# 1주차 — 첫 증명: 짝수와 홀수 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 가정을 문자로 잡은 뒤, 처음 할 일은 정의를 풀어 쓰는 것이다. **이 주의 위치**: 50주 과정의 1주차. 짝수$\cdot$홀수의 정의로 직접 증명을 처음 쓴다. **원서 대응**: BoP(Book of Proof) 4.2–4.3 맛보기 — 본격 학습은 15주차. 원서 없이 읽을 수 있다. ::: ## 이번 주 목표 1. 짝수$\cdot$홀수의 **정의**를 백지에 수식으로 정확히 쓰고, 각 조각이 왜 필요한지 설명할 수 있다. 1. 직접 증명의 3단계 틀(가정 $\to$ 정의 풀어쓰기 $\to$ 목표 형태로 변형)을 따라 증명 3개를 쓸 수 있다. 1. "예시 여러 개 확인"이 왜 증명이 아닌지 반례로 설명할 수 있다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. :::{admonition} 표기 — § 와 난이도 표시 :class: quotebox §는 "절"이라고 읽는다. §1.3은 이 주차의 1.3 절을, §5는 5절 전체를 가리킨다. 다른 주차를 가리킬 때는 "2주차 §1.3"처럼 주차를 앞에 적는다. 절 제목에 붙은 점 표시는 단계를 뜻한다. 연습문제는 기본 1~6번, 표준 7~14번, 도전 15~20번이고, 빈칸 사다리는 훈련 1에서 3으로 갈수록 지지대가 줄어든다. ::: ## 준비 운동 (진단) 풀지 못해도 된다. 5주 뒤의 자신과 비교하기 위한 기록이다. 1. "홀수와 홀수의 합은 짝수이다"를 증명해 보자. (지금 아는 방식 그대로, 몇 줄이든) 1. 3+5=8, 7+9=16, 11+13=24를 확인하는 것은 위 명제의 증명인가? 이유는? 답을 노트에 적어 둔다. 이번 주 끝(§5 재현 뒤)과 5주 뒤에 이 기록을 다시 본다. ### 자주 나오는 세 가지 답 방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 자연스러운 출발점이고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 예시 확인.** 3+5=8, 7+9=16, … 몇 개를 확인하고 "항상 짝수"라고 적는다. 확인한 사례에 대해서는 옳다. 문제는 홀수가 **무한히 많다**는 것이다 — 확인하지 않은 나머지 전부는 무엇이 보장하는가? (문제 18에서 이 방식이 실제로 무너지는 사례를 본다.) - **유형 2 — 직관 서술.** "홀수 둘이 만나면 남는 1끼리 짝이 맞는다." 이 직관은 옳다. 증명은 이 직관을 누구나 검사할 수 있는 **계산**으로 바꿔 적는 기술이고, 이번 주에 배우는 것이 정확히 그 번역이다. - **유형 3 — 백지.** 어디서 시작해야 할지 몰라 아무것도 적지 못했다. 증명의 첫 문장부터가 규칙으로 정해져 있고, 이번 주가 그 규칙을 처음부터 제시한다. ## 개념 — 정의 ### 1 말로 증명을 시도하면 어디서 막히는가 증명을 시작하기 전에 실패 사례를 하나 본다. 이미 아는 말 — "홀수란 2로 나누어떨어지지 않는 수" — 만으로 준비 운동 1번을 밀어붙여 보자. :::{admonition} 시도 — 말 풀이로 밀어붙이기 :class: quotebox 명제: 홀수와 홀수의 합은 짝수이다. "$m$과 $n$을 홀수라 하자. 홀수란 2로 나누어떨어지지 않는 수이다. 그러므로 $m$은 2로 나누어떨어지지 않고, $n$도 2로 나누어떨어지지 않는다. 따라서 $m + n$은 … " ::: 여기서 멈춘다. 다음 줄이 나오지 않는다. :::{container} quotebox **확인 1.** 멈춘 자리에서 다음 줄이 나오려면 $m$에 대해 어떤 **종류**의 정보가 필요한가? "$m$은 ~다" 꼴로 한 구절 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$m$은 (무엇)과 **같다**" — 곧 **등식**이 필요하다. "~가 아니다"라는 부정형 정보는 $m$의 생김새를 주지 않으므로 덧셈이 시작될 수 없다. "홀수는 2로 나눈 나머지가 1인 수"라고 답했다면 그 관찰은 옳다. 문제는 그것이 아직 등식이 아니라는 것이다 — "나머지가 1"을 $m = 2k + 1$이라는 등식으로 바꿔 적어야 덧셈이 시작되고, 그 번역이 §1.4의 정의다. ::: :::{admonition} 이 주 전체의 기준 :class: quotebox 증명이 계산을 하려면 개념이 **등식**이 되어야 한다. 개념을 등식으로 바꿔 주는 것이 **정의**다. ::: ### 2 짝수를 등식으로 — 정의를 만들어 보기 짝수를 나열해 보자: $\dots, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \dots$ 각각을 "$2 \times (\text{무엇})$" 꼴로 적으면 — | **짝수** | **$2 \times (\text{무엇})$** | |---|---| | $6$ | $2 \times 3$ | | $14$ | $2 \times \underline{\quad(1)\quad}$ | | $0$ | $2 \times \underline{\quad(2)\quad}$ | | $-8$ | $2 \times \underline{\quad(3)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 2.** 표의 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 채운 세 수의 공통점을 한 단어로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $7$ (2) $0$ (3) $-4$. 공통점은 전부 **정수**라는 것이다. 거꾸로도 성립한다 — 아무 정수에나 2를 곱하면 반드시 위 목록의 수가 나온다. "짝수 = $2 \times (\text{정수})$ 꼴로 쓸 수 있는 수." 이 관찰이 정의의 전부다. ::: 이 관찰에 정식 이름과 형식을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일을 문장으로 굳혔을 뿐이다. ### 정의 1.1 — 짝수 (even) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 정수 $n$이 **짝수**라는 것은, $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다는 뜻이다. ::: 이 문장은 소리 내어 "엔은 이 케이. 그런 정수 케이가 존재한다"로 읽는다. 읽는 법까지가 정의다. :::{admonition} 표기 — $\mathbb{Z}$ :class: quotebox 정수 전체의 모임을 기호 $\mathbb{Z}$로 쓴다: $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$. "$k \in \mathbb{Z}$"는 "$k$는 정수이다"와 완전히 같은 말이고, 이번 주에는 이 읽는 법 하나만 알면 된다($\in$ 기호 자체는 3주차에서 다룬다). 증명에서 기호 대신 말로 적어도 같은 점수다. ::: ### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일 이 한 문장은 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다. | **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** | |---|---|---| | "정수 $n$이 짝수라는 것은" | 판정 대상의 선언 | 이 정의는 $n$의 자격을 심사하는 기준이다 | | "$n = 2k$인" | **등식** 제공 | 계산이 시작되는 지점 — 1.1의 막힘이 풀리는 자리 | | "정수 $k$가" | $k$의 자격 제한 | 이 조각이 빠지면 정의가 무너진다 (아래 실험) | | "존재한다" | 요구 조건의 명시 | 그런 $k$를 **하나만** 제시하면 조건이 성립한다 | **조각 삭제 실험.** 셋째 조각의 "정수"를 지워 보자. 그러면 $3 = 2 \times 1.5$이므로 — $k = 1.5$가 허용되므로 — 3도 짝수가 된다. :::{container} quotebox **확인 3.** "정수"라는 조각을 지우는 순간 정확히 무엇이 무너지는가? (3만의 문제인지, 5와 2.7은 어떤지 함께 생각해 보자.) ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown **모든** 수가 짝수가 된다 (임의의 $x$를 $x = 2 \times \frac{x}{2}$로 쓸 수 있다). 모두가 짝수라면 "짝수"라는 말은 아무것도 **구별하지 못한다** — 정의가 무너진 것이다. 정의의 조각 하나하나가 이런 붕괴를 막는 조건이다. ::: **"존재한다"는 방향에 따라 다르게 작동한다.** | **상황** | **"존재한다"가 하는 일** | |---|---| | 가정에 "짝수"가 있을 때 | $m = 2a$인 정수 $a$를 **받아서** 쓴다 | | 목표가 "짝수"일 때 | $2 \times (\text{정수})$ 꼴을 실제로 만들어 **제시해야** 한다 | 이 구분이 곧 예제 2.1의 설계에서 그대로 쓰인다. ### 4 홀수 — 짝수에서 한 칸 옆 수직선에서 짝수 사이의 칸이 홀수다: 홀수 = (짝수) + 1 = $2k + 1$. ### 정의 1.2 — 홀수 (odd) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 정수 $n$이 **홀수**라는 것은, $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재한다는 뜻이다. ::: :::{container} quotebox **확인 4.** $-7$이 홀수임을 정의의 꼴 그대로 적어 보자: $-7 = 2 \times (\underline{\quad}\,) + 1$. 괄호의 정수는 무엇인가. 검산까지 한다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $k = -4$. 검산: $2 \times (-4) + 1 = -8 + 1 = -7$ ✓. $-7 = 2 \times (-3) - 1$로 적고 싶어지지만 — 같은 수는 맞다 — 정의는 $2k + 1$ 꼴이다. **정의의 꼴에 정확히 맞추는 것**이 이번 주 내내 채점 기준이다. ::: (왜 $+1$인가. $2k - 1$ 꼴로 정의해도 같은 집합이 나온다. 어느 쪽이든 되지만, 책 전체가 한 가지 꼴로 통일해야 서로의 증명을 빠르게 검사할 수 있다 — 정의는 사실이기 전에 표기의 약속이기도 하다.) ### 5 애매하면 정의로 — 0은 짝수인가 :::{container} quotebox **확인 5.** 0은 짝수인가. 느낌으로 답하지 말고 방금 세운 기준으로 판정해 보자: $0 = 2 \times (\,\underline{\quad}\,)$인 **정수**가 존재하는가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 존재한다: $0 = 2 \times 0$이고 $0 \in \mathbb{Z}$. 따라서 0은 짝수다. "0은 애매하다"는 느낌은 정의 앞에서 사라진다. **애매하면 정의로 돌아간다** — 50주 내내 쓸 습관의 첫 발동이다. ::: ### 6 증명에서 쓸 수 있는 근거 — 전체 목록 백지에서 쓰지 못하는 가장 큰 이유는 무엇을 써도 되는지 모른다는 것이다. 그래서 허용 목록을 먼저 못 박는다. 이번 주의 증명은 아래 **세 가지**만으로 쓴다. | **근거** | **내용** | **증명에서 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | 정의 1.1, 1.2 | "짝수" $\leftrightarrow$ "$2k$ 꼴" 사이를 번역한다 | | ② 닫힘성 | 정수끼리 더하거나 빼거나 곱하면 정수 | "$a+b$는 정수이므로"를 별도 설명 없이 쓴다 | | ③ 등식의 성질 | 양변에 같은 연산 / 전개 / 묶기 | 대입하고, 분배법칙으로 2를 묶는다 | (곧 근거 ④ — **이미 증명한 명제** — 가 추가된다. 이번 주 문제 13(풀이 2)과 17에서 먼저 만난다.) 목록 밖의 것("학교에서 배운 공식", "당연하니까")은 이번 주 증명에 쓰지 않는다. 목록이 세 줄뿐이므로, 막혔을 때 검토할 후보도 세 개뿐이다. :::{container} quotebox **확인 6.** 어떤 증명에 다음 두 근거 문장이 나왔다. 각각 허용되는가? 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) "$2ab + a + b$는 정수이므로" (나) "학교에서 배운 공식이니까 당연히" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 허용 — 근거 ② 닫힘성. $a, b$가 정수이면 곱 $2ab$도, 합 $2ab + a + b$도 정수다. 별도 설명 없이 쓴다. (나) 불허 — 목록 밖이다. 그 공식이 무엇이든, 목록의 세 가지로 다시 만들어 쓰기 전에는 근거가 되지 않는다. ::: 정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 붙은 것이 그 대상이다. 다만 문장을 통째로만 외우면 일부를 잊었을 때 복구할 길이 없다. §1.3처럼 조각마다 이유를 알아 두면 남은 조각에서 나머지를 재구성할 수 있다. 이번 주의 백지 재현(§5)이 그 재구성을 연습하는 자리다.