다: $(x > 3) \lor (x < -3)$. 검산 — $x = 4$는 $|x| > 3$을 만족하지만 $(x > 3) \land (x < -3)$은 어떤 $x$도 만족하지 못한다. 원 문장에 해가 실재하므로 항상 거짓인 $\land$-독법은 뜻일 수 없다 — 구간이 두 쪽으로 갈라진 조건은 $\lor$로 잇는다. (b) $0 < x \le 5$는 부등식 연쇄이므로 "그리고"의 축약이다(예제 2.3): $(0 < x) \land (x \le 5)$. (c) "4의 배수도 6의 배수도 아니다"는 두 부정이 **동시에** 성립한다는 뜻이다: $\neg(4 \mid n) \land \neg(6 \mid n)$, 즉 $(4 \nmid n) \land (6 \nmid n)$. "~도 ~도 아니다"의 접속사는 $\lor$가 아니라 $\land$다 — 두 성질을 모두 갖지 않아야 하기 때문이다.

**복기.** (a)와 (b)의 대비 — 갈라진 구간은 $\lor$, 이어진 구간은 $\land$ — 가 부등식 번역의 기준이다. (c)는 9주차 드모르간 법칙에서 $\neg\big((4 \mid n) \lor (6 \mid n)\big)$과 같은 문장임이 밝혀진다.

### 문제 13

**접근.** 변수 2개 $\to$ 4행(8행이 아니다 — 행 수는 명제의 길이가 아니라 변수의 개수가 정한다). 안쪽 $\neg P \land Q$ 열을 만들고 $P$와 $\lor$한 뒤, $P \lor Q$ 열을 나란히 세워 행별 대조한다.

**풀이.**

| **$P$** | **$Q$** | **$\neg P \land Q$** | **$P \lor (\neg P \land Q)$** | **$P \lor Q$** |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | T | T |
| F | T | T | T | T |
| F | F | F | F | F |

4열과 5열이 모든 행에서 일치한다. 해석: "P이거나, P가 아니면서 Q"는 결국 "P이거나 Q"와 같은 판정을 내린다 — $\neg P$ 조각은 판정에 아무 기여가 없는 군더더기다. 논리식도 대수식처럼 **간소화**될 수 있다는 첫 사례이고, 이런 간소화 규칙들의 체계적 목록이 9주차의 내용이다.

### 문제 14

**접근.** 각 집합 연산의 정의문("그리고 / 또는 / 아니다")을 대응표대로 기호에 옮겨 적는다. 바깥 연산부터 한 겹씩 벗기면 겹친 연산도 기계적으로 처리된다.

**풀이.** (a) $A - B$의 정의는 "$A$에는 속하고 $B$에는 속하지 않는다"(5주차)이므로: $(x \in A) \land \neg(x \in B)$, 즉 $(x \in A) \land (x \notin B)$. (b) 바깥의 여집합부터: $x \in (A \cup B)^c$는 "$x \in A \cup B$가 아니다"이므로 $\neg\big((x \in A) \lor (x \in B)\big)$. (c) 바깥의 $\cap$부터: $(x \in A) \land (x \in B \cup C)$이고, 안쪽을 마저 풀면 $(x \in A) \land \big((x \in B) \lor (x \in C)\big)$.

**복기.** 집합 기호 $\to$ 논리 기호의 번역은 정의문 낭독과 같다 — 새로 생각할 것이 없다. 이 번역이 27주차에서 집합 항등식 증명의 첫 단계로 승격되고, (b)의 논리식에 드모르간(9주차)을 적용하면 $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$가 계산으로 나온다.

### 문제 15

**접근.** 두 명제 모두 변수 3개 $\to$ 8행. 각각의 마지막 열을 만들어 행별 대조한다. 지름길도 있다 — $P$ = F인 네 행과 $P$ = T인 네 행을 묶어 보면 계산이 절반으로 준다.

**풀이.** 왼쪽 식과 오른쪽 식의 열을 한 표에 쌓는다.

| **$P$** | **$Q$** | **$R$** | **$Q \lor R$** | **$P \land (Q \lor R)$** | **$P \land Q$** | **$P \land R$** | **$(P \land Q) \lor (P \land R)$** |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | F | T |
| T | F | T | T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F | F | F | F |
| F | T | T | T | F | F | F | F |
| F | T | F | T | F | F | F | F |
| F | F | T | T | F | F | F | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |

5열과 8열이 8행 전부에서 **일치한다**. (행 묶음으로 보면 — $P$ = F인 아래 네 행은 양쪽 다 F이고, $P$ = T인 위 네 행은 양쪽 다 $Q \lor R$의 값과 같다.)

집합 대응: 대응표로 번역하면 $\land \to \cap$, $\lor \to \cup$이므로 **분배법칙** $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$이다.

**복기.** 5주차 문제 14에서 쌍둥이 판($\cup$의 분배, $A \cup (B \cap C)$)을 수치로 관찰한 분배법칙 가족이, 이번에는 $\cap$ 판으로 8행짜리 유한 검사로 확정됐다 — 변수가 셋뿐이므로 조합 여덟 개가 전부이고, 전부를 검사했으므로 끝이다. 그 쌍둥이 $P \lor (Q \land R)$ 판(문제 3의 명제)과 함께 9주차 동치 법칙 목록에 오르고, 27$\cdot$30주차에서 집합 증명의 근거로 재사용된다.

### 문제 16

**접근.** (a)(b)는 훈련 2의 두 열이 그대로 답이다. (c)는 §4의 상자대로 역산한다 — 목표 열이 T인 행의 진리값 조합을 각각 $\land$로 적고 $\lor$로 잇는다. 또는 문제 8의 완성표에서 같은 열을 이미 만들었다(근거 ④).

**풀이.** (예시 답 — 같은 열을 만드는 다른 명제도 정답이다.) (a) $P \lor \neg P$ — 훈련 2에서 모든 행이 T임을 확인했다(항진명제). (b) $P \land \neg P$ — 훈련 2에서 모든 행이 F임을 확인했다(모순). (c) 목표 열 F, T, T, F에서 T인 행은 둘째 행($P$ = T, $Q$ = F)과 셋째 행($P$ = F, $Q$ = T)이다. 각 행을 $\land$로 적으면 $P \land \neg Q$와 $\neg P \land Q$, 이 둘을 $\lor$로 이으면

$$
(P \land \neg Q) \lor (\neg P \land Q)
$$

문제 8의 $(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)$도 같은 열을 만들므로 역시 정답이다.

**검산.** (c)를 네 행에 대입한다 — (T, T): $(T \land F) \lor (F \land T)$ = F ✓ / (T, F): $(T \land T) \lor (F \land F)$ = T ✓ / (F, T): $(F \land F) \lor (T \land T)$ = T ✓ / (F, F): $(F \land T) \lor (T \land F)$ = F ✓. 목표 열과 일치한다.

**복기.** "T인 행마다 $\land$ 하나, 행들 사이는 $\lor$" — T인 행이 하나라도 있는 목표 열에는 이 절차가 그대로 통하고, 항상 거짓인 열 하나만 $P \land \neg P$(훈련 2)로 따로 처리하면, 16가지 열 전부가 $\land, \lor, \neg$만으로 조립된다. 기본 연산 세 개의 표현력이 그만큼 크다.

### 문제 17

**접근.** §4의 상자대로 두 가정 — 참 / 거짓 — 을 각각 검토한다. 명제라면 둘 중 하나이므로 두 경우가 전체를 빠짐없이 덮고, 양쪽 모두에서 충돌이 나면 "어느 진리값도 배정할 수 없다"는 결론이 남는다. 이 문장은 자기 자신의 진리값을 주장하므로, 가정한 값과 주장 내용을 나란히 놓으면 충돌 여부가 검사된다.

**풀이.** (예시 답안) 참이라고 가정하면, 문장이 주장하는 내용("이 문장은 거짓이다")이 성립해야 하므로 문장은 거짓이 되어, 참이라는 가정과 충돌한다. 거짓이라고 가정하면, "이 문장은 거짓이다"라는 주장이 틀린 것이므로 문장은 참이 되어, 거짓이라는 가정과 충돌한다. 참$\cdot$거짓 두 경우가 가능한 전부인데 어느 쪽에서도 일관된 배정이 없으므로, 이 문장은 "정확히 하나의 진리값"이라는 정의 7.1의 조건을 만족하지 못한다 — 명제가 아니다.

### 문제 18

**접근.** (a)는 변수 1개 $\to$ 2행, (b)는 변수 2개 $\to$ 4행. (b)는 안쪽 $\neg P \land \neg Q$ 열부터 쌓는다 — 훈련 1에서 특정 값으로 계산한 것의 표 버전이다. 완성되면 각각 $\neg P$ 열, $P \lor Q$ 열과 행별 대조한다.

**풀이.** (a) 2행을 각각 계산한다. $P$ = T이면 $P \land P$ = T $\land$ T = T이므로 $\neg(P \land P)$ = F = $\neg P$ ✓. $P$ = F이면 $P \land P$ = F이므로 $\neg(P \land P)$ = T = $\neg P$ ✓. 두 행 모두 일치한다. (b)

| **$P$** | **$Q$** | **$\neg P$** | **$\neg Q$** | **$\neg P \land \neg Q$** | **$\neg(\neg P \land \neg Q)$** | **$P \lor Q$** |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | T | F | F |

6열과 7열이 네 행 전부에서 일치한다 ✓. 곧 $P \lor Q$는 $\neg(\neg P \land \neg Q)$로 — $\neg$와 $\land$만으로 — 조립된다.

**복기.** (b)는 드모르간 법칙(문제 4의 예감, 9주차 선언)의 실전 사용이다: "$\lor$는 기본 연산이 아니어도 된다"는 뜻이므로, 이론상 $\neg$와 $\land$ 두 개만으로 이번 주의 모든 명제를 적을 수 있다.

### 문제 19

**접근.** 변수 3개 $\to$ 8행. 두 괄호의 열을 각각 만들고 $\land$한다. 지름길 — $P$ = T인 행에서는 $P \lor Q$가 자동 T이므로 전체는 $\neg P \lor R$ = F $\lor$ $R$ = $R$의 값이고, $P$ = F인 행에서는 $\neg P \lor R$가 자동 T이므로 전체는 $Q$의 값이다.

**풀이.**

| **$P$** | **$Q$** | **$R$** | **$P \lor Q$** | **$\neg P \lor R$** | **전체** |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F |
| T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T |
| F | F | T | F | T | F |
| F | F | F | F | T | F |

**검산.** 접근의 지름길과 대조한다 — $P$ = T인 위 네 행의 전체 값(T, F, T, F)은 $R$ 열과 같고, $P$ = F인 아래 네 행의 전체 값(T, T, F, F)은 $Q$ 열과 같다 ✓.

**복기.** "P가 참이면 R을 보고, 거짓이면 Q를 보라"는 스위치 구조가 이 명제의 정체다. 자동으로 통과되는 괄호를 먼저 골라내는 이 요령은 8행 이상의 표에서 계산량을 절반으로 줄인다 — 문제 15의 행 묶음과 같은 발상이다.

### 문제 20

**접근.** "거짓인 문장은 명제가 아니다"라고 가정해 보고, ①②의 활동에서 각각 무엇이 성립하지 않게 되는지 따라간다 — 1주차 문제 18의 반박 경험이 ①의 재료, 문제 17의 두-가정 검토가 ②의 재료다.

**풀이.** (예시 답안) ① 추측이 거짓으로 판명된다는 것은 "그 추측은 거짓이다"라는 판정이 성립한다는 뜻인데, 거짓인 문장이 명제가 아니라면 그 문장에는 진리값 자체가 없으므로 "거짓"이라는 판정도 성립하지 않는다. 1주차 문제 18의 "$n^2 + n + 41$은 모든 자연수에서 소수"도 거짓인 **명제**로 다뤄졌기에 $n = 40$이라는 반례로 처리할 수 있었다. ② 귀류법은 결론의 부정을 일단 명제로 받아들여 논리 연산을 적용하고 모순을 끌어내는 기법인데, 그 가정은 (증명이 성공한다면) 거짓인 문장이다. 거짓일 수 있는 문장을 명제로 취급해 $\land, \lor, \neg$를 적용할 수 없다면 귀류법의 전개 자체가 시작되지 않는다.

**복기.** 정의 7.1이 "참 또는 거짓"을 대등하게 받아들인 것은 관용이 아니라 필요다 — 반박(①)과 귀류법(②)이라는 증명 활동의 절반이 거짓인 명제를 재료로 쓰기 때문이다. 이번 주 핵심 문장("자격은 참이 아니라 확정")이 여기서 회수된다.

---

**다음 주 예고:** 이번 주의 $\land, \lor, \neg$에 넷째 연산 — 조건문 $P \Rightarrow Q$ — 가 추가된다. "거짓에서 출발하면 무엇이든 참"이라는 규칙이 왜 필요한지, 고1의 필요조건$\cdot$충분조건이 진리표에서 어떻게 나오는지를 다룬다. 4주차의 공허한 참($\emptyset \subseteq A$)이 그 복선이었고, 문제 10에서 만든 열(T, F, T, T)이 다음 주의 주인공이다.