# 5회 · 최소상계 원리

```{admonition} 이 회차
:class: seealso

| | |
|---|---|
| **한 문장** | 위로 유계인 집합에는 최소상계가 존재한다는 공리 하나가 실수와 유리수를 가른다. |
| **출처** | L3 |
| **파트** | PART I — 무한을 담을 그릇 · 관통 질문: 넓이를 어떻게 정의할 것인가 |
| **짝 실험** | {doc}`L05_lab` |
```

3회에서 확인한 것은 다음과 같다. 체 공리와 순서 공리는 유리수도 만족한다. 그런데 유리수 안에는 제곱해서 2가 되는 수가 없다. 따라서 실수를 특징짓는 공리가 하나 더 필요하다.

그 공리를 서술하려면 먼저 상계(upper bound)와 최소상계(least upper bound)라는 개념이 필요하다. 집합 $S$의 모든 원소보다 크거나 같은 수를 $S$의 상계라 하고, 상계 중에서 가장 작은 것을 최소상계라 한다.

이번 회차에서는 이 두 개념을 정의하고, 완비성 공리를 서술한 뒤, 그 공리에서 무엇이 따라 나오는지 확인해 보자.

## 1. 상계와 최소상계

```{prf:definition} 상계와 최소상계
:label: def-5-sup

$S$를 $\R$의 부분집합이라 하자.

모든 $x \in S$에 대하여 $x \le b$일 때, $b$를 $S$의 **상계**(upper bound)라 한다. 상계가 하나라도 있으면 $S$가 **위로 유계**(bounded above)라 한다.

$b$가 다음 두 조건을 만족할 때 $b$를 $S$의 **최소상계**(least upper bound) 또는 **상한**(supremum)이라 하고 $b = \sup S$라 쓴다.

1. $b$는 $S$의 상계이다
2. $c$가 $S$의 상계이면 $b \le c$이다
```

{prf:ref}`def-5-sup`의 두 조건을 모두 확인해야 한다. 조건 1만으로는 상계 중 아무것이나 될 수 있고, 조건 2는 그중 가장 작은 것을 골라낸다.

```{admonition} 흔한 오해 — 조건 2를 빠뜨리는 것
:class: caution

$S = \{x \in \R : 0 \le x \le 1\}$에 대하여 $5$는 상계이다. $100$도 상계이다. 상계는 무수히 많다.

조건 2가 그중 하나를 지목한다. 이 집합의 최소상계는 $1$이다.
```

### $\epsilon$을 쓴 동치 서술

증명에서 실제로 쓰이는 것은 조건 2를 다음과 같이 바꾸어 쓴 형태이다.

```{prf:theorem} 최소상계의 $\epsilon$ 서술
:label: thm-5-eps

$b$가 $S$의 상계라 하자. 그러면 다음 세 조건은 서로 동치이다.

1. $b = \sup S$이다
2. 임의의 $\epsilon > 0$에 대하여 $b - \epsilon$은 $S$의 상계가 아니다
3. 임의의 $\epsilon > 0$에 대하여 $b - \epsilon < x$인 $x \in S$가 존재한다
```

```{prf:proof}
**조건 2와 조건 3이 같다는 것.** "$b-\epsilon$이 $S$의 상계이다"는 명제를 양화사로 쓰면 다음과 같다.

$$
\forall x \in S,\; x \le b - \epsilon
\tag{5.1}
$$

2회 {prf:ref}`thm-2-negation`에 의하여 (5.1)의 부정은 다음이다.

$$
\exists x \in S,\; x > b - \epsilon
\tag{5.2}
$$

조건 2는 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 (5.1)이 거짓이라는 것이고, 조건 3은 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 (5.2)가 참이라는 것이다. (5.1)의 부정이 (5.2)이므로 두 조건은 같다.

**조건 1이면 조건 2.** $b = \sup S$라 하고 $\epsilon > 0$을 하나 잡는다. 만약 $b - \epsilon$이 $S$의 상계라면, {prf:ref}`def-5-sup`의 조건 2에 의하여 $b \le b - \epsilon$이다. 양변에서 $b$를 빼면 $0 \le -\epsilon$이고, 양변에 $-1$을 곱하면 3회 {prf:ref}`thm-3-inequality`에 의하여 **부등호가 뒤집혀** $\epsilon \le 0$이다. 이것은 $\epsilon > 0$에 어긋난다. 따라서 $b-\epsilon$은 상계가 아니다.

**조건 2이면 조건 1.** $b$가 상계이고 조건 2가 성립한다고 하자. $c$를 $S$의 임의의 상계라 하고 $b \le c$를 보이면 된다.

$b > c$라고 하자. $\epsilon = b - c$라 두면 $\epsilon > 0$이다. 조건 2에 의하여 $b - \epsilon$은 상계가 아니다. 그런데 $b - \epsilon = b - (b-c) = c$이고 $c$는 상계였다. 모순이다.

따라서 3회 O2(삼분법)에 의하여 $b \le c$이다.
```

{prf:ref}`thm-5-eps`의 세 번째 형태가 가장 자주 쓰인다. **최소상계보다 조금이라도 작은 수를 가져오면 그것을 넘는 원소가 집합 안에 있다**는 뜻이다.

### 유일성

```{prf:theorem} 최소상계의 유일성
:label: thm-5-unique

$S$의 최소상계는 많아야 하나이다.
```

```{prf:proof}
$b$와 $b'$이 모두 $S$의 최소상계라 하자.

$b$는 상계이고 $b'$은 최소상계이므로, {prf:ref}`def-5-sup`의 조건 2를 $b'$에 적용하면 $b' \le b$이다.

$b'$은 상계이고 $b$는 최소상계이므로, 같은 조건을 $b$에 적용하면 $b \le b'$이다.

두 부등식이 함께 성립하므로 3회 O2(삼분법)에 의하여 $b = b'$이다.
```

{prf:ref}`thm-5-unique`가 있어야 $\sup S$라는 표기가 뜻을 갖는다.

### 최소상계는 집합에 속할 수도 있고 아닐 수도 있다

두 예를 든다.

- $S = \{x \in \R : 0 \le x \le 1\}$에서 $\sup S = 1$이고 $1 \in S$이다
- $S = \{x \in \R : 0 < x < 1\}$에서도 $\sup S = 1$이지만 $1 \notin S$이다

두 번째를 확인하자. $1$이 상계인 것은 정의에서 곧바로 나온다. $1$이 최소상계임은 {prf:ref}`thm-5-eps`의 조건 3으로 보인다. $\epsilon > 0$이 주어지면 $1 - \epsilon < x < 1$인 실수 $x$를 잡을 수 있고, $\epsilon$이 $1$보다 크면 $x = 1/2$로 잡으면 된다. 어느 경우든 $x \in S$이면서 $x > 1 - \epsilon$이다.

```{admonition} 흔한 오해 — 최소상계와 최댓값
:class: caution

최댓값(maximum)은 **집합에 속하면서** 다른 모든 원소보다 크거나 같은 원소이다. 최소상계는 집합에 속할 필요가 없다.

위의 두 번째 예에서 $S = \{x : 0 < x < 1\}$의 최댓값은 **없다.** 어떤 $x \in S$를 가져와도 $(x+1)/2$가 $S$에 속하면서 더 크기 때문이다. 그러나 최소상계는 있고 그 값은 $1$이다.

최댓값이 있으면 그것이 최소상계이다. 그 역은 성립하지 않는다.
```

```{admonition} 흔한 오해 — 공집합
:class: caution

$S = \varnothing$이면 모든 실수가 $S$의 상계이다. "$\varnothing$의 모든 원소 $x$에 대하여 $x \le b$"라는 명제는 2회에서 본 대로 참이기 때문이다.

그런데 $\R$에는 최소인 원소가 없으므로 최소상계가 존재하지 않는다. 다음 절의 공리가 공집합을 제외하는 이유가 이것이다.
```

## 2. 완비성 공리

```{prf:axiom} 완비성 공리
:label: ax-5-completeness

$S$가 $\R$의 부분집합이고, $S$가 공집합이 아니며, $S$가 위로 유계이면, $S$는 최소상계를 갖는다.
```

{prf:ref}`ax-5-completeness`가 실수의 세 번째 공리 묶음이며, 이것 하나로 이루어져 있다.

이 공리가 실제로 무언가를 더한다는 것을 보이려면, 앞의 아홉 공리는 만족하면서 이 공리는 만족하지 않는 체계를 제시하면 된다. 유리수가 그런 체계이다.

```{prf:theorem} 유리수는 완비성 공리를 만족하지 않는다
:label: thm-5-q-incomplete

양수이면서 제곱이 $2$보다 작은 유리수를 모두 모은 집합

$$
S = \{\, x \in \Q \;:\; x > 0 \;\wedge\; x^2 < 2 \,\}
$$

은 공집합이 아니고 위로 유계이지만, $\Q$ 안에 $S$의 최소상계가 없다.
```

```{prf:proof}
**공집합이 아니다.** $1 \in \Q$이고 $1 > 0$이고 $1^2 = 1 < 2$이므로 $1 \in S$이다.

**위로 유계이다.** $2$가 상계임을 보인다. $x \in S$인데 $x > 2$라고 하자. $x > 2 > 0$이므로 3회 {prf:ref}`thm-3-inequality`의 두 번째 항목을 두 번 써서 $x^2 > 4$를 얻는다. 그런데 $x \in S$이므로 $x^2 < 2 < 4$이다. 모순이다. 따라서 모든 $x \in S$에 대하여 $x \le 2$이다.

**최소상계가 없다.** 양의 유리수 $b$가 $S$의 상계라 하자. 3회 {prf:ref}`thm-3-sqrt2`에 의하여 $b^2 = 2$는 불가능하므로, $b^2 < 2$이거나 $b^2 > 2$이다.

논증에 쓸 값을 하나 만든다.

$$
b' = b - \frac{b^2-2}{b+2} = \frac{2b+2}{b+2}
\tag{5.3}
$$

$b$가 유리수이므로 $b'$도 유리수이다. (5.3)에 대하여 두 가지를 계산한다.

$$
b' - b = \frac{2b+2}{b+2} - b = \frac{2b + 2 - b^2 - 2b}{b+2} = \frac{2 - b^2}{b+2}
\tag{5.4}
$$

$$
b'^2 - 2 = \frac{(2b+2)^2 - 2(b+2)^2}{(b+2)^2}
= \frac{4b^2+8b+4 - 2b^2-8b-8}{(b+2)^2}
= \frac{2(b^2-2)}{(b+2)^2}
\tag{5.5}
$$

$b > 0$이므로 (5.4)와 (5.5)의 분모는 모두 양수이다. 따라서 **$b' - b$의 부호는 $2 - b^2$의 부호와 같고, $b'^2 - 2$의 부호는 $b^2 - 2$의 부호와 같다.**

**$b^2 < 2$인 경우.** (5.4)에 의하여 $b' > b$이고, (5.5)에 의하여 $b'^2 < 2$이다. 또 $b > 0$이므로 (5.3)에서 $b' > 0$이다. 따라서 $b' \in S$이면서 $b' > b$이므로, $b$는 상계가 아니다. 가정에 어긋난다.

**$b^2 > 2$인 경우.** (5.4)에 의하여 $b' < b$이고, (5.5)에 의하여 $b'^2 > 2$이다. 이때 $b'$도 $S$의 상계이다. $x \in S$이면 $x^2 < 2 < b'^2$이고 $x > 0$, $b' > 0$이므로 $x < b'$이기 때문이다. 즉 $b$보다 작은 상계가 있으므로 $b$는 최소상계가 아니다.

양의 유리수 상계는 모두 최소상계가 아니다. 그리고 $S$의 상계는 $1 \in S$ 때문에 $1$ 이상이어야 하므로 모두 양수이다. 따라서 $\Q$ 안에 $S$의 최소상계가 없다.
```

{prf:ref}`ax-5-completeness`에 의하여 실수 안에서는 이 $S$의 최소상계가 존재한다. 그 값을 $b$라 하면 (5.5)와 같은 논증으로 $b^2 = 2$임을 보일 수 있다. 3회에서 미뤄 둔 문제에 이렇게 답한다.

구체적인 값으로 확인하면 $1.4$, $1.41$, $1.414$는 모두 $S$에 속하고, $1.5$는 $1.5^2 = 2.25 > 2$이므로 상계이다. 상계를 줄여 가면 $1.5$, $1.42$, $1.415$와 같이 계속 작아지지만 유리수 안에서는 멈출 곳이 없다.

## 3. 아르키메데스 성질

완비성 공리에서 곧바로 따라 나오는 정리를 하나 본다.

```{prf:theorem} 아르키메데스 성질
:label: thm-5-archimedes

임의의 실수 $x$에 대하여 $n > x$인 자연수 $n$이 존재한다.
```

```{prf:proof}
귀류법을 쓴다. 그런 $n$이 없다고 하자. 즉 어떤 실수 $x$가 있어서, 모든 자연수 $n$에 대하여 $n \le x$이다.

그러면 $x$는 $\N$의 상계이므로 $\N$은 위로 유계이다. 또 $1 \in \N$이므로 $\N$은 공집합이 아니다. {prf:ref}`ax-5-completeness`에 의하여 $b = \sup \N$이 존재한다.

{prf:ref}`thm-5-eps`의 조건 2를 $\epsilon = 1$로 적용한다. $b - 1$은 $\N$의 상계가 아니다. 따라서 조건 3에 의하여

$$
n > b - 1
\tag{5.6}
$$

인 자연수 $n$이 있다. (5.6)의 양변에 $1$을 더하면 3회 {prf:ref}`thm-3-inequality`의 첫 번째 항목에 의하여

$$
n + 1 > b
$$

이다. 그런데 4회 {prf:ref}`def-4-natural`에서 본 대로 $\N$은 귀납 집합이므로 $n+1$도 자연수이다. 즉 $b$보다 큰 자연수가 있으므로 $b$가 $\N$의 상계라는 것에 어긋난다.
```

```{prf:corollary} 잘게 나눌 수 있다
:label: cor-5-small

임의의 $\epsilon > 0$에 대하여 $\dfrac{1}{n} < \epsilon$인 자연수 $n$이 존재한다.
```

```{prf:proof}
$\epsilon > 0$이므로 $1/\epsilon$은 실수이다. {prf:ref}`thm-5-archimedes`를 $x = 1/\epsilon$에 적용하면

$$
n > \frac{1}{\epsilon}
\tag{5.7}
$$

인 자연수 $n$이 있다. $n \ge 1 > 0$이고 $\epsilon > 0$이므로 $\epsilon/n > 0$이다. (5.7)의 양변에 이 양수를 곱하면 3회 {prf:ref}`thm-3-inequality`의 두 번째 항목에 의하여 부등호의 방향이 유지되어

$$
\epsilon > \frac{1}{n}
$$

이다.
```

{prf:ref}`cor-5-small`은 1회에서 근거를 확정하지 않은 채 쓴 사실이다. 1회 3절의 논증에서 우리는 "양수 $d$가 무엇이든 $b^3/n < d$가 되는 자연수 $n$이 있다"를 썼다. {prf:ref}`cor-5-small`을 $\epsilon = d/b^3$에 적용하면 $1/n < d/b^3$이고, 양변에 $b^3 > 0$을 곱하면 $b^3/n < d$이다.

```{admonition} 흔한 오해 — 아르키메데스 성질은 자명하지 않다
:class: caution

"자연수는 얼마든지 커진다"는 진술은 당연해 보인다. 그러나 이것은 체 공리와 순서 공리에서 나오지 않는다. 아홉 공리를 만족하면서 어떤 원소가 모든 자연수보다 큰 체계가 존재하기 때문이다.

{prf:ref}`thm-5-archimedes`의 증명이 완비성 공리를 쓴다는 점에 유의한다. 자연수가 얼마든지 커진다는 것은 **완비성 공리의 결과**이다.
```

## 4. 삼각부등식

```{prf:theorem} 삼각부등식
:label: thm-5-triangle

모든 실수 $a$, $b$에 대하여

$$
|a+b| \le |a| + |b|
\tag{5.8}
$$
```

```{prf:proof}
4회 {prf:ref}`thm-4-abs`를 $|a| \le |a|$에 적용하면 다음을 얻는다.

$$
-|a| \le a \le |a|
\tag{5.9}
$$

같은 방식으로 $b$에 대하여

$$
-|b| \le b \le |b|
\tag{5.10}
$$

이다. (5.9)와 (5.10)의 각 변을 더한다. 3회 {prf:ref}`thm-3-inequality`의 첫 번째 항목을 두 번 쓰면 부등식끼리 더할 수 있다.

$$
-\bigl(|a|+|b|\bigr) \le a+b \le |a|+|b|
\tag{5.11}
$$

(5.11)에 {prf:ref}`thm-4-abs`를 반대 방향으로 적용한다. $|a|+|b| \ge 0$이므로 조건이 갖추어져 있고, 결론은 $|a+b| \le |a|+|b|$이다.
```

```{prf:corollary} 절댓값의 차
:label: cor-5-reverse

모든 실수 $a$, $b$에 대하여 $\bigl||a| - |b|\bigr| \le |a - b|$이다.
```

```{prf:proof}
$a = (a-b) + b$이므로 {prf:ref}`thm-5-triangle`에 의하여

$$
|a| \le |a-b| + |b|
$$

이고, 양변에서 $|b|$를 빼면 $|a| - |b| \le |a-b|$이다.

$a$와 $b$의 역할을 바꾸면 $|b| - |a| \le |b-a|$이다. {prf:ref}`def-4-abs`에서 $|b-a| = |a-b|$이므로, 양변에 $-1$을 곱하여 부등호를 뒤집으면 $-|a-b| \le |a| - |b|$이다.

두 부등식을 합치면

$$
-|a-b| \le |a| - |b| \le |a-b|
$$

이고, {prf:ref}`thm-4-abs`를 적용하면 결론을 얻는다.
```

## 마치며

이번 회차에서는 상계와 최소상계를 정의하고 완비성 공리를 서술하였다. 이 공리 하나가 실수와 유리수를 가른다. 유리수 전체의 집합은 체 공리와 순서 공리를 만족하지만 완비성 공리는 만족하지 않는다.

완비성 공리에서 아르키메데스 성질이 따라 나온다는 것도 확인하였다. 임의의 양수 $\epsilon$에 대하여 $1/n$이 그보다 작아지는 자연수 $n$이 존재한다는 형태로 쓰면, 이 성질은 "충분히 잘게 나눌 수 있다"는 진술이 된다.

이것으로 실수의 공리는 모두 갖추어졌다. 이제 넓이 문제로 돌아갈 준비가 되었다.

다음 회차에서는 함수의 정의와 넓이가 만족해야 할 성질을 알아보도록 하자.

```{admonition} 이어서
:class: note
같은 회차의 실험: {doc}`L05_lab`
```