# 6주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

## 예제 — 곱과 첨자를 계산하기

이번 주의 예제는 증명이 아니라 계산이다. 그래도 진행 순서는 증명과 같다 — 기호를 정의로 풀어 판정 기준을 얻고, 후보를 기준으로 심문하고, 통과한 것으로 결과를 조립한다. 예제 2.1은 한 줄씩 함께 만들고, 2.2는 설계만 함께 하고, 2.3은 설계부터 혼자 한다.

### 예제 2.1 — 데카르트 곱 나열

**문제.** $A = \{0, 1\}$일 때 $A \times A$와 $\mathcal{P}(A) \times A$의 크기를 구하고 $A \times A$를 나열하시오.

**설계 — 계산 전에 정하는 것.** 주어진 것과 만들 것을 정의로 번역한다.

|  | **말** | **번역** |
|---|---|---|
| 주어진 것 | $A = \{0, 1\}$ | 크기 2. 멱집합의 크기는 $\underline{\quad(?)\quad}$ (4주차 공식) |
| 만들 것 1 | $A \times A$의 나열 | 첫째 성분 $\in A$, 둘째 성분 $\in A$인 순서쌍 전부 |
| 만들 것 2 | 두 곱의 크기 | 크기 사실 $\lvert X \times Y \rvert = \lvert X \rvert \cdot \lvert Y \rvert$ (§1.4) |

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**확인 9.** 번역표의 빈칸 — $|\mathcal{P}(A)|$는 얼마인가. 공식과 함께 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
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$|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|} = 2^2 = 4$ (4주차 — 원소마다 넣는다/뺀다의 두 갈래).

이것으로 재료가 다 모였다. 나열부터 시작한다.
:::

**1단계 — 격자 순서로 나열한다.** 빠짐과 중복을 막는 방법은 확인 3의 격자 그대로다: 첫째 성분을 고정하고 둘째 성분을 훑는다.

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**확인 10.** 첫째 성분이 $0$인 순서쌍은 $(0,0), (0,1)$이다. 첫째 성분이 $1$인

순서쌍을 마저 적고, $A \times A$를 완성해 보자.
:::

:::{admonition} 답
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$(1, 0), (1, 1)$. 따라서 $A \times A = \{(0,0),\ (0,1),\ (1,0),\ (1,1)\}$.

$(0,1)$과 $(1,0)$은 서로 다른 원소다 — 상등 기준으로 첫째 성분이 $0 \neq 1$.

집합에서는 같았을 두 대상이 순서쌍에서는 구별된다.
:::

**2단계 — 크기를 공식으로 구하고, 나열로 검산한다.**

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**확인 11.** 두 크기를 채워 보자.

$|A \times A| = \underline{\quad(1)\quad}$,

$|\mathcal{P}(A) \times A| = \underline{\quad(2)\quad} \cdot \underline{\quad(3)\quad} = \underline{\quad(4)\quad}$.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(1) $2 \cdot 2 = 4$ — 1단계에서 나열한 원소 개수 4와 일치한다. 검산까지 겸한다.

(2) $4$  (3) $2$  (4) $8$. $\mathcal{P}(A)$도 하나의 집합이므로 곱의 재료가

될 수 있고, 크기 사실은 재료가 멱집합이어도 그대로 작동한다.
:::

**완성본.** 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다.

| 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
| $A \times A = \{(0,0),\ (0,1),\ (1,0),\ (1,1)\}$ | 첫째 성분을 고정하고 둘째 성분을 훑는 격자 순서 — 빠짐도 중복도 없다 |
| 크기는 $2 \cdot 2 = 4$ | 크기 사실(§1.4, 12주차에서 증명). 나열한 개수 4와 일치 — 검산을 겸한다 |
| $\mathcal{P}(A)$의 크기는 $2^2 = 4$ | 멱집합 크기 공식(4주차) |
| $\mathcal{P}(A) \times A$의 크기는 $4 \cdot 2 = 8$ | $\mathcal{P}(A)$도 집합이므로 곱의 재료가 된다 — 같은 크기 사실의 재적용 |

### 예제 2.2 — 곱은 교환되지 않는다

**문제.** $A = \{1\}$, $B = \{2\}$일 때 $A \times B$와 $B \times A$를 비교하시오.

이번에는 설계만 함께 한다.

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**확인 12.** 두 집합이 **다름**을 보이는 방법은 3주차 상등 기준에서 나온다 —

한쪽에는 속하고 다른 쪽에는 속하지 않는 원소를 하나 대면 된다.

$A \times B$와 $B \times A$를 각각 나열해 보자. 남는 일은 무엇인가?
:::

:::{admonition} 답
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$A \times B = \{(1, 2)\}$, $B \times A = \{(2, 1)\}$ — 원소가 하나씩뿐이다.

남는 일은 $(1,2)$와 $(2,1)$이 같은 순서쌍인지의 판정 하나다. 성분을 비교하면 끝난다.
:::

**풀이.** $A \times B = \{(1,2)\}$, $B \times A = \{(2,1)\}$이다. 상등 기준에 의해 $(1,2) \neq (2,1)$ — 첫째 성분이 $1 \neq 2$. 따라서 $(1,2)$는 $A \times B$에는 속하지만 $B \times A$에는 속하지 않고, $A \times B \neq B \times A$이다.

일반적으로 **$A \times B \neq B \times A$**이다 (같아지는 특수한 경우: $A = B$이거나 한쪽이 $\emptyset$ — 이 관찰의 완성은 28주차에서 한다). 한편 확인 5에서 본 대로 **크기**는 언제나 같다 — 크기가 같아도 집합은 다를 수 있다는 좋은 사례다.

### 예제 2.3 — 무한 첨자 집합

**문제.** $i \in \mathbb{N}$에 대해 $A_i = [0, \tfrac{1}{i}]$ (구간)일 때 $\bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i$와 $\bigcap_{i \in \mathbb{N}} A_i$를 구하시오.

이번에는 설계부터 스스로 한다.

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**확인 13.** 계산에 들어가기 전에 두 가지를 적어 보자.

① 처음 몇 개를 나열하면 $A_1 = [0, 1]$, $A_2 = \underline{\quad}$, $A_3 = \underline{\quad}$ —

구간들 사이에 어떤 포함 관계가 있는가.

② 원소 판정 기준 — $x \in \bigcup A_i$는 "$\underline{\quad}$의 $i$에 대해 $x \in A_i$",

$x \in \bigcap A_i$는 "$\underline{\quad}$의 $i$에 대해 $x \in A_i$".
:::

:::{admonition} 답
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① $A_2 = [0, \tfrac12]$, $A_3 = [0, \tfrac13]$ — $[0,1] \supseteq [0,\tfrac12] \supseteq [0,\tfrac13] \supseteq \cdots$

로 줄어드는 사슬이다.

② "적어도 하나" / "모든" (정의 6.2). 집합이 무한 개라도 이 두 기준만 있으면

계산이 시작된다.
:::

**풀이.** 구간들은 $[0,1] \supseteq [0,\tfrac12] \supseteq [0,\tfrac13] \supseteq \cdots$로 줄어든다.

합집합부터 본다. 모든 $A_i$가 가장 큰 $A_1 = [0,1]$에 포함되므로, "적어도 하나의 $A_i$에 속한다"를 통과하는 수는 정확히 $[0,1]$의 원소들이다 — $[0,1]$의 원소는 이미 $A_1$이 받아 주고, $[0,1]$ 밖의 수는 어느 $A_i$에도 없다. 따라서 $\bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i = [0, 1]$.

다음으로 교집합이다. $0$은 모든 구간의 왼쪽 끝이므로 모든 $A_i$에 속한다 — 통과. 반면 $x > 0$이면 $\tfrac{1}{i} < x$가 되는 큰 $i$가 존재하므로($i > \tfrac{1}{x}$인 자연수를 고르면 된다) 그 $A_i$에서 탈락한다 — "모든"의 기준을 통과하지 못한다. 음수는 $A_1$에서부터 탈락한다. 따라서 $\bigcap_{i \in \mathbb{N}} A_i = \{0\}$.

무한히 많은 집합의 교집합이 한 점으로 조여드는 이 논법은 45주차 $\varepsilon$-N 논법의 핵심 감각이다. (이 계산을 양방향 포함 증명으로 승격하는 것은 28주차에서 한다.)

### 관찰 — 세 계산의 같은 뼈대

세 예제는 소재만 다를 뿐 걸음이 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

| **단계** | **예제 2.1** | **예제 2.2** | **예제 2.3** |
|---|---|---|---|
| ① 기호를 판정 기준으로 푼다 | 첫째 성분 $\in A$, 둘째 성분 $\in A$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | "적어도 하나" / "모든" |
| ② 후보를 기준으로 심문한다 | 격자 순서로 조합 전부 | $(1,2)$와 $(2,1)$의 성분 비교 | $\underline{\quad(2)\quad}$ |
| ③ 통과한 것으로 결과를 조립한다 | 나열 + 크기 검산 | $A \times B \neq B \times A$ 선언 | $\underline{\quad(3)\quad}$ |

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**확인 14.** 대응표의 (1)(2)(3)을 채워 보자.
:::

:::{admonition} 답
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(1) 순서쌍의 상등 기준 — 성분끼리 비교한다.

(2) $0$은 모든 구간을 통과, $x > 0$은 큰 $i$에서 탈락, 음수는 처음부터 탈락.

(3) $\bigcup = [0,1]$, $\bigcap = \{0\}$으로 조립.

세 계산 모두 정확히 이 세 걸음이다.
:::

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

:::{admonition} 백지 암기 대상
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**집합 계산의 3단계**

① 기호를 정의로 풀어 원소 판정 기준을 얻는다 $\to$ ② 후보를 기준으로 심문한다

$\to$ ③ 통과한 것으로 결과를 조립한다 (크기$\cdot$작은 예로 검산).

모의시험 20문항 중 계산 문제 전부가 이 세 걸음이다.
:::

## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며

모의시험 전의 마지막 다리다. 훈련 1은 나열, 훈련 2는 증명, 훈련 3은 반례 — 시험에 나오는 세 종류의 일을 하나씩 예행한다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(6장)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

### 훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸

**과제.** $A = \{3, 4\}$, $B = \{x, y\}$일 때.

$$
A \times B = \{(3, x),\ (3, y),\ (4, \underline{\quad(1)\quad}),\ (\underline{\quad(2)\quad},\ y)\},\qquad |A \times B| = \underline{\quad(3)\quad}
$$

$$
B \times A = \{(x, 3),\ (x, 4),\ \underline{\quad(4)\quad},\ \underline{\quad(5)\quad}\}
$$

$(3, x) \in B \times A$인가? $\underline{\quad(6)\quad}$ — 첫째 성분 $3$이 $\underline{\quad(7)\quad}$의 원소가 아니기 때문이다.

### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께

이번에는 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다.

**명제.** 임의의 집합 $A, B$에 대해 $A \subseteq A \cup B$이다.

**증명.** $x \in \underline{\quad(1)\quad}$라 하자. $x \in A$이므로 "$x \in A$ 또는 $x \in B$"는 성립한다 — 근거: $\underline{\quad(2)\quad}$. 따라서 $\underline{\quad(3)\quad}$의 정의에 의해 $x \in A \cup B$이다. $A$의 임의의 원소가 $A \cup B$의 원소이므로 $\underline{\quad(4)\quad}$이다. $\blacksquare$

(이 훈련이 문제 9, 18의 예행연습이다.)

### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고

**과제.** 다음 주장을 반박한다: "임의의 집합 $A, B$에 대해 $A - (A - B) = B$이다."

(관찰 하나만 두고 간다 — 좌변 $A - (A-B)$는 $A$에서 무엇을 빼든 $A$의 부분집합일 수밖에 없다.)

반례 조립의 뼈대. 각 칸을 통째로 채운다.

- ① 반례 후보 선택: $\underline{\quad(1)\quad}$
- ② 좌변 계산: $\underline{\quad(2)\quad}$
- ③ 우변과 대조하고 결론 선언: $\underline{\quad(3)\quad}$

(이 훈련이 문제 10, 20의 예행연습이다.)

## 연습문제 (20문항)

이 20문항은 1부(3~6주차) **총정리 모의시험**을 겸한다. 규칙은 세 줄이다.

- 노트와 본문을 덮고 90분 안에 푼다. 시험 중에는 힌트 상자를 열지 않는다.
- 다 푼 뒤 §6 해설로 채점한다. 문제 1(정의)을 하나라도 틀리면 해당 주차부터 재복습한 뒤 넘어간다.
- 채점 후 틀린 문제는 힌트 상자와 해설의 '접근'까지만 읽고 한 번 더 시도한다 — 그래도 안 되면 풀이를 읽는다.

:::{admonition} 이번 주의 채점 기준
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답이 아니라 **근거**가 점수다. 참$\cdot$거짓 문제는 판정과 이유가 모두 맞아야

정답으로 친다. 증명 문제는 결론이 아니라 각 줄의 근거(정의$\cdot$이미 증명한

명제)를 채점한다.
:::

**1.** [정의 백지 테스트] 다음 정의를 수식/조건제시법으로 쓰시오. (a) $\mathbb{Q}$  (b) $A \subseteq B$  (c) $\mathcal{P}(A)$  (d) $A \cap B$  (e) $A \times B$

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

정의는 유도가 아니라 암기의 확인이다. 다섯 개 각각에 빠지면 붕괴하는 조각이

하나씩 있다 — 채점할 때 그 조각의 유무부터 본다. 막히면 해당 주차의 정의

해부 표로 돌아가 재암기한 뒤 백지에서 다시 쓴다.
:::

**2.** $\{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 2x - 3 \le 0\}$을 나열하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

무대가 $\mathbb{Z}$인 조건제시법이다. 부등식을 실수 전체에서 먼저 풀고

(인수분해), 그 결과를 정수 무대로 거른다 — 3주차의 두 단계 그대로.
:::

**3.** $A = \{\emptyset, 1, \{1\}\}$에 대해 참$\cdot$거짓: (a) $\emptyset \in A$ (b) $\emptyset \subseteq A$ (c) $\{1\} \in A$ (d) $\{1\} \subseteq A$ (e) $\{\{1\}\} \subseteq A$

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

원소 목록 세 개($\emptyset$, $1$, $\{1\}$)를 먼저 박아 둔다. $\in$은 목록과의

대조, $\subseteq$는 왼쪽 집합의 원소를 하나씩 건너보내는 판정이다(4주차).
:::

**4.** $U = \{1,\dots,10\}$, $A = \{x \in U : 2 \mid x\}$, $B = \{x \in U : 3 \mid x\}$일 때 (a) $A \cap B$ (b) $A^c \cap B$ (c) $(A \cup B)^c$를 구하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$A$와 $B$를 나열부터 한다. 여집합은 $U$가 유한하므로 $U$에서 지워 나가면 된다.
:::

**5.** $\mathcal{P}(\{1, \{2,3\}\})$을 나열하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

원소가 몇 개인지부터 센다 — $\{2, 3\}$은 상자째 **한 개**다. 원소 2개면

부분집합은 $2^2 = 4$개. 크기 0, 1, 2 순으로 나열하면 빠뜨리지 않는다.
:::

**6.** $A = [-1, 2)$, $B = [0, 4]$일 때 $A \cap B$, $A - B$를 구하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

수직선에 겹쳐 그리고, 끝점 $-1, 0, 2, 4$마다 소속을 심문한다 —

준비 운동 유형 3의 처방 그대로.
:::

**7.** $A = \{1,2\}$, $B = \{a, b\}$일 때 $B \times A$를 나열하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

첫째 성분의 출신은 곱의 **왼쪽** 집합이다 — 여기서는 $B$. 격자 순서로

나열하고 크기 사실로 개수를 검산한다.
:::

**8.** [서술] $A \subseteq B$이고 $B \subseteq C$이면 $A \subseteq C$임을 증명하시오. (4주차 빈칸 훈련 — 이번엔 백지에서)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$\subseteq$ 증명의 표준 오프닝은 "$x \in A$라 하자"이다. 그다음 가정 두 개를

관문처럼 차례로 통과시킨다.
:::

**9.** [서술] $A - B \subseteq A$임을 증명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$x \in A - B$를 정의("그리고 아니다")로 번역하면 필요한 조각이 이미 그 안에

들어 있다. 훈련 2와 같은 걸음이다.
:::

:::{admonition} 반례 제시의 완결 형식 — 문제 10, 20에서 쓴다
:class: quotebox

"임의의 집합 $A, B$에 대해 ~"가 거짓임을 보이는 데는 등식이 무너지는 구체적

집합 한 쌍이면 충분하다(1주차 문제 18의 원리 그대로). 완결 형식은 세 줄이다:

① $A$, $B$를 구체적으로 적는다 ② 좌변과 우변을 각각 계산한다 ③ 두 결과가

다름을 확인하고 거짓을 선언한다.
:::

**10.** 반례 제시: "임의의 집합에 대해 $(A - B) \cup B = A$이다."

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$(A - B) \cup B$는 $A$에서 $B$를 뺐다가 $B$를 통째로 되붙인 것이다 —

$B$가 $A$ 바깥 원소를 가지면 결과가 $A$보다 커진다. 그 상황을 가장 작은

집합으로 조립한다.
:::

**11.** $\{3k - 1 : k \in \mathbb{N}\}$의 원소를 작은 것부터 4개 나열하고, 이 집합을 조건형($\{x \in \mathbb{N} : \dots\}$ 꼴)으로도 쓰시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

나열은 $k = 1, 2, 3, 4$ 대입. 조건형은 나열된 수들의 공통 특징을 나눗셈

언어($\mid$, 2주차)로 옮긴다 — $x$ 대신 $x + 1$을 보면 특징이 드러난다.
:::

**12.** $C = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}\}$에 대해 참$\cdot$거짓: (a) $\{1\} \in C$ (b) $\{1\} \subseteq C$ (c) $\{\{1\}\} \subseteq C$ (d) $\emptyset \subseteq C$ (e) $\{1, 2\} \subseteq C$

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

원소 목록은 집합 세 개뿐이다 — 숫자 $1$이 목록에 있는지부터 확인한다.

문제 3과 겉모양이 같아도 판정은 목록에 완전히 의존한다.
:::

**13.** (a) $|\mathcal{P}(A)| = 8$이면 $|A|$는? (b) $\mathcal{P}(\{1,2\}) \subseteq \mathcal{P}(\{1,2,3\})$은 참인가? (근거 한 줄)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

(a)는 $2^n = 8$을 푸는 문제다. (b)는 4주차 문제 16에서 증명한 정리가 그대로

적용되는 사례다 — 이미 증명한 명제는 근거 ④로 인용해 쓴다.
:::

**14.** $A = [-2, 1)$, $B = [0, 3]$일 때 $A \cup B$와 $A \cap B$를 구하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

수직선. 합집합에서는 두 구간이 틈 없이 이어지는지 먼저 확인한다.
:::

**15.** $|A| = 3$, $|B| = 4$일 때 (a) $|A \times B|$ (b) $|B \times A|$ (c) $|\mathcal{P}(A \times B)|$ (지수 표기로).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

크기 사실(§1.4, 12주차에서 증명)과 멱집합 크기 공식(4주차)의 합성이다.

(c)는 안쪽 크기부터 구해 지수에 올린다.
:::

**16.** $A = \{1, 2\}$, $B = \{x, y\}$일 때 $A \times B$를 나열하고, $(x, 1) \in A \times B$의 참$\cdot$거짓을 판정하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

나열한 뒤, $(x, 1)$의 첫째 성분이 어느 집합 출신이어야 하는지를 정의로 심문한다.
:::

**17.** $A_n = \{n, n+1, n+2\}$ ($n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$)일 때 (a) $\bigcup_{n=1}^{5} A_n$ (b) $\bigcap_{n=1}^{5} A_n$ (c) $A_1 \cap A_2$를 구하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$A_1$부터 $A_5$까지 전부 나열하고 시작한다. (b)는 "다섯 **모두**에 들었는가"의

심문이다 — 확인 8에서 한 그대로.
:::

**18.** [서술] $A \cap B \subseteq B$임을 증명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

5주차 예제 2.3($A \cap B \subseteq A$)과 완전히 같은 틀이다 — "그리고"에서

이번에는 **다른 쪽** 조각을 뽑는다.
:::

**19.** [서술] $A \subseteq B$이면 $A - B = \emptyset$임을 설명하시오. (힌트: $A - B$에 원소 $x$가 있다고 하면 무슨 일이 생기는가?)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

"공집합이다"는 "원소가 있다고 하면 모순이 생긴다"로 보이는 것이 정석이다 —

4주차 문제 18, 5주차 문제 20에서 쓴 패턴이고, 21주차 귀류법의 씨앗이다.

모순은 가정 $A \subseteq B$와의 충돌에서 나온다.
:::

**20.** 반례 제시: "임의의 집합에 대해 $(A \cup B) - B = A$이다."

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

문제 10과 짝이다 — 이번에는 $A$와 $B$의 **겹침**이 문제를 일으킨다. 합쳤다가

$B$를 통째로 걷어내면 $A$의 어느 부분이 같이 걷혀 나가는가. 겹침이 있는

가장 작은 예를 조립한다.
:::

## 백지 재현 — 복습 프로토콜

권장 일정 — 1~2일차: §0~§3 학습 / 3일차: 1차 재현 / 4일차: 모의시험(§4) 90분과 채점 / 5일차: 완전 백지 재현과 오답 재시도. 재현은 두 번으로 나눈다 — 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

**1차 시도 (3일차) — 틀 카드 허용.** 정의 6.1, 6.2와 '집합 계산의 3단계'만 펴 놓고, 예제 2.1과 2.3을 처음부터 끝까지 적는다. 본문은 보지 않는다.

**2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다:

- [ ] $(a, b)$와 $\{a, b\}$의 차이를 상등 기준으로 설명했다.
- [ ] $A \times B$의 정의를 조건제시법으로 쓰고, $\mathbb{R}^2$가 무엇의 약자인지 말했다.
- [ ] 정의 6.2를 조건제시법으로 쓰고, $\bigcup_i$와 $\bigcap_i$를 "적어도 하나/모든"으로 읽었다.
- [ ] 모의시험 8, 9, 18번(증명)을 백지에서 재현했다.
- [ ] 모의시험에서 틀린 문제를 전부 다시 풀어 통과했다.

**막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

| **막힌 지점** | **처방** |
|---|---|
| $(a,b)$와 $\{a,b\}$의 차이가 말로 안 나온다 | §1.1~1.2 — 붕괴 사례와 상등 기준 표 |
| $A \times B$ 나열에서 빠뜨리거나 겹친다 | 확인 3의 격자 — 첫째 성분 고정, 둘째 성분 훑기 |
| $\bigcup$, $\bigcap$ 판정이 헷갈린다 | 정의 6.2의 해부 표 — "적어도 하나 / 모든" |
| 증명(8, 9, 18)의 첫 문장이 안 나온다 | 훈련 2 — "$x \in \dots$라 하자"는 창작이 아니라 정해진 형식이다 |
| 반례(10, 20)가 조립되지 않는다 | 훈련 3의 뼈대 — 좌변이 될 수 있는 것부터 관찰한다 |

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

## 해설

각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

### 준비 운동

1. $A - B = \{x : x \in A \text{ 그리고 } x \notin B\}$.
1. $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$, $\quad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ — 여집합을 취하면 $\cup$과 $\cap$이 서로 뒤집힌다.
1. $[1, 3) \cap (2, 5] = (2, 3)$. 끝점 심문: $2$는 $(2, 5]$에 없으므로 제외, $3$은 $[1, 3)$에 없으므로 제외.

### 빈칸 사다리 — 훈련 1

(1) $x$ — $(4, x)$와 $(4, y)$ 둘 다 있어야 하며 나열에서 $(4, y)$가 곧 (2)의 쌍이다 (2) $4$  (3) $2 \cdot 2 = 4$  (4) $(y, 3)$  (5) $(y, 4)$ (6) 아니다  (7) $B$ — $B \times A$의 첫째 성분은 $B = \{x, y\}$ 출신이어야 하는데 $3 \notin B$이다.

※ $A \times B$와 $B \times A$는 크기는 4로 같지만 원소는 하나도 겹치지 않는다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 2

(1) $A$ (2) "또는"은 한쪽만 성립해도 성립한다 (5주차 합집합의 판정 기준) (3) 합집합 (4) $A \subseteq A \cup B$

※ 원소를 하나 잡아 정의의 관문을 통과시키는 이 걸음이 $\subseteq$ 증명의 전부다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 3

(1) $B$가 $A$ 바깥 원소를 갖는 가장 작은 쌍 — 예: $A = \{1\}$, $B = \{1, 2\}$. (2) $A - B = \emptyset$이므로 $A - (A - B) = \{1\} - \emptyset = \{1\}$. (3) $\{1\} \neq \{1, 2\} = B$ ($2$가 우변에만 속한다). 따라서 주장은 거짓이다.

※ 위 관찰의 확인: 좌변은 언제나 $A$의 부분집합이므로, $B \not\subseteq A$인 아무 쌍이나 반례가 된다. $A = \emptyset$, $B = \{1\}$은 더 작은 반례다.

### 문제 1

**접근.** 정의는 유도하는 것이 아니라 암기를 확인하는 것이다. 각 정의에는 빠지면 붕괴하는 조각이 있다 — 그 조각의 유무로 자기 채점한다.

**풀이.** (a) $\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0\}$. 조각 "$b \neq 0$"이 빠지면 $\frac{a}{0}$이 허용되어 정의가 무너진다. (b) 모든 $x$에 대해, $x \in A$이면 $x \in B$이다. 조각 "모든"이 빠지면 몇 개만 확인하고 통과시키는 판정이 된다. (c) $\mathcal{P}(A) = \{X : X \subseteq A\}$. 원소가 수가 아니라 **부분집합들**이라는 것이 생명이다. (d) $A \cap B = \{x : x \in A \text{ 그리고 } x \in B\}$. "그리고"가 "또는"으로 바뀌면 합집합이 된다. (e) $A \times B = \{(a, b) : a \in A,\ b \in B\}$. 원소가 **순서쌍**이라는 것, 성분마다 출신이 정해져 있다는 것이 조각이다.

**복기.** 이 다섯 정의가 1부의 뼈대 전부다. 하나라도 형식이 무너졌으면 답을 베끼지 말고, 해당 주차(3$\cdot$4$\cdot$5$\cdot$6주차)의 해부 표로 돌아가 조각의 이유와 함께 재암기한다.

### 문제 2

**접근.** 무대가 $\mathbb{Z}$인 조건제시법 — 실수 전체에서 부등식을 풀고, 그 결과를 정수 무대로 거른다.

**풀이.** $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$이므로 부등식은 $(x-3)(x+1) \le 0$. 곱이 0 이하이려면 두 인수의 부호가 다르거나 하나가 0이어야 한다. $x - 3 \le 0$이고 $x + 1 \ge 0$인 경우가 $-1 \le x \le 3$을 주고, 반대 경우 ($x \ge 3$ 그리고 $x \le -1$)는 불가능하다. 따라서 실수 해는 $-1 \le x \le 3$이고, 이 중 정수만 거르면

$$
\{-1, 0, 1, 2, 3\}
$$

**검산.** 경계 $x = -1$: $1 + 2 - 3 = 0 \le 0$ ✓. 바깥 $x = 4$: $16 - 8 - 3 = 5 > 0$ — 탈락 ✓.

### 문제 3

**접근.** 원소 목록($\emptyset$, $1$, $\{1\}$)을 박아 두고, $\in$은 목록 대조, $\subseteq$는 원소 건너보내기로 기계처럼 판정한다.

**풀이.** (a) 참 — $\emptyset$이 원소 목록에 있다 ($\in$ 판정은 목록 대조). (b) 참 — 공허한 참: $\emptyset$에는 원소가 없으므로 "모든 원소가 $A$에 있다"가 자동으로 성립한다 (4주차). (c) 참 — $\{1\}$이 원소 목록에 있다. (d) 참 — $\{1\}$의 원소는 $1$ 하나이고 $1 \in A$이므로 건너보내기가 성공한다. (e) 참 — $\{\{1\}\}$의 원소는 $\{1\}$ 하나이고 $\{1\} \in A$이다.

※ (a)와 (b)는 답이 같아도 이유가 완전히 다르다 — 하나는 목록 대조, 하나는 공허한 참. 이유까지 맞아야 정답이다.

### 문제 4

**접근.** $A$, $B$를 먼저 나열해 놓고 연산한다. 여집합은 $U$가 유한하므로 $U$에서 지워 나간다.

**풀이.** $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ ($U$의 2의 배수), $B = \{3, 6, 9\}$ ($U$의 3의 배수). (a) 두 목록에 모두 있는 수는 $6$뿐 — $A \cap B = \{6\}$. (b) $A^c = \{1, 3, 5, 7, 9\}$이고, 이 중 $B$에도 있는 수는 — $A^c \cap B = \{3, 9\}$. ($B$에서 짝수 $6$을 지운 것과 같다.) (c) $A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$ — $U$에서 지우면 $(A \cup B)^c = \{1, 5, 7\}$.

**검산.** $|A \cup B| = 5 + 3 - 1 = 7$이므로 여집합의 크기는 $10 - 7 = 3$개 ✓.

### 문제 5

**접근.** 원소가 몇 개인지부터 센다: $1$과 $\{2, 3\}$ — 2개. 부분집합은 $2^2 = 4$개이고, 크기순으로 나열하면 빠뜨리지 않는다. $\{2, 3\}$은 끝까지 **통째로 한 덩어리**로 유지한다.

**풀이.** 크기 0: $\emptyset$. 크기 1: $\{1\}$, $\{\{2,3\}\}$. 크기 2: 전체 $\{1, \{2,3\}\}$.

$$
\mathcal{P}(\{1, \{2,3\}\}) = \{\emptyset,\ \{1\},\ \{\{2,3\}\},\ \{1, \{2,3\}\}\}
$$

**검산.** 개수 $4 = 2^2$ ✓. 답에 $\{2\}$나 $\{3\}$이 등장하면 상자를 뜯은 것 — 오답이다. $\{2,3\}$을 홑겹으로 적은 것도 오답이다 — 원소로 넣을 때는 $\{\{2,3\}\}$처럼 두 겹이 된다.

### 문제 6

**접근.** 수직선에 겹쳐 그리고 끝점($-1, 0, 2, 4$)마다 포함 여부를 심문한다.

**풀이.** $A \cap B$: 겹치는 부분은 $0$부터 $2$까지. $0$은 $A = [-1, 2)$와 $B = [0, 4]$ 모두에 속하므로 포함, $2$는 $A$가 반열림이라 $2 \notin A$이므로 제외. 따라서 $A \cap B = [0, 2)$. $A - B$: $A$의 원소 중 $B = [0, 4]$에 속하는 것($0 \le x$)을 지우면 $x < 0$인 부분만 남는다. $-1 \in A$이고 $-1 \notin B$이므로 포함, $0$은 $B$에 속하므로 제외. 따라서 $A - B = [-1, 0)$.

### 문제 7

**접근.** 첫째 성분의 출신은 곱의 왼쪽 집합 — 여기서는 $B$다. 격자 순서로 나열하고 크기로 검산한다.

**풀이.** 첫째 성분 $a$: $(a, 1), (a, 2)$. 첫째 성분 $b$: $(b, 1), (b, 2)$.

$$
B \times A = \{(a, 1),\ (a, 2),\ (b, 1),\ (b, 2)\}
$$

**검산.** 크기 $2 \cdot 2 = 4$ ✓. $\{(1, a), \dots\}$처럼 적었다면 그것은 $A \times B$다 — 곱의 순서가 성분의 순서다.

### 문제 8

**접근.** $\subseteq$ 증명의 표준 오프닝 "$x \in A$라 하자"로 시작해, 가정 두 개를 관문처럼 차례로 통과시킨다.

**풀이.** $A \subseteq B$이고 $B \subseteq C$라 가정하자. $x \in A$라 하자. $A \subseteq B$이므로 $x \in B$이다. 다시 $B \subseteq C$이므로 $x \in C$이다. 따라서 $A$의 임의의 원소가 $C$의 원소이므로 $A \subseteq C$이다. $\blacksquare$

**복기.** 가정이 두 개면 통과도 두 번 — 포함의 사슬 통과다. 포함의 이 추이성은 2주차 $\mid$의 추이성과 같은 뼈대이고, 25주차 이후 집합 증명의 기본 부품이 된다.

### 문제 9

**접근.** $x \in A - B$를 정의("그리고 아니다")로 번역하면 필요한 조각 ($x \in A$)이 이미 그 안에 들어 있다 — 뽑아 쓰면 끝난다.

**풀이.** $x \in A - B$라 하자. 차집합의 정의에 의해 $x \in A$이고 $x \notin B$이다. 특히 $x \in A$이다. 따라서 $A - B$의 임의의 원소가 $A$의 원소이므로 $A - B \subseteq A$이다. $\blacksquare$

**복기.** "그리고"로 묶인 정보에서 필요한 쪽만 뽑는 낱말이 "특히"다. 문제 18에서 같은 동작으로 **다른 쪽**을 뽑는다.

### 문제 10

**접근.** $(A - B) \cup B$는 "$A$에서 $B$를 뺐다가 $B$를 통째로 다시 붙인" 것 — $B$가 $A$ 바깥 원소를 갖고 있으면 결과가 $A$보다 커진다. 그 상황을 가장 작은 집합으로 조립한다 (훈련 3의 관찰과 같은 종류).

**풀이.** 반례: $A = \{1\}$, $B = \{2\}$. 좌변: $A - B = \{1\}$ ($1 \notin B$이므로 그대로 남는다)이고 $(A - B) \cup B = \{1\} \cup \{2\} = \{1, 2\}$. 우변: $A = \{1\}$. $2$는 좌변에만 속하므로 $\{1, 2\} \neq \{1\}$ — 따라서 명제는 거짓이다.

**복기.** $B \subseteq A$일 때만 성립하는 명제다. "임의의"가 붙는 순간 반례 하나로 무너진다 — 반례의 완결 형식(후보 제시 $\to$ 양변 계산 $\to$ 다름 확인)을 그대로 밟았는지 검사한다.

### 문제 11

**접근.** 나열은 대입이다. 조건형 변환은 나열된 수들의 공통 특징을 나눗셈 언어($\mid$, 2주차)로 옮긴다 — $x = 3k - 1$을 $x$에 대한 판정 조건으로 뒤집는다.

**풀이.** 대입: $k = 1$이면 $2$, $k = 2$이면 $5$, $k = 3$이면 $8$, $k = 4$이면 $11$. 나열: $2, 5, 8, 11$. 조건형 유도: $x = 3k - 1$인 자연수 $k$가 존재하는 것은 $x + 1 = 3k$인 $k$가 존재하는 것과 같은 말이고, 이는 곧 $3 \mid (x + 1)$이다. 따라서

$$
\{x \in \mathbb{N} : 3 \mid (x + 1)\}
$$

**검산.** $x = 8$: $3 \mid 9$ ✓. $x = 7$: $8$은 3의 배수가 아니므로 탈락 — 나열에 $7$이 없는 것과 일치 ✓.

### 문제 12

**접근.** 원소 목록은 집합 세 개($\emptyset$, $\{1\}$, $\{1,2\}$)뿐이다. (b)가 함정 — $\subseteq$ 판정이므로 $\{1\}$의 원소인 **숫자 1**이 $C$에 있어야 하는데, 목록에 숫자 $1$은 없다.

**풀이.** (a) 참 — $\{1\}$이 원소 목록에 있다. (b) 거짓 — $\{1\}$의 원소 $1$이 $C$의 원소여야 하는데 $1 \notin C$ ($C$의 원소는 집합 세 개뿐이다). (c) 참 — $\{\{1\}\}$의 원소 $\{1\}$이 목록에 있다. (d) 참 — 공허한 참 (공집합은 모든 집합의 부분집합). (e) 거짓 — $\{1, 2\}$의 원소 $1, 2$가 $C$의 목록에 없다. ($\{1,2\} \in C$는 참이지만 물음은 $\subseteq$다.)

※ 문제 3의 (c)(d)와 이 문제의 (a)(b)를 비교한다 — 문제 3의 $A$에는 숫자 $1$이 있어서 (d)가 참이었지만, 여기에는 없어서 (b)가 거짓으로 뒤집힌다. 판정은 문맥(원소 목록)에 완전히 의존한다.

### 문제 13

**접근.** (a)는 $2^n = 8$을 푸는 문제. (b)는 4주차 문제 16의 정리 ("$A \subseteq B$이면 $\mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(B)$")의 사례임을 알아채는 문제다 — 이미 증명한 명제는 근거 ④로 인용해 쓴다.

**풀이.** (a) $|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}$이므로 $2^{|A|} = 8 = 2^3$, 따라서 $|A| = 3$. (b) 참. $\{1, 2\} \subseteq \{1, 2, 3\}$이므로 4주차 문제 16의 정리에 의해 $\mathcal{P}(\{1,2\}) \subseteq \mathcal{P}(\{1,2,3\})$이다. (직접 확인도 가능하다: $\{1,2\}$의 부분집합 $\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}$ 네 개는 전부 $\{1,2,3\}$의 부분집합이다.)

**복기.** (b)에서 네 개를 일일이 확인하는 대신 정리 한 줄을 인용한 것 — 증명된 명제를 부품으로 재사용하는 근거 ④의 전형이다.

### 문제 14

**접근.** 수직선에 겹쳐 그린다. 합집합에서는 두 구간 사이에 틈이 없는지부터 확인한다.

**풀이.** $A = [-2, 1)$과 $B = [0, 3]$은 $[0, 1)$에서 겹치므로 틈 없이 이어진다. $A \cup B$: 왼쪽 끝 $-2$는 $A$에 속하므로 닫힘, 오른쪽 끝 $3$은 $B$에 속하므로 닫힘 — $A \cup B = [-2, 3]$. $A \cap B$: 겹치는 부분은 $0$부터 $1$까지. $0$은 양쪽 모두에 속하므로 포함, $1$은 $A = [-2, 1)$에 없으므로 제외 — $A \cap B = [0, 1)$.

**검산.** $0.5$는 양쪽에 속하므로 교집합에 있어야 한다 — $0.5 \in [0, 1)$ ✓.

### 문제 15

**접근.** 크기 사실 $|A \times B| = |A| \cdot |B|$ (§1.4, 12주차에서 증명)와 멱집합 크기 공식 $|\mathcal{P}(S)| = 2^{|S|}$ (4주차)의 합성이다.

**풀이.** (a) $|A \times B| = 3 \cdot 4 = 12$. (b) $|B \times A| = 4 \cdot 3 = 12$ — 곱의 순서가 바뀌어도 **크기**는 같다. 집합 자체는 다른데(예제 2.2) 크기만 같은 좋은 예다. (c) 안쪽부터: $|A \times B| = 12$이므로 $|\mathcal{P}(A \times B)| = 2^{12}$ ($= 4096$).

### 문제 16

**접근.** 나열한 뒤, $(x, 1)$의 첫째 성분이 어느 집합 출신이어야 하는지 정의로 심문한다.

**풀이.** 격자 순서로 $A \times B = \{(1, x),\ (1, y),\ (2, x),\ (2, y)\}$. $(x, 1)$이 $A \times B$의 원소이려면 첫째 성분 $x$가 $A = \{1, 2\}$의 원소여야 하는데 $x \notin A$이다. 따라서 **거짓**. (같은 심문을 방향을 바꿔 하면 $(x, 1) \in B \times A$는 참이다 — $x \in B$ 그리고 $1 \in A$.)

### 문제 17

**접근.** $A_1, \dots, A_5$를 다 적어 놓고 (a) 전부 합치고 (b) 다섯 집합 **모두**에 든 수를 심문하고 (c) 둘만 겹친다.

**풀이.** $A_1 = \{1,2,3\}$, $A_2 = \{2,3,4\}$, $A_3 = \{3,4,5\}$, $A_4 = \{4,5,6\}$, $A_5 = \{5,6,7\}$. (a) 등장한 수 전부: $\bigcup_{n=1}^{5} A_n = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. (b) 다섯 모두에 들려면 특히 $A_1$과 $A_5$ 둘 다에 들어야 하는데 $A_1 \cap A_5 = \{1,2,3\} \cap \{5,6,7\} = \emptyset$ — 그런 수는 없다. 따라서 $\bigcap_{n=1}^{5} A_n = \emptyset$. (c) $A_1 \cap A_2 = \{2, 3\}$.

**복기.** (b)에서 다섯을 다 심문하는 대신 겹칠 수 없는 두 집합($A_1$, $A_5$)만 대조해 끝냈다 — "모든"의 요구는 한 곳에서만 무너져도 전체가 무너진다.

### 문제 18

**접근.** 5주차 예제 2.3($A \cap B \subseteq A$)과 완전히 같은 틀 — "그리고"에서 이번에는 다른 쪽 조각을 뽑는다.

**풀이.** $x \in A \cap B$라 하자. 교집합의 정의에 의해 $x \in A$이고 $x \in B$이다. 특히 $x \in B$이다. 따라서 $A \cap B$의 임의의 원소가 $B$의 원소이므로 $A \cap B \subseteq B$이다. $\blacksquare$

**복기.** 문제 9와 이 문제는 같은 동작("그리고"에서 한쪽 뽑기)의 두 방향이다. 정의를 풀면 결론이 이미 조각으로 들어 있는 유형 — $\subseteq$ 증명의 가장 짧은 형태다.

### 문제 19

**접근.** "공집합이다"는 "원소가 있다고 하면 모순이 생긴다"로 보이는 것이 정석이다 (4주차 문제 18, 5주차 문제 20과 같은 패턴). 모순은 가정 $A \subseteq B$와의 충돌에서 나온다.

**풀이.** $A \subseteq B$라 가정하자. 만약 $A - B$에 원소가 있다면, 그 원소를 $x$라 하자. 차집합의 정의에 의해 $x \in A$이고 $x \notin B$이다. 그런데 $x \in A$와 가정 $A \subseteq B$에 의해 $x \in B$이다 — $x \notin B$와 모순이다. 따라서 $A - B$에는 원소가 있을 수 없고, $A - B = \emptyset$이다. $\blacksquare$

**복기.** "만약 ~라면 모순이므로 ~가 아니다" — 이 어법이 21주차 귀류법의 씨앗이다. 여기서는 "원소가 없다"라는 부정형 결론을 직접 만들 수 없기 때문에, 있다고 두고 무너지는 것을 보였다.

### 문제 20

**접근.** $(A \cup B) - B$는 "합쳤다가 $B$를 통째로 걷어낸" 것 — $A$와 $B$가 겹치면 $A$의 일부(겹침 부분)도 같이 걷혀 나간다. 겹침이 있는 가장 작은 예를 조립한다.

**풀이.** 반례: $A = \{1, 2\}$, $B = \{2\}$. 좌변: $A \cup B = \{1, 2\}$이고 $(A \cup B) - B = \{1, 2\} - \{2\} = \{1\}$. 우변: $A = \{1, 2\}$. $2$는 우변에만 속하므로 $\{1\} \neq \{1, 2\}$ — 따라서 명제는 거짓이다.

**복기.** $A$와 $B$가 서로소일 때만 성립하는 명제다. 문제 10과 짝을 이루는 반례다 — 문제 10은 바깥 원소가 "더 붙어 옴", 이번에는 겹침 원소가 "덜 돌아옴". 집합 등식을 의심할 때는 이 두 방향(커지는가, 작아지는가)을 각각 실험한다.

### 채점 가이드

- 문제 1(정의) 만점 + 8, 9, 18, 19번에 논리 비약 없음 $\to$ 통과. 7주차로 간다.
- 3, 5, 12번에서 틀림 $\to$ 4주차($\in$/$\subseteq$/멱집합) 재복습.
- 6, 14번에서 끝점 처리 틀림 $\to$ 5주차 구간 연산 재복습.
- 7, 15, 16, 17번에서 틀림 $\to$ 이번 주 §1 재복습 (곱의 순서$\cdot$크기 사실$\cdot$첨자 판정).
- 8, 9, 18번에서 "$x \in \dots$라 하자"로 시작하지 못함 $\to$ 훈련 2와 5주차 예제 2.3 재필사.

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**다음 주 예고:** 2부 '논리'가 시작된다. 지금까지 증명 속에서 감각으로 쓰던 "그리고/또는/이면"을 진리표라는 정밀 기계로 분해한다. 거기서 만드는 도구 (부정$\cdot$드모르간$\cdot$대우)가 19주차 이후의 증명 기법 전부를 떠받친다.