# 3회 · 실수의 공리

```{admonition} 이 회차
:class: seealso

| | |
|---|---|
| **한 문장** | 실수는 체 공리와 순서 공리를 만족하지만, 이 둘만으로는 유리수와 구별되지 않는다. |
| **출처** | L1 |
| **파트** | PART I — 무한을 담을 그릇 · 관통 질문: 넓이를 어떻게 정의할 것인가 |
| **짝 실험** | {doc}`L03_lab` |
```

우리는 실수를 다룬다. 그런데 실수가 무엇인지는 아직 정하지 않았다.

실수를 정의하는 방법은 두 가지이다. 하나는 유리수로부터 실수를 구성하는 방법이고, 다른 하나는 실수가 만족하는 성질을 공리(axiom)로 제시하고 그 공리들만으로 논의를 진행하는 방법이다. 이 강의에서는 두 번째 방법을 쓴다.

실수의 공리는 세 묶음으로 되어 있다. 체 공리(field axioms), 순서 공리(order axioms), 그리고 완비성 공리(completeness axiom)이다. 이번 회차에서는 앞의 두 묶음을 다루고, 그 두 묶음만으로는 부족하다는 것을 확인해 보자.

## 1. 체 공리

실수 전체의 집합을 $\R$이라 쓴다. $\R$ 위에는 덧셈 $+$와 곱셈 $\cdot$이라는 두 연산이 있고, 이 두 연산이 다음 여섯 공리를 만족한다고 가정한다.

각 공리의 오른쪽에는 그 공리가 없으면 무엇을 할 수 없는지를 적었다.

| | 공리 | 없으면 할 수 없는 것 |
|---|---|---|
| **F1** 교환법칙 | $x + y = y + x$, $\quad xy = yx$ | 항의 순서를 바꾸어 정리할 수 없다 |
| **F2** 결합법칙 | $x + (y+z) = (x+y) + z$, $\quad x(yz) = (xy)z$ | 세 개 이상의 항을 괄호 없이 쓸 수 없다 |
| **F3** 분배법칙 | $x(y+z) = xy + xz$ | 두 연산이 서로 무관해진다. 전개와 인수분해를 할 수 없다 |
| **F4** 항등원의 존재 | $0 \ne 1$이고 모든 $x$에 대하여 $x + 0 = x$, $\; 1\cdot x = x$ | 기준이 되는 수가 없다 |
| **F5** 덧셈 역원의 존재 | 각 $x$에 대하여 $x + y = 0$인 $y$가 있다 | 뺄셈을 정의할 수 없다 |
| **F6** 곱셈 역원의 존재 | $x \ne 0$인 각 $x$에 대하여 $xy = 1$인 $y$가 있다 | 나눗셈을 정의할 수 없다 |

F1, F2, F4, F5는 덧셈과 곱셈에 대하여 같은 모양으로 쓰인다. F3만이 두 연산을 이어 준다. F6에서 $x \ne 0$이라는 단서가 붙는 것에 유의한다. 이 단서가 덧셈과 곱셈의 유일한 비대칭이다.

이 여섯 공리를 만족하는 집합과 두 연산의 묶음을 체(field)라 한다.

F5의 $y$를 $-x$라 쓰고, $x + (-y)$를 $x - y$라 쓴다. F6의 $y$를 $x^{-1}$이라 쓰고, $x \cdot y^{-1}$을 $x/y$라 쓴다. 즉 **뺄셈과 나눗셈은 공리가 아니라 정의이다.**

```{admonition} 흔한 오해 — 공리를 "당연한 사실"로 읽는 것
:class: caution

F1부터 F6까지는 증명된 명제가 아니다. 참이라고 가정하고 논의를 시작하는 명제이며, 그 이상도 이하도 아니다.

공리를 고르는 기준은 "당연한가"가 아니라 "이것들만으로 원하는 것을 끌어낼 수 있는가"이다. 그리고 3절과 4절에서 보듯, 실제로 이 여섯 개만으로는 부족하다.
```

## 2. 체 공리에서 따라 나오는 성질

곱셈에 관한 규칙들이 실은 덧셈 공리와 분배법칙에서 나온다. 이 절의 요지가 그것이다.

먼저 이후 계속 쓸 보조정리를 하나 세운다.

```{prf:lemma} 덧셈의 소거법칙과 역원의 유일성
:label: lem-3-cancel

$a + b = a + c$이면 $b = c$이다. 따라서 각 $a$에 대하여 $a + y = 0$을 만족하는 $y$는 하나뿐이다.
```

```{prf:proof}
F5에 의하여 $a + y = 0$인 $y$가 있다. $a+b = a+c$의 양변 왼쪽에 $y$를 더한다.

$$
y + (a+b) = y + (a+c)
$$

F2를 양변에 적용하여 괄호를 옮긴다.

$$
(y+a) + b = (y+a) + c
$$

F1에 의하여 $y + a = a + y = 0$이므로 양변은 $0 + b$와 $0 + c$이다. F1과 F4에 의하여 이는 각각 $b$와 $c$이다. 따라서 $b = c$이다.

유일성을 보인다. $a + y = 0$이고 $a + y' = 0$이라 하자. 그러면 $a + y = a + y'$이므로 앞의 결과에 의하여 $y = y'$이다.
```

{prf:ref}`lem-3-cancel`에 의하여 $-a$라는 표기가 뜻을 갖는다. 역원이 여럿이라면 "$-a$"라고 쓸 수 없기 때문이다.

```{prf:theorem} 영원소의 곱
:label: thm-3-zero

모든 실수 $a$에 대하여 $a \cdot 0 = 0$이다.
```

```{prf:proof}
F4에서 $x = 0$으로 두면 $0 + 0 = 0$이다. 이것을 $a \cdot 0$에 넣는다.

$$
a\cdot 0 = a\cdot(0+0)
\tag{3.1}
$$

(3.1)의 오른쪽에 F3(분배법칙)을 적용한다.

$$
a\cdot 0 = a\cdot 0 + a\cdot 0
\tag{3.2}
$$

(3.2)의 왼쪽을 $a\cdot 0 + 0$으로 바꾸어 쓴다. F4에 의하여 값은 그대로이다.

$$
a\cdot 0 + 0 = a\cdot 0 + a\cdot 0
\tag{3.3}
$$

(3.3)은 $a \cdot 0 + \square$ 꼴의 두 식이 같다는 형태이다. {prf:ref}`lem-3-cancel`을 적용하면 $0 = a\cdot 0$이다.
```

```{admonition} 흔한 오해 — $a\cdot 0 = 0$은 공리가 아니다
:class: caution

$a \cdot 0 = 0$은 F1부터 F6까지의 목록에 없다. {prf:ref}`thm-3-zero`는 증명이 필요한 정리이며, 증명에 쓰인 것은 분배법칙과 덧셈에 관한 공리뿐이다. 곱셈 역원(F6)은 쓰이지 않았다.

곱셈에 관한 사실이 덧셈 공리에서 나온다는 것이 이 절의 요점이다.
```

```{prf:theorem} 부호의 곱
:label: thm-3-sign

모든 실수 $a$, $b$에 대하여 $(-a)b = -(ab)$이고 $(-a)(-b) = ab$이다.
```

```{prf:proof}
먼저 $(-a)b = -(ab)$를 보인다. $ab$와 $(-a)b$를 더한다.

$$
ab + (-a)b = \bigl(a + (-a)\bigr)b = 0 \cdot b = 0
\tag{3.4}
$$

첫 번째 등호에서 F3과 F1을 썼고, 두 번째 등호에서 F5를 썼고, 세 번째 등호에서 {prf:ref}`thm-3-zero`와 F1을 썼다. (3.4)는 $(-a)b$가 $ab$의 덧셈 역원임을 뜻한다. {prf:ref}`lem-3-cancel`에 의하여 역원은 하나뿐이므로 $(-a)b = -(ab)$이다.

같은 논증을 $a$와 $-b$에 적용하면 $-(-b) = b$를 얻는다. $b + (-b) = 0$이므로 $b$가 $-b$의 덧셈 역원이고, 역원이 하나뿐이기 때문이다.

이제 두 결과를 이어 붙인다.

$$
(-a)(-b) = -\bigl(a(-b)\bigr) = -\bigl((-b)a\bigr) = -\bigl(-(ba)\bigr) = ba = ab
$$

첫 번째 등호는 앞에서 보인 것을 $b$ 자리에 $-b$를 넣어 쓴 것이고, 두 번째와 다섯 번째 등호는 F1이고, 세 번째 등호는 앞에서 보인 것을 $a$와 $b$의 역할을 바꾸어 쓴 것이고, 네 번째 등호는 $-(-x) = x$이다.
```

```{prf:theorem} 곱이 0이 되는 경우
:label: thm-3-zero-product

$ab = 0$이면 $a = 0$이거나 $b = 0$이다.
```

```{prf:proof}
$ab = 0$이고 $a \ne 0$이라 하자. $b = 0$임을 보이면 된다.

$a \ne 0$이므로 F6에 의하여 $a^{-1}$이 있다.

$$
b = 1\cdot b = (a^{-1}a)\,b = a^{-1}(ab) = a^{-1}\cdot 0 = 0
$$

차례로 F4, F6, F2, 가정 $ab=0$, {prf:ref}`thm-3-zero`를 썼다.
```

{prf:ref}`thm-3-zero-product`가 F6에 기대고 있다는 점에 유의한다. 곱셈 역원이 없으면 이 성질은 성립하지 않을 수 있다.

## 3. 순서 공리

체 공리에는 크기 비교가 없다. 순서는 따로 도입해야 한다.

도입 방식은 부등호를 직접 정의하는 것이 아니라, **양수들의 집합이 있다고 가정하는 것**이다. $\R$의 부분집합 $\R^+$가 있어 다음 세 공리를 만족한다고 둔다.

| | 공리 |
|---|---|
| **O1** 닫힘 | $x, y \in \R^+$이면 $x + y \in \R^+$이고 $xy \in \R^+$ |
| **O2** 삼분법 | $x \ne 0$이면 $x \in \R^+$와 $-x \in \R^+$ 중 정확히 하나가 성립한다 |
| **O3** | $0 \notin \R^+$ |

$\R^+$의 원소를 양수(positive number)라 한다. 이제 부등호를 정의한다.

```{prf:definition} 부등호
:label: def-3-order

$y - x \in \R^+$일 때 $x < y$라 쓴다. $x < y$ 또는 $x = y$일 때 $x \le y$라 쓴다.
```

{prf:ref}`def-3-order`에서 $x > 0$은 $0 - x$가 아니라 $x - 0 = x$가 양수라는 뜻이므로, $x > 0$과 $x \in \R^+$는 같은 말이다.

O2를 부등호로 옮기면 다음이 된다. 임의의 두 실수 $x$, $y$에 대하여 $x < y$, $x = y$, $x > y$ 중 정확히 하나가 성립한다. $y - x$가 $0$인 경우, 양수인 경우, 음수인 경우가 각각 대응한다.

```{admonition} 흔한 오해 — 순서는 크기 비교가 아니다
:class: caution

$x < y$를 "$x$가 $y$보다 작다"는 직관으로 읽는 것은 결과이지 정의가 아니다. 정의는 {prf:ref}`def-3-order`이며, 그 내용은 **$y - x$가 $\R^+$라는 부분집합에 속한다**는 것이다.

부등식에 관한 모든 규칙은 O1, O2, O3에서 나온다. 규칙을 증명할 때 직관에 기대지 않고 $\R^+$로 되돌아가는 것이 이 절의 방식이다.
```

이제 부등식 조작 규칙을 공리에서 유도한다.

```{prf:theorem} 부등식 조작 규칙
:label: thm-3-inequality

$a < b$라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. 임의의 $c$에 대하여 $a + c < b + c$
2. $c > 0$이면 $ac < bc$
3. $c < 0$이면 $ac > bc$
```

```{prf:proof}
$a < b$는 {prf:ref}`def-3-order`에 의하여 $b - a \in \R^+$를 뜻한다.

**(1)** $(b+c) - (a+c) = b - a$이다. 이 값이 $\R^+$에 속하므로 $a + c < b + c$이다. 즉 **양변에 같은 수를 더해도 부등호는 그대로이다.**

**(2)** $c > 0$은 $c \in \R^+$를 뜻한다. $b - a \in \R^+$이므로 O1(곱셈에 대한 닫힘)에 의하여 $(b-a)c \in \R^+$이다. F3에 의하여

$$
(b-a)c = bc - ac
$$

이므로 $bc - ac \in \R^+$이고, 따라서 $ac < bc$이다.

**(3)** $c < 0$은 $0 - c = -c \in \R^+$를 뜻한다. $b - a \in \R^+$이므로 O1에 의하여 $(b-a)(-c) \in \R^+$이다. {prf:ref}`thm-3-sign`을 써서 이 값을 정리한다.

$$
(b-a)(-c) = -\bigl((b-a)c\bigr) = -(bc - ac) = ac - bc
$$

따라서 $ac - bc \in \R^+$이고, 이는 $bc < ac$를 뜻한다. 즉 **음수를 곱하면 부등호의 방향이 뒤집힌다.**
```

{prf:ref}`thm-3-inequality`의 세 번째 항목은 이후 계속 쓰인다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 양변에 $-1$을 곱할 때마다 방향이 뒤집힌다는 사실을 그 자리에서 표시한다.

## 4. 유리수도 두 공리를 만족한다

지금까지 아홉 개의 공리를 세웠다. F1부터 F6까지와 O1부터 O3까지이다. 이 아홉 개가 실수를 특징짓는가.

그렇지 않다. **유리수 전체의 집합 $\Q$도 아홉 개를 모두 만족한다.**

확인은 어렵지 않다. 두 유리수의 합과 곱은 유리수이므로 $\Q$ 안에서 두 연산이 정의된다. F1, F2, F3은 실수에서 성립하므로 그 부분집합인 $\Q$에서도 성립한다. $0$과 $1$은 유리수이므로 F4가 성립한다. $p/q$의 덧셈 역원 $-p/q$와, $p/q \ne 0$일 때의 곱셈 역원 $q/p$가 모두 유리수이므로 F5와 F6이 성립한다. 양의 유리수 전체를 $\Q^+$로 두면 O1, O2, O3이 그대로 성립한다.

그러므로 아홉 개의 공리만으로는 $\R$과 $\Q$를 구별할 수 없다. 두 체계에서 참인 명제가 완전히 같다.

그런데 두 체계는 같지 않다. 다음 정리가 그 차이를 하나의 수로 보여 준다.

```{prf:theorem} 제곱해서 2가 되는 유리수는 없다
:label: thm-3-sqrt2

$x^2 = 2$를 만족하는 유리수 $x$는 존재하지 않는다.
```

```{prf:proof}
귀류법을 쓴다. $x^2 = 2$인 유리수 $x$가 있다고 하자. $x$와 $-x$ 중 하나는 양수이고 제곱값이 같으므로, $x > 0$이라 두어도 된다.

$x$가 양의 유리수이므로 $x = p/q$인 양의 정수 $p$, $q$가 있다. 이때 $p$와 $q$의 공약수를 모두 약분하여 **$p$와 $q$가 1 외의 공약수를 갖지 않도록** 잡을 수 있다.

$x^2 = 2$에 $x = p/q$를 넣고 양변에 $q^2$을 곱한다.

$$
p^2 = 2q^2
\tag{3.5}
$$

(3.5)의 오른쪽은 $2$의 배수이므로 $p^2$은 짝수이다. 2회의 {prf:ref}`ex-2-contrapositive`에서 $n^2$이 짝수이면 $n$도 짝수임을 대우로 보였다. 이를 적용하면 $p$는 짝수이다.

$p$가 짝수이므로 $p = 2m$인 정수 $m$이 있다. 이것을 (3.5)에 넣는다.

$$
4m^2 = 2q^2
$$

양변을 $2$로 나눈다.

$$
q^2 = 2m^2
\tag{3.6}
$$

(3.6)의 오른쪽도 $2$의 배수이므로 $q^2$은 짝수이고, 같은 이유로 $q$도 짝수이다.

$p$와 $q$가 모두 짝수이므로 $2$가 두 수의 공약수이다. 이것은 $p$와 $q$가 1 외의 공약수를 갖지 않도록 잡았다는 것에 어긋난다.

따라서 $x^2 = 2$인 유리수는 없다.
```

$\Q$에는 제곱해서 $2$가 되는 수가 없다. 우리가 다루려는 수 체계에는 그런 수가 있어야 한다. 정사각형의 대각선의 길이가 그런 수이기 때문이다.

그런데 아홉 개의 공리에서는 그런 수의 존재를 끌어낼 수 없다. 만약 끌어낼 수 있다면 $\Q$에서도 같은 논증이 통해야 하는데, {prf:ref}`thm-3-sqrt2`가 그것이 불가능함을 말하기 때문이다.

```{admonition} 체 공리만으로는 순서도 정해지지 않는다
:class: note

공리의 묶음이 서로 독립임을 보여 주는 예를 하나 든다. 원소가 두 개인 집합 $\{0, 1\}$에 다음과 같이 두 연산을 준다.

| $+$ | 0 | 1 |
|---|---|---|
| **0** | 0 | 1 |
| **1** | 1 | 0 |

| $\cdot$ | 0 | 1 |
|---|---|---|
| **0** | 0 | 0 |
| **1** | 0 | 1 |

이 묶음은 F1부터 F6까지를 모두 만족한다. 원소가 두 개인 체이다.

그러나 여기에는 순서를 줄 수 없다. 이 체에서는 $1 + 1 = 0$이므로 $-1 = 1$이다. O2는 $1 \in F^+$와 $-1 \in F^+$ 중 정확히 하나가 성립할 것을 요구하는데, 두 조건이 같은 조건이므로 "정확히 하나"가 될 수 없다.

즉 체 공리는 순서 공리를 함축하지 않는다. 세 묶음은 각각 따로 요구해야 한다.
```

## 마치며

이번 회차에서는 실수의 공리 중 체 공리와 순서 공리를 살펴보았다. 그리고 이 두 묶음에서 사칙연산과 부등식의 규칙이 모두 따라 나온다는 것을 확인하였다.

그러나 두 묶음만으로는 충분하지 않다. 유리수 전체의 집합도 이 두 묶음을 모두 만족하기 때문이다. 그런데 유리수 안에는 제곱해서 2가 되는 수가 없다. 우리가 다루려는 수 체계에는 그런 수가 있어야 한다.

세 번째 묶음이 필요하다. 다만 그 묶음을 서술하려면 준비가 조금 더 필요하므로, 다음 회차에서는 먼저 정수와 귀납법, 그리고 유한합의 표기를 정리하도록 하자.

```{admonition} 이어서
:class: note
같은 회차의 실험: {doc}`L03_lab`
```